загрузка...
загрузка...
На головну

Нормальний закон розподілу

  1. I. Моль. Еквівалентні маси і еквіваленти простих і складних речовин. закон еквівалентів
  2. I.4.2) Закони.
  3. II закон Ньютона.
  4. II. Синтез тpіггеpов з довільно законом функциониpования.
  5. II. Стехіометричні закони хімії
  6. II.3. Закон як категорія публічного права
  7. II.3.2) Класифікація законів.

визначення:Безперервна випадкова величина Х маєнормальний закон розподілу (закон Гаусса), якщо її щільність розподілу має вигляд:

,

де m = M (X), ?2= D (X), ?> 0.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або кривою Гаусса (Рис.7)

 Нормальна крива симетрична відносно прямої х = m, має максимум в т. Х = а, рівний .

рис.7

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф (х) за формулою:

,

де - функція Лапласа.

зауваження:Функція ф (х) є непарною (ф (х) = - ф (х)), крім того, при х> 5 можна вважати ф (х) ?1 / 2.

Графік функції розподілу F (x) зображено на рис. 8

 рис.8

Імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що належать інтервалу (a; b) обчислюються за формулою:

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа ? обчислюється за формулою:

Зокрема, при m = 0 справедливо рівність:

«Правило трьох сигм»

Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і ?, то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3?; a + 3?), т. К.

Завдання №3. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 32 і дисперсією 16. Знайти: а) Щільність розподілу ймовірностей f (x); б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (28; 38).

Рішення: За умовою m = 32, ?2= 16, отже, ? = 4, тоді

 а)

б) Скористаємося формулою:

Підставивши a = 28, b = 38, m = 32, ? = 4, отримаємо

По таблиці значень функції ф (х) знаходимо ф (1,5) = 0,4332, ф (1) = 0,3413.

Отже, шукана ймовірність:

P (28

Завдання для самостійної роботи

3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть:

а) щільність розподілу f (x);

б) Функції розподілу F (x);

в) Числові характеристики;

г) Імовірність р (4 <х <6).

3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку [2; 7]. Знайдіть:

а) щільність розподілу f (x);

б) Функції розподілу F (x);

в) Числові характеристики;

г) Імовірність р (3?х?6).

3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовтий і 30 секунд червоний і т. Д. Машина проїжджає по шосе в випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофора, не зупиняючись.

3.4. Потяги метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу в випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що чекати поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х час очікування поїзда.

3.5. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу:

F (x) = 0 при х <0,

1-е-8х при х?0.

3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей:

 f (x) = 0 при х <0,

0,7-е-0,7х при х?0.

а) Назвіть закон розподілу даної випадкової величини.

б) Знайдіть функцію розподілу F (X) і числові характеристики випадкової величини Х.

3.7. Випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому щільністю розподілу ймовірностей:

 f (x) = 0 при х <0,

0,4 -е-0,4 х при х?0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (2,5; 5).

3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому функцією розподілу:

 
 


F (x) = 0 при х <0,

1-е-0,6х при х?0

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з відрізка [2; 5].

3.9. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 і 2. Знайдіть:

а) щільність розподілу f (x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (10; 14).

3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 і дисперсією 0,04. Знайдіть:

а) щільність розподілу f (x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з відрізка [3,1; 3,7].

3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і D (X) = 1. Яка з подій: | Х | ?0,6 або | Х | ?0,6 має велику ймовірність?

3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і D (X) = 1. з якого інтервалу (-0,5; -0,1) або (1; 2) при одному випробуванні вона прийме значення з більшою ймовірністю?

3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M (X) = 10день. од. і ? (Х) = 0,3 ден. од. знайти:

а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 ден. од. до 10,4 ден. од .;

б) За допомогою «правила трьох сигм» знайти кордону, в яких буде знаходиться поточна ціна акції.

3.14. Проводиться зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням ? = 5г. Знайти ймовірність того, що в чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважуваннях не відбудеться за абсолютною величиною 3г.

3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 12,6. Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал (11,4; 13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє відхилення ?.

3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 12 і D (X) = 36. знайти інтервал, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробування випадкова величина Х.

3.17.Деталь, виготовлена ??автоматом, вважається бракованою, якщо відхилення Х її контрольованого параметра від номіналу перевищує по модулю 2 одиниці виміру. Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і ? (Х) = 0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат?

3.18.Параметр Х деталі розподілений нормально з математичним очікуванням 2, рівним номіналом, і середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність того, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу.

відповіді

3.1.

0 при х?-3,

а) f (х) = 1/8 при -3 <х <5,

0 при х?5.

б) 0 при х?-3,

F (х) =  при -3 <х?5,

1 при х> 5.

в) M (X) = 1, D (X) = 16/3 ? (Х) = 4 / v3

г) 1/8.

3.2.

 0 при х <2,

а) f (х) = 1/5 при 2?х?7,

0 при х> 7.

 б) 0 при х?2,

F (х) =  при 2 <х?7,

1 при х> 7.

 
 

в) M (X) = 4,5, D (X) =, ? (Х) =

г) 3/5.

3.3. 40/51.

3.4. 7/12, M (X) = 1.

3.5. D (X) = 1/64, ? (Х) = 1/8

3.6. F (x) = 0, при х <0,

1-е-0,7х при х?0.

           
     
 
 


M (X) =, D (X) =, ? (Х) =.

3.7. р (2,5 <Х <5) = е -1-2?0,2325

3.8. р (2?Х?5) = 0,252.

 
 


3.9. а)

б) р (10 <Х <14) ?0,1574.

 
 


3.10. а) f (x) =,

б) р (3,1?Х?3,7) ?0,8185.

3.11. | X | ?0,6.

3.12.(-0,5; -0,1).

3.13. а) р (9,8?Х?10,4) ?0,6562.

б) (9,1; 10,9)

3.14. 0,111.

3.15. ? = 1,2.

3.16. (-6; 30).

3.17. 0,4%.

3.18. 0,8472.

 




Закон розподілу дискретної випадкової величини. | функція розподілу | Числові характеристики дискретної випадкової величини. | Дискретної випадкової величини, закон Пуассона. | Рішення | Рівномірний закон розподілу |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати