Головна

ЧИСЛОВІ РЯДИ

  1. Позитивні числові ряди
  2. ЧИСЛОВІ І СТРУКТУРНІ МУТАЦІЇ каріотип І фенотипическим АНОМАЛІЇ ТВАРИН
  3. числові ряди
  4. числові ряди
  5. Числові характеристики дискретної випадкової величини
  6. Числові характеристики дискретної випадкової величини.

Основні поняття

Нехай дана нескінченна числова послідовність: a1, a2, a3, ..., An, ...

Вираз, який вийде, якщо всі члени цієї послідовності соеденить формально знаком плюс:

 , (6.2.1)

називається числовим рядом (Або просто поруч). Часто ряд записують у вигляді  , Де зазначено, що індекс n пробігає всі натуральні числа: 1, 2, 3, ...

числа a1, a2, a3, ..., An, ... Називаються членами ряду,  називають загальним членом ряду (при довільному n !!).

У арифметиці і алгебрі розглядають суми з кінцевим числом доданків. У ряді ж доданків нескінченно багато. Тому поняття суми, що з безлічі складових, вимагає деякого спеціального визначення. Що ж розуміють під виразом (6.2.1)?

Може виявитися, що іноді цей вислів і зайвого чистого сенсу.

Введемо тонке визначення.

Візьмемо суму n перших членів ряду (6.2.1) і позначимо її через Sn:

 (6.2.2)

цю суму називають n-й часткової сумою ряду (6.2.1). При цьому під S1 розуміють a1.

Даючи в (6.2.2) «n» послідовних значень 1, 2, 3, ..., отримаємо послідовність часткових сум:

Можливі два випадки:

1) або ця послідовність має кінцевий межа

2) або вона не має кінцевого межі (прагне до ? або зовсім не прагне

ні до якої межі).

Визначення 6.2.1. Якщо послідовність часткових сум (або інакше часткова сума Sn) має кінцевий межа  , То ряд (6.2.1) називається збіжним, а сам цю межу називається сумою ряду.

При цьому пишуть:  або .

Якщо ж послідовність часткових сум не має меж то ряд (6.2.1) називається розбіжним.

Розходиться ряд не має суми в тому сенсі як ми її визначили.

Однак в тому випадку коли  , пишуть  , А також S = ?.

Приклад 6.2.1. Користуючись безпосередньо визначенням суми ряду, показати, що ряд  сходиться і знайти його суму.

Уявімо загальний член ряду у вигляді суми двох дробів:

Тоді часткову суму Sn даного ряду можемо переписати так:

Відповідно до визначення треба з'ясувати чи існує кінцевий межа Sn при n® ?:

отже даний ряд сходиться і його сума S = 1.

Рішення.  n = -1; A = 1/3; B = -1 / 3.

Sn-?

Приклад 6.2.2. Дослідження збіжності ряду, складеного з членів геометричній прогресії.

Розглянемо ряд

 , (6.2.3)

складений з членів геометричній прогресії. Часто даний ряд називають геометричним поруч.

З'ясуємо, при яких значеннях q ряд (6.2.3) сходиться.

Складемо часткову суму Sn ряду:

 за формулою для суми n перших членів геометричної прогресії =  (6.2.4)

а якщо  <1 (прогресія спадна), то  , тому  існує і

отже, в разі, коли  <1, ряд (6.2.3) сходиться і його сума дорівнює .

б) Якщо  > 1, то  , А тоді (т. К. A?0) і

Значить, в разі, коли  > 1, ряд (6.2.3) розходиться.

в) якщо q = -1, то часткова сума Sn набуває вигляду:

Звідси ясно що в цьому випадку Sn при n® ? межі не має і ряд (6.2.3) розходиться.

г) При q = 1 формула (6.2.4) позбавлена ??сенсу. Але ясно безпосередньо, що в цьому випадку

Значить в разі q = 1 ряд (6.2.3) також расходітся.

Висновок. Отже геометричний ряд 1) сходиться при  <1 і 2) розходиться  ?1 (a?0), причому при  <1 маємо відому (зі шкільного курсу математики) формулу суми членів нескінченної спадної геометричної прогресії.

 




Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти | Мета та завдання дисципліни | ВИМОГИ ДО РІВНЯ ОСВОЄННЯ ЗМІСТУ ДИСЦИПЛІНИ | безперервність | II семестр | Розділ 10. Звичайні диференціальні рівняння | I семестр | САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ (СРС) | ЗАЛИШОК РЯДУ | НЕОБХІДНИЙ ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ РЯДУ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати