Головна |
Еліптичних параболоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
(7)
де p> 0 і q> 0.
Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоїда.
Розглянемо перетину даної поверхні координатними площинами Oxy і Oyz. Отримуємо відповідно рівняння
и
з яких випливає, що в перетинах виходять параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат.
Тепер розглянемо перетину даного параболоїда площинами z = h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, що виходить в перетині, визначається рівняннями
або (8)
з яких випливає, що при площину z = h перетинає еліптичний параболоїд по еліпсу з півосями и . При збільшенні h величини a і b теж збільшуються; при h = 0 еліпс вироджується в точку (площину z = 0 стосується даного гіперболоїда). При h <0 рівняння (8) визначають уявний еліпс, тобто точок перетину площині z = h з даними гіперболоїдом немає.
Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити еліптичний параболоїд у вигляді нескінченно опуклою чаші.
Точка (0; 0; 0) називається вершиною параболоїда; числа p і q - його параметрами.
У разі p = q рівняння (8) визначає коло з центром на осі Oz, тобто еліптичний параболоїд можна розглядати як поверхня, утворену обертанням параболи навколо її осі (параболоїд обертання).
Поверхні другого порядку | Однополосний гіперболоїд. | Конус другого порядку. |