На головну

логіка предикатів

  1. Внутрішня логіка і динаміка розвитку природознавства
  2. Глава II. Логіка і мова
  3. Дійсність, мислення, логіка, мова
  4. Динаміка і логіка продуктивного мислення
  5. Природні і штучні мови. Логіка і мова права.
  6. ЗАНЯТТЯ № 1. Предмет логіки. Логіка і мова. поняття
  7. Індуктивна логіка як методологія соціальних наук. проблема методу

Логіка предикатів вводить в розгляд висловлювання, віднесені до предметів. У ній вже є розчленовування висловлювання на суб'єкт і предикат.

нехай  - Деякий безліч предметів і , , ,  - Якісь певні предмети з цієї безлічі. Тоді висловлювання про ці предмети ми будемо позначати у вигляді , ,  і т.д.  позначає висловлювання про предмет ,  - Висловлювання про предмет ,  - Висловлювання про предмети и  і т.д. Нехай, наприклад,  являє собою натуральний ряд чисел, а літери  , Відповідно числа  . тоді  може бути, наприклад, висловлюванням: - -  "3.

Такі висловлювання можуть бути як істинні, так і помилкові. Ми будемо розглядати ці висловлювання лише з тієї точки зору, що вони являють собою або істину, або брехня, що позначаються відповідно символами и  . Але тут ми будемо вважати, що значення и  ставляться у відповідність певних предметів або групам предметів. Так, в розглянутих вище прикладах  являє собою  , Поставлену в відповідність предмету ; -  , Поставлену в відповідність предмету ; -  , Поставлену у відповідність парі предметів и  . нехай  - Довільне непорожній безліч, а  являє собою довільний предмет з цієї множини. тоді вираз  стає певним (стає висловлюванням), коли  заміщено певним предметом з .  вже є цілком певні висловлювання.

приклад 1.3. якщо  натуральний ряд, то  може позначати:  . Цей вислів стає висловлюванням, якщо  замінити деяким числом, наприклад:  "4 просте число" і т.д.

приклад 1.4. нехай  позначає:  . Цей вислів стає висловлюванням, якщо и  замінити числами: ,  і т.д.

Так як з нашої точки зору кожне висловлювання являє собою  або  , То вираз  означає, що кожному предмету з  поставлений у відповідність один з двох символів  або  . Інакше кажучи,  являє собою функцію, певну на безлічі  і приймаючу тільки два значення и  . Таким же чином вираження, що зв'язують два і більше предмета ,  і т.д. являють собою функції двох, трьох і т.д. змінних. При цьому змінні  пробігають безліч  , А функція приймає значення и  . Ці вислови, або функції одного або декількох змінних, ми будемо називати логічними функціями або предикатами. Предикатом з однією змінною можна висловити властивість предмета, наприклад,  ",  " і т.д.

Поняття предикатів в класичній логіці Аристотеля відповідає в нашій термінології предикату з однією змінною. Поняття, введене нами, має більш широкий зміст. Предикатами ми називаємо також і логічні функції декількох змінних. Ними можна виразити відносини між предметами. Нехай, наприклад,  - Безліч дійсних чисел, а змінні  - Предмети з  . Тоді можна за допомогою предикатів від двох і більшого числа змінних висловити різні відносини між числами, як-то:

та інші, позначивши ці предикати відповідно ,  і т.д. нехай  - Безліч членів сім'ї. Тоді можна предикатами висловити родинні стосунки, наприклад, ,  і т.д. предикат  може позначати , -  і т.д.

Крім операцій алгебри висловлювань, ми будемо вживати ще дві нові операції. Операції ці висловлюють собою затвердження спільності і існування.

1. Квантор спільності. нехай  - Цілком певний предикат, що приймає значення  або  для кожного елемента  деякого безлічі  . Тоді під виразом  ми будемо мати на увазі висловлювання істинне, коли  істинно для кожного елемента  безлічі  , І помилкове в іншому випадку. Це висловлювання вже не залежить від  . Відповідне йому словесне вираз буде: "для будь-якого  значення висловлювання  є істина ".

знак  називається квантором спільності , Як його позначення використана перевернута буква, з якої починається англійське слово All (Все, кожен).

2. Квантор існування нехай  - Деякий предикат. Ми зв'яжемо з ним формулу

,

визначивши її значення як істину, якщо існує елемент безлічі  , для котрого  істинно, і як брехня в разі, якщо такого елемента не існує. тоді якщо  - Певна формула логіки предикатів, то формула

також визначена і від значення  не залежить. знак  називається квантором існування, Його позначення йде від англійського Exist (Існувати).

квантори и  називаються подвійними один одному.

Ми будемо говорити, що в формулах и  квантори и  відносяться до змінної  або що змінна пов'язана відповідним квантором.

Предметну змінну, не пов'язану ніяким квантором, ми будемо називати вільної змінної. Таким чином, ми описали всі формули логіки предикатів.

Існує закон, що зв'язує квантори зі знаком заперечення. Розглянемо вираз

.

висловлювання  рівносильно висловом:  або, що те ж,  . Отже, вираз  рівносильно висловом

.

Розглянемо таким же чином вираз  . Це є вислів  . Але такий вислів рівносильно висловом:  або  . Отже, висловлювання  рівносильно висловом .

Ми отримали, таким чином, наступне правило:

 Знак заперечення можна ввести під знак квантора, замінивши квантор на двоїстий. У підставі сучасної математики крім математичній логіці лежить теорія множин.

 




ГЛАВА 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ І ТЕОРІЇ МНОЖИН 1 сторінка | ГЛАВА 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ І ТЕОРІЇ МНОЖИН 2 сторінка | ГЛАВА 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ І ТЕОРІЇ МНОЖИН 3 сторінка | ГЛАВА 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ І ТЕОРІЇ МНОЖИН 4 сторінка | аксіоматичний метод | Операції над множинами | відображення множин | відображенням | потужність безлічі | Системи лінійних рівнянь |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати