На головну

Диференціальне рівняння механічного регулятора прямої дії (чутливого елемента)

  1. II. Шляхи протидії психологічному впливу противника.
  2. II.3.3) Сила і простір дії законів.
  3. IV. Визначте, яке завдання взаємодії з практичним психологом поставив перед собою клієнт.
  4. IV. Основні принципи взаємодії із зовнішніми пристроями ПК
  5. IX. Психомоторики: РУХУ, довільно РЕАКЦІЇ, ДІЇ, ДІЯЛЬНІСТЬ
  6. Quot; Розгублене "розуміння вдосконалення і дії
  7. U По спрямованості впливу: прямі і зворотні зв'язки.

При незмінному швидкісному режимі роботи регулятора (див. Рис. 4.4) муфта 5 чутливого елемента нерухома, так як знаходиться в статичному рівновазі, який визначається рівнянням (4.6). поршень 10 катаракта 11 займає положення, при якому пружина 9 не навантажуючи.

При порушенні статичної рівноваги підтримуюча сила  бере зріст  , Що викликає переміщення ?z муфти 5. В результаті деформації пружини 4 відновлює сила Е бере зріст АЕ і з'являється зусилля FA пружини 9, прикладена до точки А важеля 7.

Крім перерахованих сил в процесі руху на муфту 5 діють сили тертя. Силу тертя без мастильного матеріалу можна не враховувати через застосування багатою мастила, підшипників кочення і вібрації корпусу регулятора при роботі двигуна, що порушує контакти між поверхнями, що труться. Сила гідравлічного тертя Fr визначається у вигляді співвідношення

 (6.1)

де ? - коефіцієнт пропорційності, званий фактором гальмування, чисельне значення якого залежить від числа сполучаються при русі поверхонь тертя і якості їх мастила; d (?z) / dt - Швидкість переміщення муфти.

Якщо відома приведена до муфти маса ?чувствітельного елемента і пов'язаних з муфтою деталей регулятора і паливного насоса, то рівняння динамічної рівноваги механічного чутливого елемента, написане відповідно до принципу Даламбера, з урахуванням рівняння (4.6) отримає вигляд

 (6.2)

де  - Передавальне відношення механізму, який зв'язує вал двигуна з валиком регулятора.

Так як  - Функція двох змінних, то

 (6.3)

що справедливо при досить малому відхиленні ?? від положення рівноваги. приріст  залежить тільки від переміщення ?z муфти (див. п. 4.1, фрагмент «підтримуюча сила»), тому з урахуванням лінеаризації

?А = (dA / dz) ?z. (6.4)

Значення відновлювальної сили Е залежить від положення z муфти 5 чутливого елемента (див. рис. 4.4) і від положення ? тарілки 3, визначається положенням важеля управління 2. отже, Е = f (z; ?) і тоді після лінеаризації

 (6.5)

зусилля FA, створюване катаракти 11, залежить від деформації пружини 9. якщо ? Н - переміщення точки A, к - переміщення поршня 10, а bк - жорсткість пружини 9, то при відомому передавальному відношенні иА важеля 7, що зв'язує переміщення муфти 5 і точки A важеля,

 (6.6)

Підстановка виразів (6.3) - (6.6) в рівняння (6.2) і введення відносних відхилень

 (6.7)

з урахуванням співвідношення (4.4) приводить це рівняння до виду

 (6.8)

де Fp - Фактор стійкості чутливого елемента, який визначається виразом (4.9).

Розділивши всі члени рівняння на коефіцієнт при ?, одержимо

 (6.9)

де  - Час чутливого елемента, що характеризує його інерційність;

 - Час катаракта, що характеризує сили гідравлічного тертя регулятора;

 - Місцева ступінь нерівномірності (4.11);  - передавальні відносини;  - Відносна жорсткість пружини катаракта;

 - Коефіцієнт посилення по налаштуванню швидкісного режиму.

У операторної формі рівняння чутливого елемента (6.9) має вигляд

 (6.10)

де власний оператор елемента

 (6.11)

Упругопрісоедіненний катаракт 11 (див. Рис. 4.4) створює в механізмі регулятора ще одну ступінь свободи, але їм обладнають тільки прецизійні регулятори, до яких пред'являють вимоги високої точності підтримки заданого швидкісного режиму при малому значенні ступеня нерівномірності. До всережимним регуляторам такі високі вимоги не пред'являються, тому більшість регуляторів прямої дії не мають упругопрісоедіненного катаракта, що рівносильно рівності нулю жорсткості bк пружини катаракта. В цьому випадку ?п = 0 і тоді диференціальне рівняння (6.9) отримує вигляд:

 (6.12)

або в операторної формі запису:

 (6.13)

де власний оператор регулятора:

 (6.14)

Введення в рівняння передавальних функцій:

 (6.15)

де:

и  (6.16)

дозволяє побудувати структурну схему всережимного регулятора без упругопрісоедіненного катаракта (Рис. 6.1)

Мал. 6.1 Структурна схема регулятора частоти обертання.

При рівноважному режимі  , Тому рівняння (6.12) для поточну установку регулятора (?р = 0) отримає вигляд:

 (6.17)

представляє собою рівняння статичної рівноваги муфти чутливого елемента.

6.2. Перехідні процеси зі східчастою зміною частоти обертання

Перехідні процеси автоматичного регулятора прямої дії (і чутливого елемента регулятора непрямого дії), що описуються диференціальним рівнянням:

 (6.18)

можуть виникнути в результаті зовнішнього впливу, що обурює у вигляді зміни значення регульованого параметра ? або настройки ?р регулятора.

Відповідно до принципу суперпозиції виберемо в якості обурення ступеневу зміна частоти обертання валика регулятора так, що ? = 0 при t ? - 0 і ? = ?в = Const при t> + 0. За цих умов рівняння (6.12) при незмінній налаштування регульованого режиму (?р = 0) отримає вигляд

 (6.19)

Рішення такого неоднорідного рівняння шукається у вигляді суми:

 (6.20)

де ?од - Спільне рішення однорідного рівняння; ?в - Приватне рішення неоднорідного рівняння.

Однорідне рівняння, яке виходить при «зануленні» правій частині (6.19):

 (6.21)

має спільне рішення у вигляді:

 (6.22)

де С1 и С2 - Константи інтегрування, що залежать від початкових умов; p1 и p2 - Коріння характеристичного алгебраїчного рівняння:

 (6.23)

одержуваного після підстановки в рівняння (6.22) вираження ?Сеpt. Рішення характеристичного рівняння має вигляд

 (6.24)

де .

Приватне рішення ?в неоднорідного рівняння знаходять в формі правій частині, тому:  . Тоді загальний інтеграл рівняння (6.19) виходить у вигляді суми:

 (6.25)

Для визначення значень констант інтегрування С1 и С2 необхідно задати 2 початкових умови. Можна вважати, що при t = +0 (Т. Е. Після ступеневої збільшення числа оборотів двигуна) муфта залишалася нерухомою (?(0) = 0) при «нульовій» початкової швидкості  . Тоді, підставляючи t = 0 в формулу (6.25), отримаємо:

 (6.26)

Диференціюючи (6.25) маємо:

 (6.27)

підставляючи t = 0 в формулу (6.27), і з огляду на  , Отримаємо рівняння:

 (6.28)

Нарешті, вирішуючи систему (6.26) і (6.28) знайдемо:

 (6.29)

З урахуванням співвідношень (6.29) загальний інтеграл (6.25) приводиться до вигляду

 (6.30)

Характер перехідного процесу для обраних конструктивних параметрів и  визначається часом катаракта Тк. Дійсно, якщо сили гідравлічного тертя в механізмі регулятора великі і виконується умова S > 0 (т. Е. ), То обидва кореня p1 и p2 характеристичного рівняння виявляються речовими негативними числами, причому  . В цьому випадку перехідні процеси, описувані загальним інтегралом (6.25), є апериодическими.

Якщо ж параметри регулятора підібрані так, що виконується умова S <0, то корені характеристичного рівняння (6.23) стають комплексно - сполученими:

 (6.31)

де

З урахуванням формул Ейлера:

 (6.32)

і виразів (6.31) загальний інтеграл (6.25) при S <0 набуде вигляду

 (6.33)

де

и  (6.34)

Якщо ж при великих значеннях  (При більшій інерційності регулятора) або при малих значеннях Tк виконується умова S <0, перехідні процеси стають коливальними зі збільшенням часу перехідного процесу. збільшення  або Tк призводить також до збільшення періоду коливань, що визначається відношенням:

 (6.35)

На перехідний процес істотний вплив роблять сили тертя. Якщо в регуляторі вони виявляться істотно малими, (Tк > 0), то в цьому випадку рівняння (6.19) приймає вид:

 (6.36)

 
 

Мал. 6.2 Перехідні процеси в автоматичних регуляторах:

1 - 2 - аперіодичні ( S > 0); 3 - коливальний (S <0)

Таке рівняння описує незатухаючий коливальний процес з постійною амплітудою і періодом коливань:

 (6.37)

де ?0 - Частота власних незгасаючих коливань.

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати