загрузка...
загрузка...
На головну

Приклади розв'язання задач

  1. Amp; Завдання №3 Імпорт таблиць
  2. Amp; Завдання №4 Створення таблиці за допомогою Конструктора.
  3. Amp; Завдання №5 Створити зв'язку встановленого типу. Друк Схеми БДБазаПочтаФамілія.
  4. Amp; Завдання №6 Заповнення таблиць БДБазаПочтаФамілія.
  5. Excel для вирішення прикладних завдань
  6. I. Завдання семіотики і передумови, необхідні для її розробки
  7. I. До чого прагне педагогіка, якою вона має бути і в чому її завдання?

 
 


Мал. 3.1

Приклад 1. Два точкових електричних заряду Q1 = 1нКл и Q2 = -2 НКл знаходяться в повітрі на відстані d = 10 см один від одного. визначити напруженість Е і потенціал ? поля, що створюється цими зарядами в точці А, Віддаленої від заряду Q1 на відстань r1= 9 см і від заряду Q2 на r2 = 7 см. Визначити також силу F, Що діє в точці А на точковий заряд Q = 10 нКл.

Рішення. Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, кожен заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість  електричного поля в шуканої точці може бути знайдена як геометрична сума напруженостей 1 и 2 полів, створюваних кожним зарядом окремо:  . Напруженості електричного поля, створюваного в повітрі (?= 1) зарядами Q1 и Q2,

;  . (3.1)

вектор 1 (Див. Рис. 3.1) спрямований по силової лінії від заряду Q1, Так як цей заряд позитивний; вектор 2 направлено також по силової лінії, але до заряду Q2, Так як цей заряд від'ємний.

модуль вектора  знайдемо по теоремі косинусів:

 , (3.2)

де  - Кут між векторами 1 и 2, ,  який може бути знайдений з трикутника зі сторонами r1, r2 и d:  . В даному випадку, щоб уникнути громіздких записів зручно значення cos ? обчислити окремо:

.

підставляючи вираз Е1 и E2 з (3.1) в (3.2) і виносячи загальний множник 1 / (4??0) За знак кореня, отримуємо

 . (3.3)

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, потенціал ? результуючого поля, створюваного двома зарядами Q1 и Q2, Дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів:

 ? = ?1+ ?2. (3.4)

Потенціал електричного поля, створюваного в вакуумі точковим зарядом Q на відстані r від нього, виражається формулою

 . (3.5)

У нашому випадку відповідно до формул (3.4) і (3.5) отримаємо

,

або

.

Сила, що діє на точковий заряд, що знаходиться в електричному полі в точці А

,

де напруженість знаходиться з виразу (3.3).

Зробимо обчислення:

;

.

  Мал. 3.2.
Приклад 2. Три точкових заряди Q1= 1 нКл, Q2= 2 нКл і Q3= 3 нКл розташовані в вершинах рівностороннього трикутника, довжина сторони якого а = 5 см. Визначити напруженість поля в точці А, що знаходиться на перетині биссектрис трикутника.

Рішення. Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, кожен заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість  електричного поля в шуканої точці може бути знайдена як геометрична сума напруженостей 1 и 2 и  полів, створюваних кожним зарядом окремо:  . Напруженості електричного поля, створюваного в повітрі (?= 1) зарядами Q1 и Q2 и Q3:

; ; ;  . (3.6)

вектор 1 (Див. Рис. 3.2) спрямований по силової лінії від заряду Q1, вектор 2 спрямований по силової лінії від заряду Q2 і вектор 3 спрямований по силової лінії від заряду Q3, Так як всі заряди позитивні.

модуль вектора  знайдемо із співвідношення

 , (3.7)

де и  - Проекції векторів 1 , 2 и 3 на координатні осі x і y (рис. 3.2).

,  . (3.8)

підставляючи вираз Е1 , Е2 и E3 з (3.6) в (3.8), отримуємо:

 . (3.9)

модуль вектора  знаходимо, підставляючи (3.9) в (3.7): .

Зробимо обчислення:

.

Приклад 3. На тонкому стрижні довжиною l = 10 см знаходиться рівномірно розподілений електричний заряд. На продовженні осі стрижня на відстані а = 5 см від найближчого кінця знаходиться точковий заряд Q1= 40 нКл, Який взаємодіє зі стрижнем з силою F = 6 мкн. Визначити лінійну щільність ? заряду на стрижні. знайти потенціал ? в точці А, розташованої на осі стрижня і віддаленій від

його найближчого кінця на відстань l.

Рішення. сила взаємодії F зарядженого стрижня з точковим зарядом Q1 залежить від лінійної щільності ? заряду на стрижні. Знаючи цю залежність, можна визначити ?. При обчисленні сили F слід мати на увазі, що заряд на стрижні не є точковим, тому закон Кулона безпосередньо застосувати не можна. В цьому випадку можна поступити наступним чином. Виділимо з стрижня (рис. 3.3) мала ділянка dr з зарядом dQ = ?dr. Цей заряд можна розглядати як точковий. Тоді, відповідно до закону Кулона:

.

Інтегруючи цей вираз в межах від а до а+l, Отримуємо:

,

звідки

.

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю лінійної щільності електричного заряду. Для цього в праву частину формули замість символів величин підставимо їх одиниці:

Знайдена одиниця є одиницею лінійної щільності заряду.

Зробимо обчислення:

.

потенціал d?, Створюваний точковим зарядом  в точці А (рис. 3.3), можна визначити за формулою

.

Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, потенціал електричного поля, створюваного зарядженим стрижнем в точці А, знайдемо інтегруванням цього виразу:

.

Виконаємо інтегрування:

 . (3.10)

Потенціал в точці А за принципом суперпозиції є сумою потенціалів, створених точковим зарядом  і стрижнем з розподіленим зарядом:  , де  - Потенціал в точці  , Створений зарядом  ; а  - Потенціал в точці  , Створений стрижнем і визначається виразом (3.10). Звідки

.

Підставами числові значення фізичних величин в СІ (1 / (4??0) = 9.109 м / Ф, Q1= 4. 10-8 Кл, l = 10-1м, а = 5.10-2 м, ? = 10 .10-9 Кл / м) і зробимо обчислення:

? = 9 .109 ( +1,25 .10-9 .0,693) = 7,8 У.

Приклад 4. За тонкій нитці, зігнутої по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною ? = 10 нКл / м. визначити напруженість  і потенціал ? електричного поля, ство-ваемого таким розподіленим зарядом у точці, що збігається з центром кривизни дуги. довжина l нитки становить ? довжини окружності і дорівнює 15 см.

Рішення. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігалося з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо решт дуги (рис. 3.4). На нитки виділимо елемент довжини dl. заряд dQ=rdl, Що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цього знайдемо спочатку напруженість dE поля, що створюється зарядом dQ:

,

де  - Радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.

висловимо вектор  через проекції dEx и dEy на осі координат:

,

де и  - Одиничні вектори напрямків (орт). напруженість  знайдемо інтегруванням:

.

Інтегрування ведеться уздовж дуги довжиною l. В силу симетрії  . тоді

 , (3.11)

де dEy= dEcos? = ?dlcos? /(4??0r2). Так як r = R = const, dl = Rd?, то

.

підставами вираз dEy в (3.11) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування візьмемо від 0 до ? / 3, а результат подвоїмо:

.

висловивши радіус R через довжину l нитки (3l= 2?R), Отримаємо:

 . (3.12)

З цієї формули видно, що напруженість поля у напрямку збігається з віссю Оу.

Знайдемо потенціал електричного поля в точці О. Спочатку знайдемо потенціал d?, Створюваний точковим зарядом dQ в точці О:

.

замінимо r на R і проведемо інтегрування:

.

Так як l = ?R, то  . (3.13)

Зробимо обчислення за формулами (3.12) і (3.13):

 = 2,17 кВ / м,

 = 188 В.

Мал. 3.5

Приклад 5. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q = 50 нКл з лінійною густиною ? = 40 нКл / м. визначити напруженість Е електричного поля, створюваного цим зарядом в точці А, що лежить на осі кільця і ??віддаленої від його центру на відстань, рівну половині радіуса.

Рішення. Сумісний координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Oz - з віссю кільця (рис. 3.5). На кільці виділимо малий ділянку довжиною dl. Так як заряд dQ = ? dl, Що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, створюваного цим зарядом, може бути записана у вигляді

,

де  - Радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки А.

розкладемо вектор на дві складові: 1, Перпенд-кулярной площині кільця (сонаправленнимі з віссю Oz), і 2, Паралельну площині кільця (площині хОу), т. Е.

= 1+ 2.

напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

,

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів dQ и dQ ' (dQ=dQ '), Розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори dE2 и dE2' в точці А рівні по модулю і протилежні за напрямком: 2= - . Тому векторна сума (інтеграл)  . складові dE1 для всіх елементів кільця сонаправлени з віссю Oz (одиничним вектором ), Т. Е. 1= . тоді

.

Так як , и  , то

.

Таким чином,

.

зі співвідношення Q = 2?R? визначимо радіус кільця:  . тоді

.

модуль напруженості  . (3.14)

Перевіримо, чи дає права частина отриманого рівності одиницю напруженості, В / м:

.

Висловимо фізичні величини, що входять в формулу (3.14), в одиницях СІ (? = 5.10-8 Кл / м, Q = 4.10-8Кл, ?0= 8,85.10-12Ф / м) і зробимо обчислення:

.

Приклад 6. Дві концентричні провідні сфери радіусами R1= 5 см и R2 = 10 см несуть відповідно заряди Q1 = 10 нКл и Q 2= -5 НКл. знайти напруженість Е поля в точках, віддалених від центру сфер на відстанях r1 = 4 см, r2 = 8 см, r3 = 15 см. Побудувати графік Е(r).

Рішення. Зауважимо, що точки, в яких потрібно знайти напруженості електричного поля, лежать в трьох областях (рис. 3.6): області / (r1<R1), Області // (R122), Області /// (r3> R2).

1. Для визначення напруженості Е1 в області / проведемо гауссову поверхню S1 радіусом r1 і скористаємося теоремою Остроградського - Гаусса:

(Так як сумарний заряд, що знаходиться всередині гаусом поверхні, дорівнює нулю). З міркувань симетрії En=E1= Const. отже, и Е1 (Напруженість поля в області /) у всіх точках, що задовольняють умові r11, Буде дорівнює нулю.

 
 


Мал. 3.6

2. В області // гауссову поверхню проведемо радіусом r2. В цьому випадку діелектричну проникність  середовища будемо вважати що дорівнює одиниці (вакуум) і скористаємося теоремою Остроградского- Гаусса:

(Так як всередині гаусом поверхні знаходиться тільки заряд Q1).

Так як Еn=Е2=const, то Е можна винести за знак інтеграла:

 , або ;

,

де S2= 4?r22 - Площа гаусом поверхні. тоді

 . (3.15)

3. В області /// гауссова поверхню проводиться радіусом r3. позначимо напруженість E області /// через Е3 і врахуємо, що в цьому випадку гауссова поверхню охоплює обидві сфери і, отже, сумарний заряд буде дорівнює Q1+ Q2. тоді

.

Помітивши, що Q2<0, цей вислів можна переписати у вигляді

 . (3.16)

Переконаємося в тому, що права частина рівності (3.15) і (3.16) дає одиницю напруженості:  . Висловимо все величини в одиницях СІ (Q1 = 10-8 Кл, Q2 = - 5.10-9 Кл, r1 = 0,08 м, r3 = 0,15 м, 1 / (4??0) = 9.109 м / Ф) І зробимо обчислення:

;

.

побудуємо графік Е(r). В області / (r1<R1) Е= 0. В області // (R1?r22) E2(r) Змінюється за законом  . У точці r=R1 напруженість E2(R1) =  = 36 кВ / м. У точці r=R2 (R прагне до R2 зліва) E2(R2) = = 9 кВ / м. В області /// (r> R2) E3(r) Змінюється за законом  , Причому в точці r = R2 (R прагне до R2 праворуч) E3(R2) = = 4,5 кВ / м. Таким чином, функція Е(r) В точках r=R1 и r=R2 терпить розрив. Графік залежності E(r) Представлений на рис. 3.7.

Приклад 7. У вакуумі є скупчення зарядів у формі довгого циліндра радіуса R0 = 2 cм. Густина зарядів  постійна і дорівнює 2 мкКл / м3. Знайти напруженість поля в точках 1 і 2, що лежать на відстанях r1 = 1 cм, r2 = 3 cм від осі циліндра, і різниця потенціалів між цими точками. побудувати графіки и .

Поле створено зарядом,
 Мал. 3.8
 РРРІ Рис. 3.8.
 одно-мірно розподіленим за обсягом. Конфігурація зарядів дозволяє вважати, що поле має осьову симетрію: силові лінії - прямі і в будь-якій площині, перпендикулярній осі циліндра, радіальні (рис. 3.8).

Допоміжної поверхні слід надати форму циліндричної поверхні, коаксіальної заряду. Довжина цього циліндра може бути довільною, але свідомо багато менше, ніж довжина зарядженого циліндра. Характер функціональної залежності  для точок, що лежать всередині і поза об'ємного заряду, різний. Тому слід провести дві допоміжні циліндричні поверхні S1 и S2 з радіусами и .

Визначимо проекцію вектора E на нормаль обраної поверхні Еn1= E = const и En2= 0. Потік через обрану поверхню циліндра дорівнює

 (3.17)

де h - Висота циліндра.

Визначимо заряд, що потрапляє всередину виділеної поверхні: при r 0  , А при r> R0

 . (3.18)

Застосуємо теорему Гаусса  , Використовуючи вираз (3.17) і (3.18)  , звідки

 - Напруженість всередині циліндра (3.19)

 , звідки

 - Напруженість поза циліндра. (3.20)

Для визначення різниці потенціалів між точками 1 и 2 розіб'ємо Dj на два інтеграла: в межах від точки 1 до поверхні, що обмежує об'ємний заряд, і від цієї поверхні до точки 2:  . У перший інтеграл слід підставляти вираз (3.19), у другій вираз (3.20):  . (3.21)

Підставляючи в (3.19) r = r1 і в (3.20) r = r2, Знаходимо:

;

.

Обчислимо чисельне значення виразу (3.21):

.

Для побудови графіка Er(R) на підставі виразів (3.19) і (3.20) доцільно спочатку розрахувати Er при r = R0:

В/ М.

графічна залежність Er(R) показана на рис. 3.9.

 Графік залежності  можна побудувати з аналізу графіка Er(R), враховуючи що  . Виберемо початок відліку на осі об'ємного заряду: j (0) = 0. Так як у всій області Er> 0, т. Е. (Dj / dr)<0, то потенціал безперервно зменшується. В області r 0 Er возрас-

 тане  , відповідно  і графік j (r) звернений увігнутістю вниз. при r> R0 Er убуває  , відповідно  і графік j (r) звернений увігнутістю вгору.

при r = R0 крива j (r) має точку перегину (друга похідна змінює знак). Графік j (r) зображений на рис. 3.10. Якщо змінити початок відліку потенціалу, то характер графіка не змінюється, наприклад, при виборі початку відліку на поверхні об'ємного заряду  графік прийме вигляд, зображений на рис. 3.10 пунктиром.

Приклад 8. Електричне поле створюється двома зарядами Q1 = 2 мкКл и Q2 = -4 МкКл, Що знаходяться на відстані а = 0,2 м один від одного. Визначити роботу A1,2 сил поля по переміщенню заряду Q = 50 нКл з точки 1 в точку 2 (Рис. 3.11).

Рішення. Для визначення роботи A1,2 сил поля скористаємося співвідношенням A1,2 = Q(?1-?2).

Мал. 3.11

Застосовуючи принцип суперпозиції електричних полів, визначимо потенціали ?1 і ?2 точок 1 і 2 поля:

;

.

тоді

,

або

.

Перевіримо, чи дає права частина рівності одиницю роботи (Дж):

.

Підставами числові значення фізичних величин в СІ:

(Q = 50 .10-9Кл, Q1= 2.10-6кл, Q2= 4.10-6Кл, a = 0,2 м, ) І зробимо обчислення:

.

Приклад 9. Визначити прискорює різниця потенціалів U, Яку повинен пройти в електричному полі електрон, що володіє швидкістю v1= 3,106м / с, Щоб швидкість його зросла в n = 3 рази.

Рішення. Прискорює різниця потенціалів можна знайти, обчисливши роботу А сил електростатичного поля. Ця робота визначається твором елементарного заряду е на різницю потенціалів U:

 A = eU.  (3.22)

Робота сил електростатичного поля в даному випадку дорівнює зміні кінетичної енергії електрона:

 , (3.23)

де Т1 и Т2 - Кінетична енергія електрона до і після проходження прискорює поля; m - Маса електрона; v1 и v2 - Початкова і кінцева швидкості його.

Прирівнявши праві частини рівностей (3.22) і (3.23), отримаємо:

 , де .

Звідси шукана різниця потенціалів .

Зробимо обчислення:

= 204,7 В.

Мал. 3.12 Приклад 10. З поверхні нескінченного рівномірно зарядженого (? = 50 нКл / м) Прямого циліндра вилітає ?-частинка (v0 = 0). Визначити кінетичну енергію T2 ?-частинки (КеВ) в точці 2 на відстані 8R від поверхні циліндра (рис. 3.12).

Рішення. Так як сили електростатичного поля є консервативними, то для визначення кінетичної енергії ?-частинки в точці 2 скористаємося законом збереження енергії, записаному у вигляді W1= W2, де W1 и W2 - повні енергії ?-частинки в точках 1 і 2.

Так як W1= T1+ U1 и W2= T2+ U2 (T1 и Т2 - Кінетичні енергії ?-частинки; U1 и U2 - Потенційні), то, враховуючи, що Т1= 0 (v0= 0), можна записати U1= T2+ U2, звідки Т2= U1-U2= Q(?1-?2) (Q - Заряд ?-частинки; ?1 и ?2 - Потенціали точок 1 і 2).

Для визначення різниці потенціалів скористаємося співвідношенням між напруженістю поля і зміною потенціалу: Е = -grad?. Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, це співвідношення можна записати у вигляді

 , або d? = -Edr.

Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів двох точок, віддалених на відстанях r1 и r2 осі циліндра:

 . (3.24)

Так як циліндр довгий і точки взяті поблизу його середній частині, то для вираження напруженості поля можна скористатися формулою напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром:

.

Підставивши цей вираз в (3.24), отримаємо:

.

Враховуючи що  , а  , запишемо

.

тоді

.

Висловимо все величини в одиницях СІ (Q = 2.1,60.10-19 Кл, ? = 50.10-9 Кл / м, ) І зробимо обчислення ( - Коефіцієнт переведення з Дж в еВ): = = 3,96 кеВ.

Приклад 11. конденсатор ємністю С1= 6 мкФ був заряджений до різниці потенціалів U1= 20 В. Після відключення від джерела струму конденсатор з'єднали паралельно з іншим незарядженим конденсатором ємністю С2= 10 мкФ. яка енергія W ' витратиться на утворення іскри в момент приєднання другого конденсатора?

Рішення. Енергія, витрачена на утворення іскри:

W '= W1-W2, (3.25)

де W1 - Енергія, якою володів перший конденсатор до приєднання до нього другого конденсатора; W2 - Енергія, яку має батарея, складена з двох конденсаторів.

Енергія зарядженого конденсатора визначається за формулою

W = ?CU2, (3.26)

де С - ємність конденсатора або батареї конденсаторів.

Висловивши у формулі (3.25) енергії W1 и W2 за формулою (3.26) і взявши до уваги, що загальна ємність паралельно з'єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей окремих конденсаторів, отримаємо

W '= ?C1U12-?(C1+ C2)U22, (3.27)

де U2 - Різниця потенціалів на затискачах батареї конденсаторів.

З огляду на, що заряд після приєднання другого конденсатора залишився колишнім, висловимо різниця потенціалів U2 наступним чином:

.

Підставивши вираз U2 в (3.27)), знайдемо

,

або

.

Зробимо обчислення:

Дж = 750 мкДж.

Приклад 12. потенціометр опором R = 150 Ом підключений до батареї з ЕРС e = 300 В і внутрішнім опором Ri = 50 Ом. Визначити: 1) показання вольтметра опором RV = 500 Ом, Сполученого з однією з клем потенціометра і рухомим контактом, встановленим посередині потенціометра; 2) різниця потенціалів між тими ж точками потенціометра при відключенні вольтметра.

Рішення. 1. Показання вольтметра, підключеного до точок A і В (рис. 3.13), визначимо за формулою

U1= I1R1,

 де R1 - Опір паралельно з'єднаних вольтметра і половини потенціометра; I1 - Сумарна сила струму в гілках цього з'єднання (вона дорівнює силі струму в нерозгалужене частини ланцюга).

силу струму I1 знайдемо за законом Ома для повного кола:

I1=e/ (Re+ Ri), (3.28)

де Re - Опір зовнішньої ланцюга. Це опір є сума двох опорів:

Re= R/ 2+ R1. (3.29)

опір R1 знайдемо за формулою паралельного з'єднання провідників  , звідки

Підставивши в (3.28) вираз Re по (3.29), знайдемо

.

В даному випадку рішення задачі в загальному вигляді було б громіздким. Тому зручно обчислення величин провести окремо:

= 65,22 Ом;

= 1,58 A;

U1=1,58 .65,22 = 103,04 B.

2. Різниця потенціалів між точками А і В при відключеному вольтметрі дорівнює добутку сили струму I2 на половину опору потенціометра:

, (3.30)

де I2 - Сила струму в ланцюзі при відключеному вольтметрі. Її визначимо за формулою

.

Підставивши вираз I2 в (3.30), знайдемо

.

Зробимо обчислення:

 = 112,5 В.

Приклад 13. Сила струму в провіднику опором R = 20 Ом наростає протягом часу ?t = 2 з за лінійним законом від I0= 0 до I = 6 А (рис. 3.14). визначити теплоту Q1, Що виділилася в цьому провіднику за першу секунду, і Q2 - За другу, а також визначити ставлення .

Рішення. Закон Джоуля-Ленца в вигляді Q = I2Rt справедливий для постійного струму (I = const). Якщо ж сила струму в провіднику змінюється, то зазначений закон справедливий для нескінченно малого інтервалу часу і записується у вигляді

dQ = I2Rdt. (3.31)

Тут сила струму I є деякою функцією часу. В даному випадку

 I = kt, (3.32)

де k - Коефіцієнт пропорційності, що характеризує швидкість зміни сили струму:

.

З урахуванням (3.32) формула (3.31) набуде вигляду

 dQ = k2Rt2dt. (3.33)

Для визначення теплоти, що виділилася за кінцевий інтервал часу ?t, Вираз (3.33) треба проінтегрувати в межах від t1 до t2:

.

Зробимо обчислення:

Q1= . 32 .20 (1-0) = 60 Дж;

Q2= .32.20 (8-1) = 420 Дж.

отже,

,

т. е. за другу секунду виділиться теплоти в сім разів більше, ніж за першу.




Основні формули і закони | Модуль прискорення. | Другий закон Ньютона, або, де - результуюча сила, що діє на матеріальну точку. | Приклади розв'язання задач | Основні формули і закони | Приклади розв'язання задач | Контрольна робота 2 |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати