Головна |
АЗН. 5.1. система векторів лінійного простору V над P , ,. . . , (1) називається базисом простору V, коли виконуються 2 умови:
1) система (1) лінійно незалежна; 2) (Умова повноти) " IV $l1, l2, ...,lnIP =l1 +l2 + . . .+ ln .
АЗН. 5.2. кількість векторів в базисі називається розмірністю простору V над P. Те, що простір V має вимірність n позначається n = dimpV, або n = dimV.
Св-во. 5.3. Визначення 5.2. коректне, тобто, що коли (2) і (1) - базиси V, тоді k = n. Доведення. Весь простір виявляється через (1), значиться, (2) виявляється через (1), але (2) - лінійно незалежна, значитися (по 3.11) k ? n. Аналогічно, n ? k, значитися, k = n.¦
Приклади. 1. Rn. Стандартний базис = , = , ..., = . значить, dimR Rn = n.
2. Rn[X]. базис 1, x, ..., xn , значитися, dim R Rn [X] = n + 1.3. V2.. довільні 2 некалінеярния вектори утворюють базис, dim R V2= 2.4. V3. довільні 3 некамплания вектори утворюють базис, dim R V3= 3.5. V= { }.за визначенню вважатися, що dimP{ } = .
Св-во 5.4. коли dimV= n, Тоді кожна лінійно незалежна система векторів з V утримує не більше n векторів. Доведення. Нехай (1) - базис V, - - Лінійно незалежна система. За умовою повноти вона виявляється через базис, значитися, по 3.11, k ? n. ¦
Св-во 5.5. Довільна мінімальна (за кількістю векторів) Повна система векторів
утворює базис. Доведення. нехай (2) - Повна система векторів і мінімальна. Треба довести, що (2) - лінійно незалежна. від противного. Коли (2) - лінійно залежна, тоді, (по 2.13) існує вектор з (2), який виражається через інші, скажімо, . тоді " IVвиражається через (2), а (2) виражається через .. З цього (по 3.3) випливає, що виражається через ,, Значитися отримали меншу за мінімальну повну систему векторів, Що суперечити посилці. ¦
Св-во 5.6. Довільна максимальна (за кількістю векторів) Лінійно незалежна система векторів утворює базис. Доведення. Нехай (2) - така система. Треба довести умова повноти: " IV система - лінійно залежна (з максимальності), тоді по 3.4 виражається через (2). ¦
Слідство 5.7. якщо dimPV = n, то будь-яка лінійно незалежна система n векторів простору V є базисом V. Доведення.Візьмемо систему з 5.5, значить вона максимальна по числу векторів, а це значить з 5.6, це базис.
Нульовий і протилежний вектори лінійного простору | Лінійно залежні системи векторів. Критерій лінійної залежності | Приклад 2.8. | Вираз однієї системи векторів через іншу | Основна теорема про лінійної незалежності | Підпростору. Визначення, приклади, критерій підпростору | Матриця системи векторів. Визначення та властивості. | Матриця переходу від базису до базису | Підпростору. Властивості. Лінійна оболонка системи векторів | Фундаментальна система розв'язків системи однорідних лінійних рівнянь |