На головну

Визначники та їх властивості

  1. III. Психічні властивості особистості - типові для даної людини особливості його психіки, особливості реалізації його психічних процесів.
  2. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  3. А. Властивості і види рецепторів. Взаємодія рецепторів з ферментами і іонними каналами
  4. Акустичні властивості фрикційного контакту
  5. Акустичні властивості фрикційного контакту в умовах автоколивань
  6. АЛГОРИТМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
  7. Алгоритми (властивості, реалізація алгоритмів)

Вивчення визначників почнемо з розгляду найпростішого випадок - з нагоди двох рівнянь з двома невідомими:

Помножимо перше рівняння на  (Припустимо, що ) І віднімемо результат з другого, отримаємо:

.

якщо  , то

Аналогічно, множачи друге рівняння на  (якщо ) І віднімаючи з першого, знайдемо

Ведемо позначення, поклавши

тобто через

 будемо позначати число, рівне різниці між твором елементів головної діагоналі матриці  ¦ і твором елементів іншого її діагоналі.

число  називається визначником  другого порядку.

З урахуванням сказаного ми можемо записати, що

Аналогічно, при вивченні систем трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими виникають визначники третього порядку:

Виявляється, що поняття визначника є корисним і в загальному випадку, при вирішенні і дослідженні систем  лінійних рівнянь з  невідомими, і не тільки для цього.

Мал. 2.1. Рис.2.2.

При обчисленні визначників третього порядку корисно використовувати наступне правило: перші три доданків (входять зі знаком плюс) обчислюються відповідно до схеми, зображеної на малюнку 2.1, вони представляють собою твір елементів головної діагоналі і елементів, що стоять в вершинах трикутників, одна зі сторін яких паралельна головної діагоналі. Складові, що входять зі знаком мінус, обчислюються аналогічно, але на основі схеми на рис.2.2.

Розглянемо тепер загальний випадок. нехай матриця  є квадратної і має розміри :

визначник матриці  будемо позначати ,  або

Визначником квадратної матриці  називається число, яке обчислюється за формулою:


У цій формулі через  позначена перестановка чисел 1,2, ..., n. перестановкою чисел 1,2, ..., n називається група цих чисел, розташованих в довільному але певному порядку. Нагадаємо, що число перестановок з  елементів одно  . Підсумовування в (2.19) здійснюється по всіх можливих перестановок чисел 1,2, ..., n. через  позначено число заворушень в перестановці  . Пара чисел в перестановці утворює безлад, Якщо більше стоїть в ній раніше меншого.

приклад 2.7. Розглянемо всі перестановки чисел 1,2,3 і визначимо в них число заворушень:

[1,2,3] = 0, [1,3,2] = 1,

[3,1,2] = 2, [3,2,1] = 3,

[2,3,1] = 2, [2,1,3] = 1.

твір  з формули (2.19) містить в точності по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця матриці  . Співмножники зручно розташовувати в порядку номерів рядків (як це і зроблено в (2.19)), номери ж стовпців, у тому числі взято співмножники, утворюють розглянуту перестановку.

Сформулюємо без доведення наступне твердження:

якщо в перестановці поміняти місцями два числа, то кількість заворушень при цьому зміниться на непарне число.

Звідси випливає, що, міняючи місцями пару чисел в перестановці, ми змінюємо парність числа заворушень в ній.

Вивчимо тепер властивості визначників.

Властивість 1. Визначник не змінюється при транспонировании.

Дійсно, кожний доданок в (2.19) має вигляд

 , (2.20)

де другі індекси складають деяку перестановку з символів 1, 2, ..., n. Однак все множники твору (2.20) залишаються в різних рядках і різних стовпчиках, т. Е. (2.20) служить членом і для транспоновану визначника. Щоб з (2.20) отримати відповідний член транспоновану визначника треба переставити співмножники в порядку їх других індексів (номерів стовпців), виявляється що число заворушень при цьому зміниться на парне число, і знак розглянутого доданка не зміниться. Звідси випливає сформульоване властивість.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження про рядках визначника справедливо і для його стовпців і назад, т. Е. Що в визначнику (на відміну від матриці) рядки і стовпці рівноправні. Виходячи з цього, ми будемо подальші властивості формулювати і доводити лише для рядків визначника.

Властивість 2. Якщо один з рядків означника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

Дійсно, нехай всі елементи i-го рядка визначника є нулями. У кожний доданок з (2.19) повинен увійти множником один елемент з i-го рядка, тому в нашому випадку всі складові дорівнюють нулю.

Властивість 3. При перестановці двох рядків визначник змінює знак.

Справді, нехай у визначнику  матриці  переставляються i-я і j-я рядки,  , А всі інші рядки залишаються на місці. Ми отримуємо визначник

 2.21

Якщо (2.20) є одна з складових вихідного визначника, то все його множники і в визначнику (2.21) залишаються, очевидно, в різних рядках і різних стовпчиках. Таким чином, визначник  і визначник (2.21) складаються з одних і тих же складових. Легко помітити, що відповідні складові цих визначників виходять одне з іншого перестановкою двох співмножників, при цьому число заворушень в перестановці, утвореної другими індексами, змінює парність, тобто доданок в визначнику (2.21) відрізняється від відповідного доданка вихідного визначника знаком, звідси і випливає сформульоване властивість.

Властивість 4. Визначник, у якому дві однакові рядки, дорівнює нулю.

Справді, нехай визначник дорівнює числу d і нехай відповідні елементи його i-й і j-й рядків ( ) Рівні між собою. Після перестановки цих двох рядків визначник дорівнюватиме, зважаючи на властивості 3, числу -d. Так як, проте, переставляються однакові рядки, то визначник насправді не змінюється, т. Е. D = -d, звідки d = 0.

Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на довільне число k, то сам визначник множиться на це число k.

Нехай на k помножені все елементи i-го рядка. Кожне складова в (2.19) містить рівно один елемент з i-го рядка, тому будь-яке доданок набуває множник k, тобто сам визначник множиться на k.

Це властивість допускає і таке формулювання: загальний множник всіх елементів деякого рядка визначника можна винести за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Справді, нехай елементи j-го рядка визначника відрізняються від відповідних елементів i-го рядка ( ) Одним і тим же множником k. Виносячи цей загальний множник k з j-го рядка за знак визначника, ми отримаємо визначник з двома однаковими рядками, рівний нулю по властивості 4.

Властивість 7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника n-го порядку представлені у вигляді суми двох доданків:

,

то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім i-й такі ж, як і в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів  , В іншому - з елементів .

Дійсно, будь-який член заданого визначника можна представити у вигляді

Збираючи разом перші доданки цих сум (з тими ж знаками, які мали відповідні члени в заданому визначнику), ми отримаємо визначник n-го порядку, що відрізняється від заданого лише тим, що в i-му рядку замість елементів  стоять елементи  . Відповідно другі доданки складають визначник, в i-му рядку якого стоять елементи  . Отже,

Властивість 7 без праці узагальнюється на випадок, коли будь-який елемент i-го рядка є сума не двох, а m доданків.

Скажімо, що i-й рядок визначника є лінійна комбінація його інших рядків, якщо для будь-якої рядки з номером j, j = 1,2, ..., i-1, i + 1, ..., n, можна вказати таке число  , Що множачи j-й рядок на  , А потім складаючи всі рядки, крім i-й (додавання рядків треба розуміти так, що складаються елементи всіх цих рядків в кожному стовпці окремо), ми отримаємо i-й рядок. Деякі з  можуть бути рівними нулю.

Властивість 8. Якщо один з рядків означника є лінійна комбінація його інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

Нехай i-й рядок визначника є лінійної комбінацією s якихось його рядків. Тоді кожен елемент цього рядка буде сумою s доданків, і наш визначник дорівнюватиме сумі s визначників, в кожному з яких i-й рядок пропорційна однієї з інших рядків. По властивості 6 ці визначники дорівнюють нулю, тоді і даний визначник дорівнює нулю.

Властивість 9. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Це властивість безпосередньо випливає з властивості 7. Так як вказане число може бути і негативним, то визначник не змінюється, якщо з елементів однієї з його рядків відняти відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Взагалі, визначник не змінюється, якщо до однієї з його рядків додати будь-яку лінійну комбінацію інших його рядків.

Нехай дано визначник порядку n. Візьмемо деякий його елемент  і викреслимо в ньому i-й рядок і j-й стовпець. У нас вийде визначник порядку n-1, який називається мінор елемента  і позначається . алгебраїчним доповненням елемента  називається твір  . Алгебраїчне доповнення елемента  будемо позначати :

.

Властивість 10. Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка на їх алгебраїчні доповнення:

 . (2.22)

Ніяке доданок з (2.19) не може увійти до складу двох різних доданків з (2.22): всі члени визначника, що входять до доданок  містять з i-го рядка елемент  і тому відрізняються від членів, що входять в доданок  . тобто містять з i-го рядка елемент  . Крім того, число доданків в правій частині (2.22) дорівнює (n-1)! N = n !.

Таким чином, кожне з творів, присутніх в (2.19), є і в правій частині (2.22) і навпаки.

твір  є алгебраїчною сумою доданків, які виходять при множенні елемента  на взяті зі знаком  складові визначника  . Можна показати, що складові в творі  є деякими складовими з (2.19), причому їх знаки збігаються.

Зі сказаного випливає справедливість рівності (2.22).

Замінюючи в розкладанні (2.22) алгебраїчні доповнення відповідними минорами зі знаками плюс або мінус, ми зведемо обчислення визначника n-го порядку до обчислення декількох визначників (n-1) -го порядку. Зауважимо, що якщо деякі з елементів i-го рядка дорівнюють нулю, то відповідні їм мінори не потрібно буде обчислювати. Зважаючи на це корисно попередньо перетворити визначник, використовуючи властивість 9: нехай, наприклад, елемент першого стовпця  ; помножимо цей рядок на  і додамо до k-му рядку; в результаті в першому стовпці k-го рядка з'явиться нуль. Виконавши цю операцію для всіх k, що не рівних i, ми отримаємо визначник, у якого всі елементи першого стовпчика, крім стоїть в i-й Рядок, дорівнюють нулю. Цей визначник по властивості 10 дорівнює  . Таким чином, нам вдалося звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення визначника n-1 порядку. Описані перетворення пов'язують з ім'ям Гаусса і ми ще не раз будемо їх використовувати.

приклад 2.8. обчислити визначник

Отримаємо визначник, у якого в першому стовпці всі елементи, крім першого дорівнюють нулю. Для цього:

помножимо перший рядок на (-1) і складемо з третьою;

помножимо перший рядок на (-2) і складемо з четвертої.

отримаємо:

Властивість 11. 1 Якщо всі елементи визначника, що лежать нижче (вище) головної діагоналі, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

Це твердження прямо випливає з останнього властивості.

Приклад 2.9.Розглянемо визначник п'ятого порядку:

Розкладаючи його і виходять далі визначники за елементами перших шпальт, отримаємо:

Властивості 9 і 11 дають метод обчислення визначників: використовуючи властивість 9 відповідно до схеми Гаусса добиваємося того, щоб всі елементи, які стоять нижче (вище) головною діагоналі, стали рівними нулю; шуканий визначник дорівнює добутку діагональних елементів. Якщо при цьому на головній діагоналі виявиться рівний нулю елемент, то визначник дорівнює нулю.

 




Множини та їх елементи | Операції над множинами | відображення множин | відображенням | потужність безлічі | Системи лінійних рівнянь | Матриці і дії над ними | Приклад 2.4. | Приклад 2.5. | Приклад 2.6. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати