загрузка...
загрузка...
На головну

векторний аналіз

  1. HANSEI REPORT (АНАЛІЗ)
  2. I. Аналіз завдання
  3. I. Аналіз інженерно-геологічних умов території, оцінка перспективності її забудови
  4. I. Аналіз інженерно-геологічних умов території, оцінка перспективності її забудови
  5. I. Завдання на аналіз тексту нормативного акта
  6. I. Основні лінії зв'язку педагогіки з соціологією. Мікро- та макроанализ 1 сторінка
  7. I. Основні лінії зв'язку педагогіки з соціологією. Мікро- та макроанализ 2 сторінка

Векторне поле. ВЕКТОРНІ ЛІНІЇ ТА ЇХ

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ.

Визначення 6.1.1. Векторним полем точки М називається векторна функція  точки М разом з областю її визначення.

Завдання векторного просторового поля рівносильно завданням трьох скалярних функцій , ,  , Що є проекціями вектора  на координатні осі. Прикладами векторних полів є поле магнітної напруженості, поле сил тяжіння, поле швидкостей сталого потоку рідин і т. Д.

Визначення 6.1.2. Векторної лінією поля  називається така лінія, в кожній точці якої дотична збігається з напрямком вектора  . Векторна лінія зазвичай називається лінією струму для поля швидкостей, силовий лінією - для силового поля.

Як відомо, напрямні косинуси дотичній пропорційні диференціалом , ,  . Для знаходження векторних ліній поля  векторів и

 , (6.1.1)

де  - Проекція вектора  на координатні осі.

Рівняння (6.1.1.) Називаються диференціальними рівняннями векторних ліній поля  . якщо  - Безперервно диференціюються функції і в точці М вектор  відмінний від нуля, то через точку М проходить одна певна векторна лінія поля .

Приклад 6.1.1. Знайти векторні лінії поля .

Рішення. Диференціальні рівняння векторних ліній мають вигляд  або , ;

,  . Інтегруючи, отримаємо и  , де и  - Довільні постійні. Векторними лініями є окружності, розташовані в площинах, паралельних площині  і в самій площині  при .

Приклад 6.1.2. Знайти векторні лінії магнітного поля нескінченного провідника струму.

Рішення. Будемо вважати, що провідник спрямований по осі  і в цьому ж напрямку тече струм I. Вектор напруженості H магнітного поля, створюваного струмом, дорівнює

 , (6.1.2)

де  є вектор струму,  - Радіус-вектор точки ,  - Відстань від осі проводу до точки М. Розкриваючи векторний добуток (6.2), отримаємо

.

Диференціальні рівняння векторних ліній:

,

звідки

,

т. е. векторні лінії є колами з центрами на осі

Потік векторного поля ЧЕРЕЗ Поверхность

Визначення 6.1.3. Потоком П векторного поля  через

двосторонню поверхню  називається поверхневий інтеграл

другого роду.

 , (6.1.3)

де  - Одиничний вектор нормалі до  , Що вказує її орієнтацію;  - Елемент площі поверхні ;  - Проекція вектора  на напрям .

Дамо фізичне тлумачення формули (6.1.2). нехай  - Швидкість рідини, що протікає через довільну (двосторонню) поверхню  . Розглянемо розбиття  поверхні на n частин  з майданчиками  . тоді твір  дорівнює кількості рідини, що протікає через поверхню  за одиницю часу в

напрямку вектора .

 інтеграл  , який є

межею інтегральної суми

 
 , Дає повне кількість рідини, що протікає в одиницю часу через  в позитивному напрямку. нехай  - Поле швидкостей в стаціонарному плині рідини, так що її швидкість  в точці М залежить лише від М, але не залежить від часу. Зі сказаного вище випливає, що потік швидкості через орієнтовану поверхню  за одиницю часу в тому напрямку, в якому орієнтована ця поверхня (фізичний зміст потоку).

обчислення потоку

Обчислення методом проектування на одну

з координатних площин

нехай поверхня  задана рівнянням  . одиничний вектор нормалі  , Але, як відомо, .

Знак в правій частині береться так, щоб отримати нормальний вектор  саме до обраної стороні поверхні.

Якщо поверхня задана рівнянням  , то .

Знак «+» відповідає вибору верхнього боку поверхні, нормаль до якої утворює гострий кут з віссю  і, отже, спрямовує косинус позитивний.

Відомо також, що и .

нехай поверхня  взаємно однозначно проектується на площину  в область  , Тоді обчислення потоку векторного поля через поверхню  зводиться до обчислення подвійного інтеграла

по області :  . (6.1.4.)

Аналогічно, якщо поверхня  взаємно однозначно проектується на площину  або  , То потік обчислюється за формулами ; .

Приклад 6.1.3. Знайти потік векторного поля  через поверхню конуса  і площину .

Рішення. Позначимо потоки векторного поля:  через

 бічну поверхню конуса и

 через площину .

Тоді весь потік П = П1 + П2 =

.

обчислимо  . рівняння :

 
.

проекція вектора  на вісь  негативна.

;

.

З виразу для (6.1.3.) Знайдемо

.

.

обчислимо  . рівняння поверхні : , ,  (На поверхні ),

.

отже, .

Приклад 6.1.4. Знайти потік векторного поля  через верхню сторону трикутника з вершинами в точках , , .

Рішення. рівняння площини  складемо як рівняння

 площині, що проходить через три точки

 . отже, ,

.

.

Приклад 6. 1.5. Обчислити потік векторного поля

через зовнішню сторону однополостного гиперболоида  , Обмеженого площинами .

Рішення. Дана поверхня проектується взаємно однозначно на площину  в область  , Обмежену колами

и .

Знаходимо зовнішню нормаль : .

 Т. к.  утворює з віссю  тупий кут  , То беремо знак мінус і, отже, .

Знаходимо скалярний твір .

застосовуючи формулу

,

отримаємо ріс.6.1.5. .

Переходячи до полярних координат ,  , Будемо мати

Обчислення потоку методом проектування

на всі три координатні площини

нехай поверхня  взаємно однозначно проектується на всі три координатні площини:

Тоді потік векторного поля  дорівнює

де знак перед кожним з подвійних інтегралом береться відповідно таким, яким є знак , ,  на поверхні .

Приклад 6.1.6. Знайти потік векторного поля  через трикутник, одержуваний при перетині площині  з координатними площинами (вибір вказано на рис. 6.1.6,).

Рішення. знайдемо  . P [x (y, z), y, z] = (1-y-z) -2z = 1-y-3z (висловили з рівняння площині)

.

За формулою (6.1.3) отримаємо

Мал. 6.1.6

.

При обчисленні потоку векторного поля через бічну поверхню кругового циліндра або через сферу зручно користуватися відповідно циліндричними або сферичними координатами.

Приклад 6.1.7. Знайти потік векторного поля

 через частину сферичної поверхні  , Розташовану в першому Октант.

Рішення. Знайдемо вектор градієнт ,

тоді одиничний вектор ; .

За умовою завдання поверхня знаходиться в першому Октант, т. Е. ,  , Елемент площі в сферичних координатах дорівнює  . Отже, потік через частину сфери обчислюється за формулою .

Обчислення потоку методом введення

криволінійних координат на поверхні

У деяких випадках при обчисленні потоку векторного поля через дану поверхню S можливо вибрати на самій поверхні просту систему координат, в якій зручно обчислювати потік, не застосовуючи проектування на координатні площини.

Розглянемо окремі випадки.

Випадок 1). Нехай поверхня S є частиною кругового циліндра  , Обмеженого поверхнями и .

вважаючи  , Будемо мати для даної поверхні ,

 , А для елемента площі dS отримуємо такий вираз (рис.6. 1.8.):

.

Тоді потік векторного поля a

через зовнішню сторону поверхні S

обчислюється за формулою

 , (6.1.5)

де

Ріс.6.1.7.


Приклад 6. 1.8. Обчислити потік радіуса-вектора

 через бічну поверхню кругового циліндра  , Обмеженого знизу площиною  , А зверху - площиною .

Рішення. В даному випадку (рис. 6.1.7) маємо

.

Переходячи до координат на циліндрі

 будемо

мати ,

Відповідно до формули (6.1.4) потік вектора r

буде дорівнює

Але так як на циліндрі  ріс.6.1.8

і, отже,

Випадок 2). Нехай поверхня S є частиною сфери  , Обмеженою конічними поверхнями, рівняння яких у сферичних координатах мають вигляд  і напівплощиною .

Покладемо для точок даної сфери

де .

Тоді для елемента площі dS одержимо (рис. 6.1.8)

.

У цьому випадку потік векторного поля а через зовнішню частину S сфери обчислюється за формулою

 (6.1.6)

Ріс.6.1.9.

де

Приклад 6.1.9. Знайти потік вектора

через частину поверхні сфери  , Розташовану в першому Октант, в область, де .

Рішення. В даному випадку маємо

, ,

Введемо на сфері  координати и  так що

Тоді буде мати

і, застосовуючи формулу (6.1.5), отримаємо

Дивергенція векторного поля.

ФОРМУЛА Остроградського

обчислення дивергенції

Визначення 6.1.4. Ставлення потоку векторного поля через поверхню  до величини обсягу  називається середньої об'ємної щільністю потоку векторного поля.

В поле швидкостей рідини це відношення при  визначає середня кількість рідини, що надходить з одиниці об'єму всередині поверхні  за одиницю часу. при  визначає середня кількість рідини, що поглинається одиницею об'єму за одиницю часу.

Визначення 6. 1.5. Дивергенції (або расходимостью) векторного поля  називається об'ємна

щільність потоку векторного поля  в цій точці:

,

де V-об'єм, обмежений замкнутою поверхнею  , Що містить точку М.

Якщо координати вектора  безупинні разом зі своїми приватними похідними , ,  , То в декартовій системі координат дивергенція обчислюється за формулою

 , (6.1.7)

де приватні похідні обчислені в точці М.

Приклад 6.1.10. Обчислити дивергенцію поля радіус-вектора .

Рішення.

.

Отже, в кожній точці поля радіус-вектора є джерело, щільність якого дорівнює трьом одиницям.

Формула Остроградського в векторній формі

Рівність (6.1.6.) Дозволяє записати формулу Остроградського в векторній формі. Якщо врахувати, що

 (6.1.8.)

є потоком векторного поля, тоді рівність

 прийме наступний вигляд:

 . (6.1.9.)

Фізичний сенс формули Остроградського полягає в тому, що, якщо  - Вектор швидкості рідини, що протікає через тіло  , Тоді підінтегральний вираз в правій частині рівності (6.1.8.) Дає повне кількість рідини, яка витікає з тіла  або через поверхню  за одиницю часу (або впадає в тіло  , Якщо інтеграл негативний). якщо дивергенція дорівнює нулю, то кількість рідини, що вливається всередину тіла, дорівнює кількості рідини, яка витікає з нього.

Формула (6.1.9.) Дозволяє спростити обчислення потоків через замкнуту поверхню.

Приклад 6.1.11. Обчислити потік поля  через повну поверхню циліндра

, .

Рішення. знайдемо дивергенцію

.

За формулою (6.1.9.)

.

Перейдемо до циклічних координат, тоді .

ЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ У векторне поле.

ЦИРКУЛЯЦІЯ. Щільність ЦИРКУЛЯЦІЇ

Визначення та обчислення циркуляції

Нехай L-просторова кусочно-гладка спрямована лінія і  - Безперервне векторне поле, задане в  , де , ,  - проекції  на координатні осі.

Визначення 6.1.6. Криволінійний інтеграл виду

,

взятий за деякою спрямованої лінії L, називається лінійним інтегралом від вектора  вздовж лінії L.

Приклад 6. 1.12. Обчислити роботу силового поля

 вздовж відрізка AB прямої, що проходить через точки M1(2,3,4) і M2(3,4,5).

Рішення. Робота даного силового поля буде дорівнює лінійному інтегралу вздовж відрізка M1M2:

.

Знаходимо канонічні рівняння прямої M1M2. маємо

Звідси

Тут x змінюється в межах від 2 до 3 (так як абсциса точки M1 дорівнює 2, а абсциса точки M2 дорівнює 3). Шукана робота буде дорівнює

.

Визначення 6.1.7. Циркуляцією векторного поля  по замкнутій лінії L в області  називається лінійний інтеграл по цій замкнутої лінії L, що позначається через Ц і визначається формулою  , де  - Вектор-диференціал.

У тому випадку, коли  - Силове поле, лінійний інтеграл від вектора  дорівнює роботі сил поля при переміщенні струму по лінії L (фізичний зміст циркуляції).

Знайдемо скалярний добуток векторів и  . вектор  спрямований по дотичній до кривої L.

.

Тоді циркуляція набирає вигляду

.

Приклад 6.1.13. Знайти циркуляцію векторного поля  по контуру АВСА, отриманого при перетині параболоїда  з координатними площинами

(Рис.6. 1.9.).

Рішення. .

1.  На АВ: , ; .

лінійний інтеграл

.

2. На ВС: , ,

.

3. На СА: , ; .

Таким чином, .

Знак мінус вказує на те, що під дією сил поля  контур буде обертатися в негативному напрямку, т. е. за годинниковою стрілкою.

Приклад 6.1.14. Обчислити циркуляцію векторного поля

 вздовж лінії  , Одержуваної перетином конуса  з координатними площинами (рис. 6.1.10).

 Рішення. лінія  складається з двох відрізків ВС і СА, розташованих на координатних площинах и  відповідно і

дуги  окружності

Мал. 6.1.10.

 . Тому циркуляція даного векторного поля буде дорівнює

1. На відрізку ВС маємо ,

; , ;

.

отже, .

2. На відрізку СА маємо , ; , ; .

отже, .

3. На дузі  окружності  маємо  , І значить, .

Шукана циркуляція векторного поля дорівнює нулю.

Щільність циркуляції векторного поля

Нехай у векторному полі  на поверхні  дан замкнутий контур L, що містить в собі точку М

(Рис. 6.1.11.)

 - Одиничний вектор нормалі до

поверхні  в т. М;

.

нехай  - площа поверхні,

обмеженою контуром L.

Мал. 6.1.11.

Визначення 6.1.8. Щільністю циркуляції в точці М називається межа відносини циркуляції до площі поверхні  за умови стягування контуру  до точки М.

 . (6.1.10)

У проекціях щільність циркуляції виражається у вигляді .

Якщо підінтегральний вираз перетворити за формулою Стокса, то отримаємо

 (6.1.11)

Приватні похідні обчислені в даній точці М.

РОТОР векторні ПОЛЯ. ТЕОРЕМА Стокса

У ВЕКТОРНОЇ ФОРМІ

Визначення 6.1.9. Ротор (або вихор) векторного поля точки М позначається  і визначається формулою  , (6.1.12)

де приватні похідні обчислені в точці М.

Для кращого запам'ятовування цей вектор можна записати у вигляді наступного символічного визначника:

 (6.1.13.)

Смислове визначення ротора випливає з його зв'язку з щільністю циркуляції поля; порівнюючи формули (6.1.10.) і (6.1.11.), можна записати

.

Якщо значення косинуса дорівнює 1, то з останнього рівність  . Таким чином, щільність циркуляції в точці М буде найбільшою в напрямку ротора і дорівнює його чисельним значенням. Фізичний сенс ротора в поле швидкостей  полягає в тому, що ротор являє собою миттєву кутову швидкість обертання тіла.

Приклад 6.1.15. Знайти ротор векторного поля .

Рішення. Використовуючи формулу (6.1.12), знайдемо проекції ротора

; ;

.

отже, .

За допомогою введеного  можна записати формулу Стокса у векторній формі. Так як + ,

отже, в векторній формі це рівність має вигляд  . (6.1.14) Отже, потік вектора  через орієнтовану поверхню  дорівнює циркуляції вектора  уздовж позитивного напрямку обходу контуру L цій поверхні.

Приклад 6.1.16. Знайти циркуляцію векторного поля

по контуру  , де ,

(Рис. 6.1.12.)

Рішення. знайдемо  , Використовуючи символічну запис (6.1.13)

.

Як поверхні  , Натягнутої на контур  , Візьмемо коло (в площині ), Тоді ,  . За формулою (6.1.14) знайдемо циркуляцію, обчисливши подвійний інтеграл в полярних координатах:

;

Приклад 6.1.17. Обчислити циркуляцію векторного поля :  по контуру .

Рішення. Обчислимо, застосувавши формулу Стокса (6.1.13). знайдемо

.

Як поверхні  беремо частину площині  , Обмежену контуром .

При перетині циліндра  і площини  вийде еліпс. поверхня  (Еліпс) проектується на площину  в коло. тоді ,  (З рівняння площині ).

;

.

 




Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти | Мета та завдання дисципліни | ВИМОГИ ДО РІВНЯ ОСВОЄННЯ ЗМІСТУ ДИСЦИПЛІНИ | безперервність | II семестр | Розділ 10. Звичайні диференціальні рівняння | I семестр | ПРОСТЕЙШИЕ властивості збіжних рядів | ЗАЛИШОК РЯДУ | НЕОБХІДНИЙ ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ РЯДУ |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати