Головна |
визначення:Безперервна випадкова величина Х маєнормальний закон розподілу (закон Гаусса), якщо її щільність розподілу має вигляд:
,
де m = M (X), ?2= D (X), ?> 0.
Криву нормального закону розподілу називають нормальної або кривою Гаусса (Рис.7)
Нормальна крива симетрична відносно прямої х = m, має максимум в т. Х = а, рівний .
рис.7
Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф (х) за формулою:
,
де - функція Лапласа.
зауваження:Функція ф (х) є непарною (ф (х) = - ф (х)), крім того, при х 5 можна вважати ф (х) ?1 / 2.
Графік функції розподілу F (x) зображено на рис. 8
рис.8
Імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що належать інтервалу (a; b) обчислюються за формулою:
Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа ? обчислюється за формулою:
Зокрема, при m = 0 справедливо рівність:
«Правило трьох сигм»
Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і ?, то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3?; a + 3?), т. К.
Завдання №3. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 32 і дисперсією 16. Знайти: а) Щільність розподілу ймовірностей f (x); б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (28; 38).
Рішення: За умовою m = 32, ?2= 16, отже, ? = 4, тоді
а)
б) Скористаємося формулою:
Підставивши a = 28, b = 38, m = 32, ? = 4, отримаємо
По таблиці значень функції ф (х) знаходимо ф (1,5) = 0,4332, ф (1) = 0,3413.
Отже, шукана ймовірність:
P (28 Завдання для самостійної роботи 3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть: а) щільність розподілу f (x); б) Функції розподілу F (x); в) Числові характеристики; г) Імовірність р (4 х <6). 3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку [2; 7]. Знайдіть: а) щільність розподілу f (x); б) Функції розподілу F (x); в) Числові характеристики; г) Імовірність р (3?х?6). 3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовтий і 30 секунд червоний і т. Д. Машина проїжджає по шосе в випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофора, не зупиняючись. 3.4. Потяги метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу в випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що чекати поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х час очікування поїзда. 3.5. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу: F (x) = 0 при х <0, 1-е-8х при х?0. 3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей: f (x) = 0 при х <0, 0,7-е-0,7х при х?0. а) Назвіть закон розподілу даної випадкової величини. б) Знайдіть функцію розподілу F (X) і числові характеристики випадкової величини Х. 3.7. Випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому щільністю розподілу ймовірностей: f (x) = 0 при х <0, 0,4 -е-0,4 х при х?0. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (2,5; 5). 3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена по показовому закону, заданому функцією розподілу: F (x) = 0 при х <0, 1-е-0,6х при х?0 Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з відрізка [2; 5]. 3.9. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 і 2. Знайдіть: а) щільність розподілу f (x); б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (10; 14). 3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 і дисперсією 0,04. Знайдіть: а) щільність розподілу f (x); б) ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з відрізка [3,1; 3,7]. 3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і D (X) = 1. Яка з подій: | Х | ?0,6 або | Х | ?0,6 має велику ймовірність? 3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і D (X) = 1. з якого інтервалу (-0,5; -0,1) або (1; 2) при одному випробуванні вона прийме значення з більшою ймовірністю? 3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M (X) = 10день. од. і ? (Х) = 0,3 ден. од. знайти: а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 ден. од. до 10,4 ден. од .; б) За допомогою «правила трьох сигм» знайти кордону, в яких буде знаходиться поточна ціна акції. 3.14. Проводиться зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням ? = 5г. Знайти ймовірність того, що в чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважуваннях не відбудеться за абсолютною величиною 3г. 3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 12,6. Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал (11,4; 13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє відхилення ?. 3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 12 і D (X) = 36. знайти інтервал, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробування випадкова величина Х. 3.17.Деталь, виготовлена ??автоматом, вважається бракованою, якщо відхилення Х її контрольованого параметра від номіналу перевищує по модулю 2 одиниці виміру. Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 0 і ? (Х) = 0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат? 3.18.Параметр Х деталі розподілений нормально з математичним очікуванням 2, рівним номіналом, і середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність того, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу. відповіді 3.1. 0 при х?-3, а) f (х) = 1/8 при -3 х <5, 0 при х?5. б) 0 при х?-3, F (х) = при -3 х?5, 1 при х 5. в) M (X) = 1, D (X) = 16/3 ? (Х) = 4 / v3 г) 1/8.
3.2. 0 при х <2, а) f (х) = 1/5 при 2?х?7, 0 при х 7. б) 0 при х?2, F (х) = при 2 х?7, 1 при х 7.
в) M (X) = 4,5, D (X) =, ? (Х) =
г) 3/5.
3.3. 40/51.
3.4. 7/12, M (X) = 1.
3.5. D (X) = 1/64, ? (Х) = 1/8
3.6. F (x) = 0, при х <0,
1-е-0,7х при х?0.
M (X) =, D (X) =, ? (Х) =.
3.7. р (2,5 Х <5) = е -1-е-2?0,2325
3.8. р (2?Х?5) = 0,252.
3.9. а)
б) р (10 Х <14) ?0,1574.
3.10. а) f (x) =,
б) р (3,1?Х?3,7) ?0,8185.
3.11. | X | ?0,6.
3.12.(-0,5; -0,1).
3.13. а) р (9,8?Х?10,4) ?0,6562.
б) (9,1; 10,9)
3.14. 0,111.
3.15. ? = 1,2.
3.16. (-6; 30).
3.17. 0,4%.
3.18. 0,8472.
Закон розподілу дискретної випадкової величини. | функція розподілу | Числові характеристики дискретної випадкової величини. | Дискретної випадкової величини, закон Пуассона. | Рішення | Рівномірний закон розподілу |