На головну

Змішане твір трьох векторів

  1. VII. Електролітична дисоціація. Ступінь електролітичноїдисоціації. Іонний добуток води. твір розчинності
  2. ВЕКТОРНИЙ ВИТВІР
  3. Векторний витвір
  4. Векторний витвір
  5. Векторний добуток векторів
  6. Векторний добуток векторів
  7. Векторного добутку ВЕКТОРІВ.

З'ясуємо, що можна сказати про твір трьох векторів. Якщо ми помножимо скалярно два вектора  , То їх твір буде скаляром. При множенні третього вектора  на цей скаляр ми отримаємо вектор, колінеарний вектору .

Інша річ буде, якщо ми перемножимо вектори  векторно; в результаті ми отримаємо знову вектор. Якщо цей вектор знову векторно помножити на вектор  , То отримаємо новий вектор; якщо скалярно, то отримаємо скаляр. Розглянемо більш докладно останній випадок. твір  називається змішаним твором і позначається  або .

Для застосування змішаного твори важливо з'ясувати його геометричний сенс. Нехай розглядаються вектори  компланарність. Векторний витвір  є вектор, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма OADB, побудованого на векторах  , І який спрямований перпендикулярно до площини цього паралелограма (рис.3.16). Скалярний добуток  є твір довжини вектора  на проекцію вектора с на вектор e. ця проекція  як проекція вектора c на перпендикуляр до площини дорівнює відстані від кінця вектора c до площини паралелограма, взятому зі знаком + або -.

Побудуємо на векторах  паралелепіпед. Його висота дорівнює абсолютній величині проекції  , А площа підстави чисельно дорівнює довжині вектора e. Отже, твір ec по абсолютній величині дорівнює добутку площі підстави паралелепіпеда на його висоту, тобто обсягом паралелепіпеда.

Відзначимо, що цей твір має позитивний знак, якщо кут між векторами  гострий (якщо вектори  утворюють праву систему), і негативний - якщо він тупий (якщо ці вектори утворюють ліву систему).

Зі сказаного випливає, що абсолютна величина abc не залежить від того, в якому порядку беруться співмножники. Кругова перестановка співмножників не змінює величину смешан-

ного твору. Перестановка двох сусідніх сомножителей змінює його знак:

x
A
0
e
z
y

Рис.3.16. Геометричний сенс змішаного твір векторів.

Змішане твір звертається в нуль, якщо і тільки якщо вектори  компланарність.

Розглянемо вектори  . Знайдемо проекції векторного твори  . Відповідно до формул (3.15) ці проекції будуть відповідно

тоді

Права частина цієї рівності є визначник, у якого перший рядок складається з координат першого співмножники, друга - другого, третя - третього. Отже, ми отримуємо, що

 . (3.16)

На цьому ми закінчимо знайомство з елементами векторної алгебри, яка широко застосовується при вирішенні різних завдань, що мають справу з величинами, що характеризуються не тільки їх величиною, але й напрямком. Питання векторної алгебри висвітлюються, наприклад, в [7], [8].

 




Запис систем в матричної формі та їх рішення | Визначники та їх властивості | правило Крамера | Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими методом Гаусса | Теорема Кронекера-Капеллі | зворотна матриця | векторний простір | Система координат на прямій, на площині і в просторі | Вектори і лінійні операції над ними | Скалярний добуток векторів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати