Головна

I. Ознаки порівняння рядів

  1. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  2. FC - команда порівняння файлів
  3. II. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ. Дипольниммоментом СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЗАРЯДІВ
  4. III. Ступені порівняння прикметників і прислівників, порядок слів в англійському реченні, типи питань.
  5. А. Загальні ознаки.
  6. Абсолютні, відносні та середні показники рядів динаміки

Теорема 6.2.5. Нехай дано два позитивних ряду  (6.2.1) і  (6.2.2). Якщо члени ряду (6.2.1) вищими за відповідних членів ряду (6.2.2), т. е. (N = 1, 2, 3), і ряд (6.2.2) сходиться, то ряд (6.2.1) також сходиться.

теорема 6.2.6. Нехай дано два позитивних ряду  (6.2.1) і  (6.2.2). Якщо члени ряду (6.2.1) не менше відповідних членів ряду (6.2.2), т. е. (N = 1, 2, 3), і ряд (6.2.2) розходиться, то ряд (6.2.1) також розходиться.

Приклад 6.2.7. досліджувати на збіжність ряд

Оцінимо загальний член даного ряду: . Ряд із загальним членом bn= 1/2n. сходиться (геометричний ряд). За теоремою 6.2.6. даний ряд також сходиться.

Приклад 6.2.8. Дослідити на збіжність ря

Оцінимо загальний член даного ряду: an=

Останній ряд  розходиться (як дізнаєтеся пізніше, це гармонійний ряд). отже по теоремі 6.2.6. даний ряд так само розходиться.

Відзначимо корисне наслідок з доведених вище теорем 6.2.5. і 6.2.6.

Теорема 6.2.7. Нехай дано два позитивних ряду  (6.2.1) і  (6.2.2). якщо існує кінцевий, відмінний від нуля, межа відносини загальних членів цих рядів:  , То обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

сенс цього слідства полягає в тому, що якщо загальний член ряду (6.2.1) і загальний член ряду (6.2.2) є нескінченно малими (Якщо загальні члени цих рядів прагнуть до нуля при  , То an і bn можна розглядати як нескінченно малі) одного і тогож порядку (при ) Те збіжність одного з цих рядів тягне збіжність іншого (а значить, і, навпаки, розбіжність одного тягне расходимость іншого).

Цю теорему можна прочитати таким чином:

Якщо два ряди мають спільні члени однакового порядку малості (при ), То ці ряди сходяться або розходяться одночасно.

Приклад 6.2.9. .

 при  . Тому можна ставити питання про те, чи сходиться даний ряд. візьмемо

т. к. ряд сходиться (Що буде доведено пізніше !!!), то і даний ряд сходиться.

Приклад 6.2.10.

маємо

Т. к. Ряд із загальним членом 1 / n (гармонійний ряд) розходиться, То і теорема (6.2.7.) Буде розходиться і даний ряд.

II. Ознака Даламбера (в граничній формі)

Теорема 6.2.8. Якщо для ряду з позитивними членами існує кінцевий межа  (6.2.5) відносини (n + 1) -го члена до n-му, то

а) при Д <1 ряд розходиться, а

б) при Д> 1 - розходиться.

Приклад 6.2.11. З'ясувати, чи сходиться ряд

маємо:

на підставі ознаки Даламбера даний ряд сходиться.

Приклад 6.2.12.

маємо:

Т. к.  , То ряд розходиться.

Приклад 6.2.13.

.

Ознака Даламбера відповіді не дає на питання про збіжність даного ряду. Між тим принцип порівняння рядів вирішує це питання:  при всіх значеннях n, а ряд із загальним членом  сходиться. Отже, даний ряд сходиться.

Приклад 6.2.14.

 . отже, даний ряд розходиться.

III. Ознака Коші (в граничній формі)

Теорема 6.2.9 .. Якщо для позитивного ряду  існує кінцевий межа  , то

а) при С <1 ряд сходиться, а

б) при С> 1 - розходиться.

Приклад 6.2.15.

 - Ряд сходиться.

Зауваження 6.2.1. якщо  , То ряд буде розходиться.

Зауваження 6.2.2. якщо  1) не існує або 2) дорівнює 1, то ознака Коші, як і ознака Даламбера, не дає відповіді на питання про збіжність ряду.




ВИМОГИ ДО РІВНЯ ОСВОЄННЯ ЗМІСТУ ДИСЦИПЛІНИ | безперервність | II семестр | Розділ 10. Звичайні диференціальні рівняння | I семестр | САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ (СРС) | векторний аналіз | ЧИСЛОВІ РЯДИ | ПРОСТЕЙШИЕ властивості збіжних рядів | ЗАЛИШОК РЯДУ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати