На головну

Глава 1. Лінійна і векторна алгебра

  1. I. АЛГЕБРА.
  2. IV. Алгебра подій.
  3. алгебра висловлювань
  4. Алгебра подій.
  5. Алгебра та початки аналізу
  6. Алгебра.
  7. алгебраізація рівнянь

· Алексашкина Л. н., Данилов А. а., Косулина Л. р Росія і світ в ХХ столітті. 11 клас. - М .: Просвещение, 2002.

· Волобуєв О. в., Клоков В. а., Пономарьов М. в. Росія і світ в XX столітті. 11 клас. - М .: Дрофа, 2000..

· Загладин Н. в. Всесвітня історія, XX століття. 11 клас. - М .: Російське слово, 2002.

· Загладин Н. в. Історія Росії та світу. ХХ століття. 11 клас. - М .: Російське слово, 2003.

Глава 1. Лінійна і векторна алгебра

 §1 Матриці
 1. Матриця, елементи матриці  Прямокутна таблиця, складена з  чисел, називається матріцейіз  рядків і  стовпців розміру  . Для позначення матриці застосовуються круглі дужки і великі літери А, В, С ..... Числа  складові матрицю, називаються її елементами. Горизонтальні ряди матриці називаються рядками матриці, вертикальні - стовпцями. А =  - Матриця розміру  .1, 2, 3 - елементи першого рядка. 3,5 - елементи третього стовпця. елемент  = 3.
 2. Симетрична матриця  якщо amn = anm, То матриця називається симетричною  - Симетрична матриця
 3. Квадратнаяматріца. Головна і побічна діагоналі квадратної матриці.  Матриця, у якої число рядків дорівнює числу її стовпців називається квадратною матрицею. При цьому число її рядків (стовпців) називається порядком матріци.В квадратної матриці числа  утворюють головну діагональ матриці, а числа  побічну діагональ. матриця  є квадратна матриця третього порядку. 1,0,7 - елементи головної діагоналі.
 4. Діагональнаяматріца  Квадратна матриця, у якої все числа, які не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею.  Квадратна матриця виду  називається діагональнойматріцей.  - Діагональна матриця другого порядку.
 5. Едінічнаяматріца  Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею. Одиничну матрицю позначають великою літерою Е  матриця  одинична матриця третього порядку
 6. Матриця-рядок, матриця-стовпець.  Матриця, що складається тільки з одного рядка, називається матрицею-рядком, що складається тільки з одного стовпчика матрицею - стовпчиком.  Матриця А = (2 0 5 4) є матриця - строка.В =  - Матриця - стовпець.
 7. транспонується-ванна матриця  матриця  називається транспонірованнойпо відношенню до матриці А, якщо стовпчики (рядки) матриці  є відповідними рядками (стовпцями) матриці . ;  
 8. Рівність матриць  Дві матриці А і В називаються рівними (A = B), якщо вони мають однакові розміри і рівні відповідні елементи.  якщо и  , то
 9. Сума матриць  Нехай дано матриці и  , Що мають однакові розміри  .Сумма Матриць А і В називається матриця  тих же розмірів  , Що і задані матриці, елементи якої  визначаються правилом  для всіх  .Сумма Матриць підпорядковується переместительному і сочетательному законам, т. Е. и Завдання.якщо  то Завдання.дано матриці ;  , Знайти 2А + В.Рішення. , .
 10. Умноженіематріци на число  твором матриці розмірів  на число  називається матриця  тих же розмірів, що і матриця А, елементи, якій визначаються правилом  для всіх  .Умноженіе Матриці на число підкоряється закону  , де и  числа. Завдання.якщо и  , то

 11. Умноженіематріц  Твором матриці А розмірів  на матрицю В розмірів  називається матриця  розмірів  , елементи  якої визначаються за формулою  для всіх  і всіх . Завдання.дано и Так як число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, то твір  визначено і . Завдання.дано , . Рішення.Матриця А має два стовпці, В - два рядки; отже,  визначено. .
 §2 Визначники
 12. Понятіеопределітеля. Визначник другого порядку.  Визначник це число, яке за спеціальними правилами обчислюється для кожної квадратної матриці.Визначником другого порядку, відповідним заданої матриці А, називається число, що дорівнює Для позначення визначника використовуються вертикальні рисочки і прописна буква .
       

 13. Определітельтретьего порядку  Визначником третього порядку, відповідним даної квадратної матриці А, називається число елементи  утворюють головну діагональ визначника, а елементи  побічну діагональ. Завдання.Обчислити визначник матриці Рішення. .
 14. Мінор  мінором  елемента  , де  визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням  го рядка і  го стовпця. Завдання.дано:  . знайти . Рішення. . Відповідь. - 2.

 15. Алгебраічес-кое доповнення  алгебраїчним доповненням елемента  , де  , Називається мінор  цього елемента, взятий зі знаком .  де . Завдання.дано:  . знайти . Рішення. . Відповідь. 2.
 16. визнач-ки  гопорядка  визначник  го порядку, відповідний квадратної матриці А, позначається символом і визначається як число  де  є алгебраїчні доповнення відповідних елементів . Завдання.обчислити визначник . . .  .Значеніе Визначника: .
 17. Понятіевирожденной і невироджених матриці  позначимо через  визначник матриці  і обчислимо його. Тоді, якщо  , То матрицю  називають неособенной (невироджених) матрицею, якщо ж  , То особливої ??(вироджених) матрицею. .  .Так як  , То матриця  невироджених.
 18. Обратнаяматріца  квадратна матриця  порядку  називається зворотного матрицею для даної матриці  , якщо де  одинична матріца.Всякая неособлива матриця  має зворотну матрицю  , Яка визначається формулою  , де  є алгебраїчні доповнення відповідних елементів  матриці . Завдання.дана матриця  , знайти . Рішення.det A = 4 - 6 = -2. M11= 4; M12= 3; M21= 2; M22= 1x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1 / 2Такім чином,  .
 19. Ранг матриці  Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангом матриці. позначається  або  . Очевидно, що  , де  менше з чисел и  . Мінор, порядок якого визначає ранг матриці, називається базисним. Завдання.дана матриця  . Визначити її ранг. Рішення.маємо ,  .Мінор Четвертого порядку скласти не можна.Відповідь.  
 20. Определеніеранга матриці методом елементарних перетворень  Найпростіший спосіб визначення рангу матриці полягає у приведенні її до східчастого увазі за допомогою послідовності елементарних преобразованій.К них відносяться: - множення рядка на довільне число, відмінне від нуля; - додаток до деякої рядку будь-якого іншого рядка, помноженої на одне і теж число; - викреслювання нульовий рядки. Завдання.Знайти ранг матриці  .Рішення. Після вирахування першого рядка з інших отримуємо еквівалентну матрицю, а з останньої помножену на 2,  .Оскільки Три рядки проміжної матриці були пропорційні, то з них можна отримати дві ненульові рядки, які ми відкинули. Зрозуміло, що  т. к.
 21. Спільна і несумісні система лінійних рівнянь. Певна і невизначена система лінійних уравненій.Теорема Кронекера - Капеллі.  Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної, що має тільки одне рішення певної, має більше одного рішення - невизначеною, яка не має жодного рішення - несумісною.Теорема 1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу основної матриці Завдання.Визначити спільність системи лінійних рівнянь:  
  Теорема 2.Якщо ранг спільної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення.Теорема 3.Якщо ранг спільної системи менше числа невідомих, то система має незліченну безліч рішень. Ранг A = 2 Ранг  . Система несовместна.
 22. Решеніесістеми лінійних рівнянь за формулами Крамера Теорема. Система з n рівнянь з n невідомими в разі, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдине рішення і це рішення знаходиться за формулами: xi = Di / D, де D = det A, а Di - Визначник матриці, одержуваної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi. ; ; ; ; ; ; . Завдання.Вирішити за формулами Крамера систему рівнянь Рішення.Система містить однакове число рівнянь і невідомих. обчислимо визначник  цієї системи. Так як  , То рішення можна знайти за формулами Крамера: тоді Відповідь. {1; 2}.
 23. Рішення систем лінійних рівнянь матричним методом Завдання.Вирішити матричним способом систему рівнянь Рішення.Система містить однакове число рівнянь і невідомих. обчислимо визначник  цієї системи:  . Так як  , То система має єдине рішення. складемо матриці  Так як визначник системи  , То матриця  має зворотну матрицю  , де  Обчислимо алгебраїчні доповнення  всіх елементів тоді .
 24. Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.  Метод Гаусса може бути застосований до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні неізвестних.Рассмотрім систему лінійних рівнянь: Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11 ? 0, потім: 1) помножимо на а21 і віднімемо з другого рівняння; 2) помножимо на а31 і віднімемо з третє і т. д.Получім:  , де  , J = 2, 3, ..., n + 1.  , I = 2, 3, ..., n; j = 2, 3, ..., n + 1.Далее повторюємо ці ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього і т. Д. Завдання.Вирішити систему методом Гаусса. Рішення.Складемо розширену матрицю системи. Таким чином, вихідна система може бути представлена ??у вигляді:  , Звідки отримуємо: z = 3; y = 2; x = 1.
 §3 Вектори
 25. Вектор.Коордінати вектора.  Вектором називається спрямований відрізок. нехай точка  є початок вектора, а точка  його кінець, тоді цей вектор позначається символом  і зображується за допомогою стрелкі.Еслі задані 2 точки в просторі и  , то . Завдання.дано: ,  . Знайти координати вектора . Рішення. , . Відповідь. .
 26. Модуль вектора  Відстань між початком і кінцем вектора називається довжиною вектораілі його модулем. Модуль вектора позначається символами Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку і кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторі ,  , то  .Якщо  , то . Завдання.дано: ,  . знайти . Рішення. , , . Відповідь. .
 27. Нульовий вектор  Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим і позначається  . Нульовий вектор не має певного напряму і його  .
 28. Понятіеколлінеарних векторів  Вектори, розташовані на одній прямій або паралельних прямих, називаються колінеарними.нехай вектори и  задані в координатної формі: ,
 
 

.  -умова коллінеарності двох векторів

Завдання.при будь и  вектори и  колінеарні?Рішення.Так як  , то  Звідси знаходимо, що ; .
 29. Понятіекомпланарних векторів  Вектори, розташовані на одній площині або на паралельних площинах, називаються компланарними. вектори , ,  - Компланарні.
 30. Понятіеравенства векторів  два вектора и  називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакову довжину. Рівність векторів записується у вигляді  . У координатної формі:  , якщо .
 31. протипожежні-помилковий вектор  вектор  називається протилежним вектором для вектора  , Якщо він йому коллінеарен, має однакову з  довжину, але спрямований у протилежний бік. вектори и  називаються взаємно протилежними векторами.
 32. Едінічнийвектор  Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором, позначається символом  і визначається за формулою . Завдання.(Координати одиничного вектора) .Определіть координати одиничного вектора  , якщо . Рішення.  , Отже, .
 33. Направляющіекосінуси вектора  позначимо через  кути, між вектором  і осями координат  . Тоді з прямокутних трикутників  отримаємо . Завдання.вектор  заданий координатами своїх кінців: и  . Знайти проекції вектора  на координатні осі і його напрямні косинуси.Рішення.Знаходимо проекції вектора  на координатні осі: , ,  , А модуль вектора  . Обчислимо напрямні косинуси: ; ; . Відповідь. ; ; .
 34. Сума векторів  сумою векторів и  називається третій вектор  , Початок якого збігається з початком вектора  , А кінець - з кінцем вектора  , За умови, що початок вектора  докладено до кінця вектора  .Нехай вектори и  задані в координатної формі: Сума векторів: . Завдання. дано: ,  . знайти . Рішення. , . Відповідь.  .
 35. Разностьвекторов  різницею векторів и  називається такий вектор  , що  .Разность Векторів в координатної формі:   Завдання. дано: ,  . знайти . Рішення. , . Відповідь. .
 36. Множення векторів  Нехай дано вектор  і число  . твором вектора  на число називається вектор  , Колінеарний вектору  , Що має довжину  і той же напрямок, що і вектор  , якщо  , І протилежний зміст, якщо  . якщо  , то  .Проізведеніе вектора =  на число  в координатної формі: = Завдання. дано:  . знайти 3 . Рішення. 3  = {6; 0; 9}.Відповідь. {6; 0; 9}.
 37. Розподіл відрізка в данномотношеніі  якщо точка  ділить відрізок  , де ,  у відносинах  , Т. Е.  , То її координати знаходяться за формулами , ,  .Зокрема, При  крапка  ділить відрізок навпіл , , . Завдання. дано точки и  . на прямій  знайти точку  , Що ділить відрізок  у відносинах . Рішення. , ,  .Отже, Шукана точка . Відповідь. .
 38. Проекціявектора на вісь
 
 

проекція вектора  на вісь  дорівнює модулю вектора  , Помноженому на косинус кута  між вектором і віссю:

.

Завдання.Обчислити проекцію вектора  на напрям вектора . Рішення. ; ,  .Отже, . Відповідь. .
 39. Скалярноепроізведеніе векторів  скалярним проізведеніемвекторов и  називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. властивості скалярного твори: 1)  ; 2)  , якщо  або  , або  .3)  ; 4)  ; 5) ,  .Якщо Розглядати вектори ;  в декартовій прямокутній системі координат, то . Завдання.Знайти скалярний добуток  , якщо Рішення. . Відповідь. 336.
 40. Определеніеугла між векторами. Геометричний сенс скалярного твори векторів.  Так як  , то Завдання.Дано вершини трикутника и  . Визначити внутрішній кут трикутника при вершині . Рішення.побудуємо вектори и  . маємо  . тоді Відповідь.
 41. ортогональность векторів  якщо  то  або  .Умова Називається умовою перпендикулярності двох векторів Завдання.При якому m вектори и  перпендикулярні.Рішення. ; . Відповідь. .
 42. Фізіческійсмисл скалярного твори векторів Завдання. Обчислити роботу по переміщенню матеріальної точки вздовж відрізка, з точки  в точку  під дією постійної за величиною і напрямком сили Рішення.З курсу фізики відомо, що робота  , Що здійснюються при зазначених в прикладі умовах, знаходиться за формулою  Так як  , то Відповідь. 5.
 43. Векторноепроізведеніе векторів  векторним проізведеніемвекторов и  називається вектор  , Що задовольняє наступним умовам: 1)  , де  - Кут між векторами и  ; 2) вектор  ортогонален векторах и  ; 3) , и  утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів , и  називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот про т першого до другого видно проти годинникової стрілки. В протилежному випадку трійка називається лівої. Векторний добуток векторів и  позначається:  або . Властивості векторного добутку векторів:  1)  ; 2)  , якщо  або  або  ; 3)  ; 4)  .Введем Декартових систему координат і розглянемо векторні твори одиничних векторів . ,
 44. Векторноепроізведеніе векторів в координатної формі  Якщо задані вектори и  в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами  , то Приклад. Знайти векторний добуток векторів и . ; .
 45. Нахожденіеплощаді паралелограма. Геометричне додаток векторного добутку векторів.
 
 

Площа паралелограма, побудованого на векторах и  визначається за формулою:

Завдання.Дано вершини трикутника и  Обчислити площу цього трикутника.Рішення.знайдемо вектори  . маємо: Так як  дорівнює площі паралелограма  , То площа  трикутника  знайдеться за формулою Відповідь. 14.Завдання.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах  , якщо  (од2).Відповідь. 4.
 46. ??Механіческоепріложеніе векторного добутку векторів Завдання.сила  прикладена до точки  . Визначити момент сили відносно початку координат.Рішення.нехай точка  є деяка точка  . моментом сили  , Прикладеного до точки  , Щодо точки  називається вектор  . За умовою  . Тоді, відповідно до формули (1.61), отримаємо . Відповідь.
 47. Смешанноепроізведеніе векторів  Змішаним твором векторів , и  називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора  на вектор, рівний векторному добутку векторів и  .Обозначается  або  .Смешанное твір  по модулю дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах , и



Глава 3. Пряма на площині | Глава 4. Площина в просторі | Глава 5. Пряма в просторі | Глава 6. Криві другого порядку | Глава 8. Диференціальна геометрія | Глава 9. Межа функції в точці | Глава 10. Диференціальне числення функції однієї змінної | Глава 11. Функції декількох змінних | Глава 12. Невизначений інтеграл | Основні методи інтегрування |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати