загрузка...
загрузка...
На головну

Вектори і лінійні операції над ними

  1. I. Психологічні операції в сучасній війні.
  2. IV. Основний парадокс рефлексивної кооперації: неможливість взаєморозуміння. способи подолання
  3. Активні операції банків
  4. акцептні операції
  5. Орендні і лізингові операції
  6. Арифметичні вирази і операції
  7. арифметичні операції

Займемося тепер вивченням векторів в евклідових просторах и  (На площині і в просторі) і операцій над ними. В рамках цієї глави під векторними величинами (векторами) будемо розуміти спрямовані відрізки. Наприклад, швидкість, сила, прискорення є векторними величинами.

Скалярними величинами (скалярами) будемо називати величини, які повністю визначені своїм числовим значенням. Наприклад, довжина, площа, об'єм, маса, температура.

Зауважимо, що коли вектори розглядаються на площині або в просторі, то підкреслюючи їх зв'язок з направленим відрізком над літерами, їх позначають, часто ставиться риска. Ми тут не будемо цього дотримуватися виключно через технічні складнощі, пов'язаних з набором такого тексту. Для позначення векторів будемо використовувати курсив: a, b, c, ... .

Якщо початком вектора є точка A, а кінцем - точка B, і нам треба вказати це, то позначати його будемо так само, як це робиться для спрямованих відрізків: .

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною (а також модулем або абсолютною величиною). Довжина вектора позначається  ¦ або .

вектори називаються колінеарними, Якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. вектори називаються компланарними , Якщо вони паралельні деякій площині.

Нульовий вектор вважається колінеарну будь-якому вектору, так як він не має певного напряму.

Два вектора називаються рівними, Якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині.

До лінійних операцій над векторами відносяться додавання, віднімання і множення на число. нехай и  - Два довільних вектора. Шляхом паралельного перенесення сумісний початок вектора  з кінцем вектора .

Вектор, що з'єднує початок вектора  з кінцем вектора  , називається сумою векторів  і позначається

a
b
a
b
a + b
a
b
d
a + b + c + d
c
a
b
a + b

Рис.3.7. Правила додавання векторів: а) правило трикутника,

б) правило багатокутника, в) правило паралелограма.

Це правило побудови суми називається правилом трикутника (Рис. 3.7а). Сума декількох векторів будується за правилом багатокутника (ріс.3.7б): попередньо поєднують початок кожного наступного доданка з кінцем попереднього. Вектор, що з'єднує початок першого з кінцем останнього є сумою розглянутих векторів.

Суму двох векторів можна побудувати за правилом паралелограма. Для цього поєднують початок другого вектора з початком першого. Вектор, службовець діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах, і виходить із загального початку і буде сумою двох векторів (рис. 3. 7в).

різницею векторів  називається такий вектор  , що  , (Рис.3.8), різницю векторів  позначається .

Твором вектора a на дійсне число  називається вектор  , Який визначається наступними умовами:

2) вектор b коллінеарен вектору a,

3) вектори  спрямовані однаково, якщо  і протилежно, якщо  . (Якщо  , то ).

a
b
a
a-b
b

Рис.3.8. Різниця векторів.

твір вектора  на число  позначається .

Сума векторів та множення вектора на число володіють властивостями, зазначеними в 2.8.

Вектор, модуль якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором або ортом. Щоб з нерівного нулю вектора a отримати орт колінеарний a, Треба помножити вектор  на  . Орт, колінеарний  , Будемо позначати .

лінійною комбінацією векторів  ...,  називається вираз


,

де  - Деякі дійсні числа, які називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

теорема 3.1. Нехай дано два неколінеарних вектора и  . Будь компланарності з ними вектор  є їх лінійною комбінацією:  . І таке уявлення єдино.

Теорема 3.2. Нехай дано три некомпланарних вектора , и  . будь-вектор  представляється, і при тому єдиним чином, у вигляді їх лінійної комбінації:

.

вектори  називаються лінійно залежними, Якщо існують такі коефіцієнти  , 0 одночасно не рівні нулю, що

.

Якщо ж з того, що лінійна комбінація векторів дорівнює нулю, слід, що все її коефіцієнти дорівнюють нулю, то вектори називаються лінійно незалежними.

Система лінійно незалежних векторів називається базисом простору, якщо будь-який вектор може бути представлений як їх лінійна комбінація. В 2.8 ми з'ясували, що така система повинна бути максимальною і що в n-вимірному векторному просторі будь-яка максимальна система містить точно n векторів. Таким чином, базис на площині складається з двох векторів, в просторі - з трьох.

Очевидно, що вектори и  лінійно незалежні, вони утворюють базис на площині, який називається декартовим. аналогічно вектори  утворюють декартовий базис в просторі.

нехай  - Довільний вектор тривимірного простору, його можна розкласти по декартових базису, тобто представити у вигляді  . По теоремі 3.2. таке розкладання єдине. Коефіцієнти цього розкладання  називаються координатами вектора

Використовуючи координати вектора будемо писати:

.

Як уже зазначалося, вектори ми будемо позначати буквами, написаними курсивом, координати вектора будемо позначати тими ж буквами, але написаними звичайним шрифтом.

Теорема 3.3. Якщо відомо розкладання векторів по осях координат, то лінійні операції над векторами можна замінити арифметичними операціями над координатами.

нехай и  . тоді

 , (3.5)

тобто, щоб скласти два вектора, треба скласти їх відповідні координати; щоб помножити вектор на число, треба кожну його координату помножити на це число.

вектори  називаються складовими вектора  по координатним осях.

Розглянемо дві точки  з координатами ( ) і  в декартовій системі координат. Поставимо задачу знайти координати вектора  через координати точок  . Очевидно, що  (Рис.3.9).

 Рис.3.9. координати вектора
 Рис.3.10. Проекція вектора на вісь

З (3.5) випливає, що  має координати

.

Тобто доведено наступне: щоб знайти координати вектора, потрібно з координат його кінця відняти координати його початку.

проекцією вектора  на вісь (  називається довжина відрізка  між підставами перпендикулярів, опущених з точок  на вісь (рис.3.10), взята зі знаком плюс або мінус в залежності від того, чи збігається напрямок  з напрямком осі або протилежно йому. Проекція вектора на вісь - скалярна величина, вона дорівнює довжині (модулю) вектора, помноженої на косинус кута  між вектором і віссю (рис.3.11):

 , інакше ,

де и  - Координати проекцій точок

 Рис.3.11. Проекція вектора на вісь

Проекція суми векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь:

З попереднього випливає, що якщо осі декартової системи координат позначити x, y, z, то

,

 , (3.7)

довжина вектора (Модуль) - це довжина породжує його відрізку, вона обчислюється за формулою:

 .2

Ці формули виражають відстань між двома точками або довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда (рис 3.12).

Рис.3.12. Вираз довжини вектора через його координати

Напрямок вектора визначається кутами, які він утворює з осями Ox, Oy, 0z. Ці кути називаються направляючими (Їх позначають відповідно ), А їх косинуси - напрямними косинусами.

Вони обчислюються за формулами:

 (3.8)

З (3.8) отримуємо тотожність: +  , Яке часто використовується для перевірки правильності знайдених значень напрямних косинусів.

Очевидно, що напрямні косинуси вектора  є координатами його орта  , Тобто .

Приклад 3.2. Дано дві координати вектора :  Визначити його третю координату  за умови, що .

маємо:  тобто  = 13. тоді  , Тобто .

Приклад 3.3. вектор  складає з координатними осями Ox і Oy кути и  . Обчислити його координати за умови, що

маємо:


З (3.6) маємо:  аналогічно

Приклад 3.4. Дано два вектора и  . Визначити проекції на координатні осі вектора .

маємо:

Приклад 3.5. Визначити при яких значеннях

За умовою коллінеарності  , Отже, .

Приклад 3.6. Знайти орт вектора .

маємо  , звідки

Приклад 3.7. Дано три вектора  . розкласти вектор .

маємо:

З іншого боку,  0. Значить

, ,

вирішуючи цю систему рівнянь, знайдемо, що , ,  1, звідки

Відзначимо, що цей приклад ілюструє останні формули з попереднього параграфа.

тоді и

 




Приклад 2.4. | Приклад 2.5. | Приклад 2.6. | Запис систем в матричної формі та їх рішення | Визначники та їх властивості | правило Крамера | Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими методом Гаусса | Теорема Кронекера-Капеллі | зворотна матриця | векторний простір |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати