загрузка...
загрузка...
На головну

погоджений фільтр

  1. B. фільтрації, реабсорбції, пиноцитоза
  2. II Застосування сортування і фільтра
  3. II. розширена Фільтрація
  4. RC згладжують фільтри
  5. Автофільтр
  6. Автофільтрація
  7. Активні згладжують фільтри

У розділі 3 введене поняття «узгоджений фільтр» (СФ) як пристрій для обчислення коефіцієнта уявлення демодуліруемого сигналу в ортонормированном базисі. СФ знаходить більш широке застосування в апаратурі систем передачі. Тому нижче розглядається СФ із загальних позицій.

Є лінійний чотириполюсник (фільтр) з функцією передачі H(jw). На його вхід подається сума детермінованого імпульсного сигналу s(t) І перешкоди n(t): z(t) = s(t) + n(t). На виході чотириполюсника має місце сума відгуків на сигнал і перешкоду y(t) = ys(t) + yn(t). До виходу чотириполюсника підключений дискретизатор для взяття відліку в момент t0 (Рис. 4.1). Такий пристрій використовується для ослаблення перешкоди і взяття відліку з метою визначення амплітудного значення імпульсу s(t).

Фільтр називається узгодженим з сигналом s(t), Якщо при подачі на його вхід суми сигналу s(t) І перешкоди n(t) На його виході в певний момент часу t0 має місце максимальне відношення миттєвої потужності сигналу ys2(t0) До середньої потужності шуму Pn вих.

Погоджений фільтр (СФ) використовується не тільки для максимального ослаблення перешкоди, але і для виконання деяких інших важливих перетворень сигналів і перешкод. Тому розглянемо властивості СФ.

1. Знайдемо комплексну передавальну функцію СФ H(jw). сигнал s(t) Заданий, а перешкода n(t) - Білий шум з спектральної щільністю потужності N0/ 2.

нехай

 - (4.1)

спектральна щільність сигналу s(t). Тоді спектральна щільність вихідного сигналу ys(t) визначається

 . (4.2)

Відліковий значення сигналу ys(t0) Визначимо як зворотне перетворення Фур'є від Sвих(jw) для моменту часу t0

 . (4.3)

Потужність шуму на виході фільтра (середній квадрат відліку шуму yn(t0)) Визначаються

 . (4.4)

Запишемо ставлення миттєвої потужності сигналу ys2(t0) До середньої потужності шуму Pn вих в відліковий момент

 . (4.5)

Будемо шукати передавальну функцію H(jw), при якій має місце максимальне значення чисельника у співвідношенні (4.5). Скористаємося тим, що інтеграл в чисельнику - скалярний добуток двох функцій S * (jw) і (S * (jw) - функція, комплексно відмінюванні з функцією S(jw)). Скалярний твір функцій максимальне, якщо функції збігаються з точністю до довільного позитивного коефіцієнта c, Т. Е. = с?S * (jw). Значить, максимум чисельника (4.5) має місце при передавальної функції

 . (4.6)

Після підстановки виразу (4.6) в співвідношення (4.5) отримаємо

 . (4.7)

Тут використано, що енергія сигналу s(t) визначається

 . (4.8)

Бачимо, що при виконанні співвідношення (4.6) забезпечується не тільки максимум чисельника відносини сигнал / шум (4.5), але і максимум цього відносини (значення r не залежить від конкретного виду передавальної функції H(jw), що входить в знаменник). Таким чином, завдання визначення передавальної функції СФ H(jw) вирішена.

2. Співвідношення (4.7) визначає максимально можливе ставлення сигнал / шум на виході фільтра в відліковий момент. Це відношення прийнято називати піковим

 . (4.9)

визначимо виграш у відношенні сигнал / шум, Що складає скільки раз збільшується відношення сигнал / шум при фільтрації СФ,

 , (4.10)

де Fш - Шумова смуга перешкоди на вході фільтра;

Ts - Тривалість сигналу s(t);

Ps и Pn - Середні потужності сигналу і перешкоди на вході фільтра.

З виразу (4.10) видно, що при певних співвідношеннях між шумовий смугою перешкоди і тривалістю сигналу виграш може приймати великі значення.

3. Знайдемо амплітудно-частотну і фазочастотную характеристики СФ. Передавальна функція будь-лінійного електричного кола визначає її АЧХ і ФЧХ:

H(jw) = H(W) eхр (jj (w)), (4.11)

де H(W) - АЧХ ланцюга, j (w) - ФЧХ ланцюга.

Уявімо спектральную щільність сигналу s(t) Через модуль і аргумент

S(jw) = S(W) exp (jy (w)), (4.12)

де S(W) - амплітудний спектр сигналу, y (w) - фазовий спектр сигналу.

Після підстановки (4.11) і (4.12) в (4.6) отримаємо, що АЧХ СФ

H(W) = СS(W) (4.13)

з точністю до довільного коефіцієнта збігається з амплітудним спектром сигналу, з яким фільтр узгоджений. Коефіцієнт передачі CФ більше на тих частотах, на яких більше складові сигналу s(t).

Рівність аргументів лівої і правої частин (4.6) дає

j (w) = -y (w) - wt0, (4.14)

що трактується так: ФЧХ СФ з точністю до лінійного доданка протилежна за знаком фазового спектру сигналу, з яким фільтр узгоджений.

Для з'ясування фізичної сутності ФЧХ СФ розглянемо деяку складову сигналу частоти fi: Aicos (2pfi t+ yi). Ця складова на виході CФ визначається:

Ai(fi) Cos (2pfit+ yi + J (fi)) = Ai(fi) Cos (2pfit + yi - yi - 2pfit0).

Повна фаза коливання дорівнює 2pfi(t - t0). В момент t = t0 повна фаза коливання дорівнює нулю незалежно від частоти. У цей момент всі складові знаходяться в фазі і при складанні дають максимально можливе значення відгуку.

4. Знайдемо імпульсну реакцію СФ як зворотне перетворення Фур'є від передавальної функції

 (4.15)

Бачимо, що імпульсна реакція СФ є дзеркальним відображенням сигналу, з яким фільтр узгоджений, щодо точки t0 в масштабі с.

Приклад 4.1. Побудуємо графік імпульсної реакції фільтра, узгодженого з сигналом

Умовою фізичної можливості бути реалізованим лінійного електричного кола є вимога до її імпульсної реакції: g(t) ? 0 для значень t <0. З рис. 4.2 видно, що для виконання цієї умови необхідно накласти вимога на момент відліку: t0 ? Ts, де Ts - Тривалість сигналу s(t).


а

5. Нехай на вході СФ діє довільний сигнал z(t). Відгук фільтра визначається інтегралом Дюамеля

 , (4.16)

де Kzs(T) - функція взаємної кореляції сигналів z(t) і s(t).

З виразу (4.16) випливає, що форма сигналу на виході СФ визначається функцією взаємної кореляції вхідного сигналу і сигналу, з яким фільтр узгоджений, а саме, вона повторює функцію взаємної кореляції в масштабі с і зміщена вправо на t0.

Якщо в співвідношенні (4.16) покласти с = 1 і t0 = Ts, То легко переконатися, що y(Ts) Дає значення скалярного твори сигналів z(t) і s(t). Це властивість СФ використовувалася вище для визначення коефіцієнтів розкладання - співвідношення (3.4).

6. Нехай на вхід СФ подається сигнал, з яким фільтр узгоджений. Тоді на підставі (4.16) запишемо

 , (4.17)

де Ks(T) - функція кореляції сигналу s(t).

Таким чином, якщо на вхід СФ подається сигнал, з яким фільтр узгоджений, то відгук фільтра визначається функцією кореляції сигналу, А саме, вона повторює функцію кореляції сигналу в масштабі с і зміщена вправо на t0.

Вправа 4.1. Проілюструємо розглянуті властивості СФ на прикладі фільтра, узгодженого з прямокутним імпульсом амплітуди А і тривалості Ts. нехай с = 1 /A и t0 = Ts. Імпульсна реакція фільтру, узгодженого з П-імпульсом, має П-подібну форму, амплітуду 1 і тривалість Ts, Т. Е. Імпульсна реакція збігається з сигналом (рис. 4.3, а).

Спектральна щільність П-імпульсу визначається перетворенням Фур'є

Sп(jw) =  . (4.18)

На основі співвідношення (4.6) отримаємо вираз для передавальної функції фільтра, узгодженого з П-імпульсом, якщо с = 1 /A и t0 = Ts

H(jw) =  . (4.19)

З цього співвідношення випливає, що схема фільтра, узгодженого з П-імпульсом, складається з інтегратора (з функцією передачі 1 /jw), пристрої затримки на час Ts (З функцією передачі exp (-jwTs)) І вичітателя (рис. 4.3, в). На цьому малюнку цифрами позначені окремі точки схеми для обговорення її роботи.

Легко отримати вираз для АЧХ фільтра, узгодженого з П-імпульсом. Остаточне вираз для АЧХ після переходу до змінного f має вигляд функції sin (x) /x

 . (4.20)

АЧХ СФ і амплітудний спектр сигналу показані на рис 4.3, б.

На рис. 4.4, а показані процеси, які відбуваються в СФ при подачі на його вхід d-функції. На виході схеми спостерігається імпульсна реакція. На рис. 4.4, б показані процеси, які відбуваються в СФ при подачі на його вхід імпульсу, з яким фільтр узгоджений. На виході схеми спостерігається відгук, що співпадає з кореляційної функцією П-імпульсу тривалістю Тs (Див. Модуль 1).

       
 
 
   


Контрольні питання

1. Що є критерієм оптимальності узгодженого фільтра?

2. Перерахуйте властивості узгодженого фільтра.

3. Як визначається пікове відношення сигнал / шум на виході узгодженого фільтра?

5. Застосування узгоджених фільтрів
в демодулятор сигналів АІМ-М

Розглянемо спільно схеми модулятора і демодулятора сигналів АІМ-М (Рис. 5.1). Схема модулятора будується на основі опису канальних символів сигналів АІМ-М

 , (5.1)

де А(t) - Імпульс з певними частотними і тимчасовими характеристиками;

ai - Коефіцієнт, що відображає передані біти.

На схемі КМК - кодер модуляционного коду, який виробляє коефіцієнти ai на основі вхідного цифрового сигналу - на кожному тактовом інтервалі блоку з n = log2M біт ставиться у відповідність коефіцієнт ai. Цей коефіцієнт подається на вхід формує фільтра (ФФ) сигналом aid (t). ФФ формує імпульс aiА(t).

Схема демодулятора побудована на основі матеріалу попередніх розділів. На вхід узгодженого фільтра надходить сума сигналу і перешкоди aiА(t) + n(t). Погоджений фільтр послаблює перешкоду, і на його виході має місце корисний сигнал aiР(t) І перешкода z (t). Дискретизатор бере відлік і видає оцінку  коефіцієнта ai. Максимальне значення імпульсу P(t) В момент відліку дорівнює 1, тому = ai + Z (оцінку  можна розглядати як коефіцієнт z0 представлення сигналу z(t) В одновимірному просторі щодо базисної функції А(t)). Дискретизатор управляється послідовністю імпульсів від схеми тактової синхронізації (ТС), що забезпечує взяття відліків в моменти максимального відношення сигнал / шум. На основі отриманої від діскретізатора оцінки  схема рішення (СР) виносить рішення про номер переданого канального символу і видає рішення двійковими символами згідно модуляційні коду.

 
 


Оскільки формує фільтр збуджується d-функцією, то амплітудний спектр імпульсу A(t) Дорівнює АЧХ ФФ

SA(f) = HФФ(f). (5.2)

Амплітудний спектр імпульсу Р(t) визначається

SP(f) = SA(f) ?HСФ(f), (5.3)

де HСФ(f) - АЧХ фільтра, узгодженого з імпульсом A(t).

Імпульс на виході СФ Р(t) Повинен задовольняти умові відсутності межсимвольной інтерференції (МСІ), тому будемо вимагати, щоб спектр SP(f) Був спектром Найквіста N(f):

SP(f) = N(f). (5.4)

Скористаємося властивістю СФ: його АЧХ збігається з амплітудним спектром сигналу, з яким він узгоджений (при с = 1)

HСФ(f) = SA(f). (5.5)

З огляду на рівності (5.2) ... (5.5) приходимо до висновку, що

HФФ(f) = HСФ(f) =  . (5.6)

Кажуть, що АЧХ ФФ і СФ описуються залежністю «корінь квадратний з спектра Найквіста".

Зазвичай спектр Найквіста описують залежністю «піднятий косинус»

N(f) =  (5.7)

де Т - Тактовий інтервал;

fн = 1 / (2Т) - Частота Найквіста;

a - коефіцієнт ската спектра.

Залежність «корінь квадратний з спектра Найквіста» описується

=  (5.8)

На рис. 5.2 показані залежності N(f) і  при a = 0,4. З рис. 5.2, б видно, що формує і узгоджений фільтри є фільтрами нижніх частот, але зі спеціальною АЧХ. Якщо в якості ФФ і СФ використовувати фільтри Баттерворта, Чебишева та ін., Синтезовані з метою наближення їх АЧХ до П-образної, то не буде виконуватися умова відсутності МСІ.

 
 


Вираз для імпульсу A(t) Можна отримати як зворотне перетворення Фур'є від залежності  , Вважаючи, що фазовий спектр тотожно дорівнює нулю:

 (5.9)

функцію P(t) Можна отримати як зворотне перетворення Фур'є від N(f), Вважаючи, що фазовий спектр тотожно дорівнює нулю:

P(t) =  . (5.10)

На рис. 5.3 показані графіки імпульсів A(t) і P(t) При a = 0,4. з графіка P(t) Видно, що його амплітудне значення дорівнює 1. А це означає, що при передачі імпульсу aiА(t) Відлік на виході діскретізатора дорівнює ai. З рис. 5.3 видно, що імпульс P(t) Набуває нульових значень при t = ± (k = 1, 2, 3, ...), т. Е. Задовольняє умові Відліковий. імпульс A(t) Не приймає нульові значення при t = ± (k = 1, 2, 3, ...).

       
   
 
 


Визначимо енергію імпульсу A(t), Що необхідно в подальшому аналізі,

 . (5.11)

Результат отриманий, виходячи з того, що інтеграл дорівнює площі під кривої, що описується підінтегральної функцією (рис. 5.2, а). оскільки функція N(f) Має кососімметрічний скат, то ця площа дорівнює площі прямокутника висотою Т і підставою fн = 1 / (2Т). Отримане значення дозволяє легко визначати енергію сигналу :

 . (5.12)

Для подальшого аналізу необхідно також значення середньої потужності шуму на виході СФ, АЧХ якого описується залежністю  , За умови, що спектральна щільність потужності шуму на вході СФ N0/ 2

 . (5.13)

При інтегруванні використаний той же підхід, що і при обчисленні інтеграла (5.11). Значення СКО шуму на виході СФ дорівнює

 . (5.14)

З огляду на (5.12) і (5.14), легко переконатися, що відношення сигнал / шум в момент відліку

 (5.15)

відповідає властивості узгодженого фільтра (4.9).

Контрольні питання

1. Сформулюйте призначення формує та узгодженого фільтрів.

2. Сформулюйте призначення тактової синхронізації.

3. Як визначається СКО шуму на виході СФ?




Кафедра теорії електричного зв'язку ім. А. р Зюко | ТЕОРІЯ ЗВ'ЯЗКУ | Вступ | Загальна характеристика задач прийому сигналів | Погоджений фільтр при небілих шумі | Узгоджена фільтрація радиоимпульсов | Оптимальні демодулятори одновимірних смугових сигналів | Оптимальні демодулятори двовимірних смугових сигналів | Імовірність помилки при оптимальній демодуляції одновимірних сигналів цифрової модуляції | Імовірність помилки при оптимальній демодуляції двовимірних сигналів цифрової модуляції |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати