На головну

Векторний добуток двох векторів

  1. N-мірне векторний простір дійсних
  2. N-мірне векторний простір дійсних чисел. завдання
  3. N-мірне векторний простір дійсних чисел. Комп'ютерна частина
  4. N-мірне векторний простір дійсних чисел. математична частина
  5. N-мірний вектор і векторний простір
  6. VII. Електролітична дисоціація. Ступінь електролітичноїдисоціації. Іонний добуток води. твір розчинності
  7. Векторне і нормальне рівняння площині

Векторним твором двох  називається вектор  , Довжина якого дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  , Перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, щоб найкоротший поворот від  навколо отриманого вектора  представлявся тим, що відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора  (Рис.3.13).

b
a
с
 Рис.3.13. Векторний витвір
O
r
A
P
F
 Рис.3.14. момент сили

З цього визначення випливає, що довжина вектора  дорівнює:

 . (3.12)

Векторний витвір  Векторний добуток одно нульового вектору в тому і тільки в тому випадку, коли принаймні один з перемножуєте векторів є нульовим або коли ці вектори паралельні, т. Е. Якщо вектори колінеарні.

Таким чином, умовою коллінеарності векторів буде:

 . (3.13)

Зокрема, завжди .

зауваження 3.2. Умова (3.13) коллінеарності двох векторів  можна замінити наступним:  , де  -Деякі число (вважаючи ).

Якщо вектори a і b взаємно перпендикулярні, то sin ( ) = 1, і, отже, довжина вектора-добутку дорівнює добутку довжин векторів співмножників, т. Е. В цьому випадку

Приклад 3.10. Перевірити справедливість рівності .

вектори  спрямовані по осях координат Ox і Oy, тоді вектор  буде спрямований по осі Oz. З іншого боку, його довжина дорівнює площі прямокутника, побудованого на векторах  , Т. Е. 1. Отже, .

Відзначимо, що аналогічно доводиться, що

.

приклад 3.11. Показати що

дійсно,

складаючи ці два рівності, знаходимо:

.

У механіці важливе значення має поняття моменту  щодо даної точки. якщо сила  прикладена до точки A (рис. 3.14), то моментом сили  щодо точки O називається вектор  , Який визначається формулою

,

де  є радіус-вектор точки прикладання. З визначення векторного добутку випливає, що величина моменту дорівнює величині сили, помноженої на відстань OP точки O від прямої, уздовж якої діє сила (відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму).

Властивості векторного твори.

1. При перестановці співмножників векторний добуток множиться на (-1), т. Е. .

Справді, площа паралелограма, побудованого на векторах 2  , Не змінюється при перестановці  . Тому вектори и  мають однакові довжини і колінеарні. Їх же напрямки протилежні.

2.  , Т. Е. Щоб помножити векторний добуток векторів на число, досить помножити на це число один із співмножників.

3. векторне твір підпорядковується розподільного (дистрибутивному) закону, т. Е. .

Для доказу зауважимо спочатку, що твір a  , де  - Одиничний вектор ( ), Можна побудувати так (рис.3.15). спроектуємо вектор  на площину, перпендикулярну до  , І отриману вектор-проекцію  , Повернемо в цій площині навколо точки  за годинниковою стрілкою на  (Якщо дивитися на площину з кінця вектора ).

отриманий вектор  і дорівнює  Справді,

,

де  -кут між векторами  ; вектор  перпендикулярний до векторів и  і спрямований в ту сторону, з якої найкоротший поворот від к  представляється совершающимся проти годинникової стрілки. Отже, .

Нехай тепер дано одиничний вектор  , Перпендикулярна до нього площину  і трикутник  (Ріс.3.16б), в якому

спроектуємо трикутник  на площину  і повернемо цю проекцію  в площині  за годинниковою стрілкою на .

отримаємо трикутник  , В якому за раніше доведеного

.

Так як  , то

 (3.14)

Помітивши, що  помножимо тепер обидві частини рівності (3.14) на скаляр  . Застосувавши властивість 2 векторного твори, отримаємо:

 або ( )  , що й потрібно було довести.

 а) б)
a
p
b
a
 a + b
 Рис.3.15. Розподільчий закон для векторного твори

приклад 3.12. Показати що  , І з'ясувати геометричний сенс цієї рівності. Справді:

.

Це рівність означає, що подвоєна площа паралелограма, побудованого на векторах  дорівнює площі паралелограма, побудованого на його діагоналях.

4. Розглянемо, як векторний добуток векторів

и  виражається через їх координати:

Так як

приклад 3.10), то

 . (3.15)

Формулу (3.15) легко запам'ятати, якщо скористатися визначником третього порядку. Якщо формальну конструкцію

розписати за правилами обчислення визначника третього порядку, то вийде права частина рівності (3.15), тому має місце наступне формальне рівність:

 




Приклад 2.6. | Запис систем в матричної формі та їх рішення | Визначники та їх властивості | правило Крамера | Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими методом Гаусса | Теорема Кронекера-Капеллі | зворотна матриця | векторний простір | Система координат на прямій, на площині і в просторі | Вектори і лінійні операції над ними |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати