На головну

Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими методом Гаусса

  1. Barebone-системи
  2. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  3. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  4. I. Загальна характеристика СИСТЕМИ ПІДГОТОВКИ СПОРТСМЕНІВ У ЗИМОВОМУ універсальний БОЮ
  5. I. Формування системи військової психології в Росії.
  6. II. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ. Дипольниммоментом СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЗАРЯДІВ
  7. III. Схеми вивчення гри як системи взаємозв'язків і взаємовідносини

Розглянемо знову систему  лінійних рівнянь з  невідомими:

Значно більш зручним, ніж правило Крамера, при вирішенні систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса). Тим більше, що методом Гаусса можна вирішувати системи, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих.

Надалі нам доведеться робити такі перетворення системи рівнянь (порівняйте їх з перетвореннями, описаними при розгляді десятого властивості визначників): обидві частини одного з рівнянь системи, помножені на одне і те ж число, віднімати з відповідних частин деякого іншого рівняння системи. Такі перетворення називаються лінійними. Візьмемо для визначеності перші два рівняння системи. Обидві частини першого з них помножимо на число  і віднімемо з відповідних частин другого. Ми отримаємо нову систему рівнянь

де  при j = 1,2, ..., n, .

Системи рівнянь (2.26) і (2.27) еквівалентні, тобто вони або обидві несумісні, або ж обидві сумісні і мають одними і тими ж рішеннями. Справді, нехай  деякий розв'язок системи (2.26). Ці числа відповідають усім рівнянням системи (2.27), крім другого. Вони задовольняють, однак, і другого рівняння цієї систему - досить згадати, як це рівняння виражається через перше і друге рівняння системи (2.26). Неважко бачити, що вірно і зворотне, всяке рішення системи (2.27) є рішенням системи (2.26).

Зрозуміло, що якщо до системи (2.26) кілька разів будуть застосовані перетворення зазначеного типу, то вийшла при цьому система буде еквівалентна системі (2.26).

Може статися, що після виконання таких перетворень в нашій системі з'явиться рівняння, все коефіцієнти якого дорівнюють нулю. Якщо і його вільний член дорівнює нулю, то рівняння задовольняється при будь-яких значеннях невідомих, і тому, відкидаючи це рівняння, ми прийдемо до системи рівнянь, еквівалентної вихідної системі. Якщо ж вільний член даного рівняння не дорівнює нулю, то це рівняння не має рішення, тобто отримана нами система і еквівалентна їй вихідна система рішень не мають, і є несумісними.

Викладемо тепер метод Гаусса.

Розглянемо систему (2.26). Нехай для визначеності  . якщо  , То переставимо рівняння і, якщо треба, стовпці (поміняємо номера невідомих) так, щоб перший коефіцієнт в першому рівнянні ні дорівнює нулю. Перетворимо тепер систему (2.26), виключаючи невідому  з усіх рівнянь, крім першого. Для цього обидві частини першого рівняння помножимо на  і додамо до відповідних частин i-го рівняння (i = 2, ..., s). Таким чином, ми прийдемо до нової системи, еквівалентної вихідної:

Зауважимо, що число рівнянь могло зменшитися через те, що в ході обчислень було отримано рівняння, у якого ліва і права частини дорівнюють нулю.

Нам немає поки необхідності явно записувати нові коефіцієнти через коефіцієнти вихідної системи.

Перетворимо тепер систему (2.28). При цьому перше її рівняння ми більше чіпати не будемо. Підлягає перетворенням вважатимемо тільки частина системи (2.28), що складається з усіх рівнянь крім першого. При цьому ми, звичайно, вважаємо, що серед цих рівнянь немає таких, все коефіцієнти лівих частин яких дорівнюють нулю, - такі рівняння ми відкинули б, якби і їх вільні члени дорівнювали нулю, а в іншому випадку ми б вже довели несумісні вихідної системи . Таким чином, серед коефіцієнтів  є відмінний від нуля. Нехай для визначеності це  . Перетворимо тепер систему (2.28), додаючи до обох частин третьої та кожної з наступних рівнянь ліву і праву частини другого рівняння, помножені відповідно на числа

Цим буде виключено невідоме  з усіх рівнянь крім першого і другого, і ми приходимо до еквівалентної системи:

Наша система містить тепер t (t <= s) рівнянь. Подальших перетворень підлягає лише частина отриманої системи, що містить всі рівняння крім першого і другого.

Коли ж зупиниться цей процес послідовного виключення невідомих? Можливі такі випадки.

1. Ми приходимо до системи, одне з рівнянь якої має відмінний від нуля вільний член, а все коефіцієнти його лівій частині дорівнюють нулю, в цьому випадку вихідна система несумісна.

2. Ми отримуємо наступну систему рівнянь, еквівалентну системі (2.26):

тут  (I = 1,2, ..., k), відзначимо так само, що  і, очевидно  . В цьому випадку система (2.26) спільна. Вона буде певною при  і невизначеною при .

а) Дійсно, якщо  , То система (2.30) має вигляд:

З останнього рівняння ми отримуємо цілком певне значення для  . Підставляючи його в передостаннє рівняння, знайдемо однозначно певне значення для  0. Продовжуючи так далі, знайдемо, що система (2.31), а тому і система (2.26), мають єдиним рішенням, тобто ці системи є певними.

б) Якщо  , То для невідомих  , Назвемо їх вільними, Візьмемо довільні числові значення, після чого рухаючись по системі (2.30) (зворотний хід методу Гаусса) від низу до верху, ми як і раніше знайдемо для інших невідомих цілком певні значення. Так як значення для вільних змінних можна вибирати нескінченним числом різних способів, то система (2.30) і, отже, вихідна система, будуть сумісні, але не визначилися. Очевидно, що зазначеним тут способом (при всіляких виборах значень для вільних змінних) будуть знайдені всі рішення системи (2.30).

Слід мати на увазі, що трикутна або трапеціїдальн форми систем рівнянь (2.31), (2.30) вийшла з огляду на припущення про те, що діагональні коефіцієнти цих систем не рівні нулю. У загальному випадку та система рівнянь, до якої ми прийдемо після доведення до кінця методу виключення, придбає трикутну або трапеціїдальн форму лише після належного зміни номерів змінних і рівнянь.

Таким чином, підсумовуючи сказане, ми отримуємо, що метод Гаусса застосуємо до будь-якої системи лінійних рівнянь. При цьому система буде несумісною, якщо в процесі перетворень виходить рівняння, в якому коефіцієнти в лівій частині всі рівні нулю, а вільний член нулю НЕ дорівнює. Якщо ж такого рівняння ми не зустрінемо, то система спільна. Спільна система визначена, якщо вона приводиться до трикутного вигляду, і не визначена - якщо до трапеціїдальн.

При вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гаусса рекомендується виписати матрицю коефіцієнтів системи та приєднати до неї праворуч стовпець вільних членів, для зручності відокремлюючи його вертикальною лінією, і все перетворення виконувати над рядками цієї розширеної матриці. Зауважимо, що в ході перетворень ми можемо міняти місцями рядки розширеній матриці. Можна переставляти також і стовпці коефіцієнтів системи, але при цьому важливо пам'ятати який стовпець якої змінної відповідає. Якщо ви здійснюєте перестановку стовпців, то слід над ними вказати яким невідомим вихідної системи вони відповідають.

Приклад 2.10. Вирішити систему:

Її розширена матриця має вигляд:

Піддаючи цю матрицю описаним перетворенням, послідовно отримуємо:

Остання матриця відповідає системі

володіє єдиним рішенням: .

 




відображення множин | відображенням | потужність безлічі | Системи лінійних рівнянь | Матриці і дії над ними | Приклад 2.4. | Приклад 2.5. | Приклад 2.6. | Запис систем в матричної формі та їх рішення | Визначники та їх властивості |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати