загрузка...
загрузка...
На головну

Висновок диференціального рівняння

  1. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки
  2. IX. ВИСНОВКИ З I ГЛАВИ
  3. IX. ВИСНОВКИ ПРО ЗНАЧЕННЯ капіталізму у російській землеробства
  4. V. Висновки
  5. VIII. Іонні рівняння реакцій
  6. XIII. ВИСНОВКИ З II ГЛАВИ
  7. А) виведення з ладу ПК або операційної системи;

Розглянемо елемент стержня  (Рис.2.3).

 
 


рис.2.3

Так як бокова поверхня стержня теплоізольована, то елемент  може отримувати тепло тільки через поперечні перерізи и  . позначимо через  площа поперечного перерізу, а через и  - Нормалі до перетину и  , Спрямовані всередину елемента  . Тоді за законом Фур'є тепло, яке надійшло в елемент за час  через перетину и  , Запишеться відповідно у вигляді ,

;

при цьому ми врахували, що напрямок  збігається з напрямком осі Ox, А напрямок  протилежно йому. Складаючи останні вирази і застосовуючи теорему про кінцевих збільшеннях, запишемо загальна кількість тепла, отримане елементом за час  у вигляді

, .

Згідно із законом збереження енергії все це тепло йде на нагрівання елемента, тому його можна виразити формулою (2.7)

,

Прирівнюючи обидва вирази для  і скорочуючи на  , Потім переходячи до межі при  , Отримаємо диференціальне рівняння теплопровідності .

Якщо стрижень однорідний, тобто  - Постійні, то рівняння можна записати у вигляді

 , (2.10)

де .

Початкова умова має вигляд  , ( ), (2.11)

де  - Початкове значення температури.

Приступаємо до висновку граничних умов. Очевидно, маємо

а)  , (2.12)

де и  - Температури кінців стрижня.

У випадку б) проводимо ті ж міркування, що і при виводі рівняння (2.10), для граничних елементів и .

позначимо через  кількість тепла, що надходить в одиницю часу через перетин  . Тоді рівняння теплового балансу для елемента  запишеться у вигляді

.

скоротивши на  і перейшовши до межі при  , отримаємо

б)  . (2.13)

Цілком аналогічно отримуємо

 , (2.14)

де  - Потік тепла через перетин .

У разі теплоізольованих решт  і, отже:

б ')  (2.15)

Нарешті, випадок теплообміну в) можна розглядати як окремий випадок випадку б) при ;

;

(Див. Закон Ньютона), де  - Коефіцієнти теплообміну, а  - Температури середовища у кінців стрижня. Після цього отримуємо з (2.13), (2.14):

в)  (2.16)

 , де ,  . (2.17)

Отже, завдання формулюється в такий спосіб. В області  знайти безперервну функцію  так, щоб вона задовольняла рівняння (2.10), початкових умов (2.11) і граничним умовам одного з типів (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) або (2.16), (2.17).

ЗАВДАННЯ 8. Поставити завдання про визначення температури стрижня при початкових і граничних умовах попередньої завдання для випадку, коли на бічній поверхні стрижня відбувається теплообмін за законом Ньютона з середовищем, температура якої є заданою функцією часу.

Вказівка. Диференціальне рівняння і граничні умови виводяться так само, як в завданні 7, але треба врахувати, що тепер тепло надходить в елемент не тільки через його торці, а й через бічну поверхню.

ЗАВДАННЯ 9. Вивести рівняння для температури тонкого дроту, що нагрівається постійним електричним струмом, якщо на еe поверхні відбувається конвективний теплообмін за законом Ньютона з навколишнім повітрям, що має відому температуру.

Поставити завдання про визначення температури в цьому дроті, якщо кінці його затиснуті в масивні клеми із заданою теплоємністю і дуже велику теплопровідність.

 Рішення. Диференціальне рівняння виводиться так само, як і в задачі 7, тільки тепер до кількості тепла, яке отримує елемент дроту  через торці і бічну поверхню, треба додати кількість тепла, яке виділяється в елементі електричним струмом за час :  , де  - сила струму,  - Опір одиниці довжини проводу,  - Коефіцієнт пропорційності.

Зазначене диференціальне рівняння має вигляд

 , (2.18)

де  - Мають той же сенс, що і в задачі 8 (див. Відповідь). Початкова умова, як і в завданнях 7 і 8, має вигляд  , (2.19)

де  - Температура дроту при .

Виведемо граничні умови.

Розглянемо тіло T, що складається з граничного елемента  і що примикає до нього клеми. Це тіло отримує тепло через перетин  , Через бічну поверхню елемента і в результаті проходження струму через елемент (теплом, яке виділяє ток в клеми і яке втрачається клеммой в результаті теплообміну можна знехтувати). Сумарна кількість тепла, одержуваного тілом T, складе

.

Це тепло йде на зміну температури тіла T і, отже, так само

,

при цьому ми вважаємо, що температура у всіх точках тіла T постійна, так як  мало, а клема має дуже велику теплопровідність. Прирівнюючи ці значення  , Ділячи результат на  і переходячи до межі при  , отримаємо

 . (2.20)

Цілком аналогічно отримаємо умову на іншому кінці:

 , (2.21)

де  - Теплоємність клеми на кінці .




Г. А. Мазанова | Рівняння еліптичного типу 19 | Висновок рівняння вільних коливань | Висновок рівняння вимушених коливань | Дослідження рівняння вільних коливань | Дослідження рівняння вимушених коливань. резонанс | Глава 2 Висновок рівнянь і постановка задач математичної фізики | Рівняння гіперболічного типу | Рішення задач вільних і вимушених коливань методом поділу змінних | Рішення рівнянь теплопровідності методом поділу змінних |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати