На головну

Частка в прямокутної потенційної ями.

  1. У найзагальнішому вигляді можна визначити внутрішню енергію системи як суму потенційної і кінетичної енергії всіх складових її частинок.
  2. Хвиля або частка?
  3. Рух частинки в сферично симетричною прямокутної потенційної ями.
  4. Заміна еліпса овалом в прямокутної діметріческой проекції за допомогою циркуля і лінійки
  5. Заміна еліпса овалом в прямокутної ізометричної проекції за допомогою циркуля і лінійки
  6. Класифікація по взаємодії між частинками дисперсної фази або ступеня структурованості системи
  7. Мікрочастинка в одновимірної прямокутної потенційної ямі

При вирощуванні плівки вузькозонних напівпровідника між двома шарами широкозонного матеріалу може бути реалізований потенційний рельєф, показаний на рис. 1.4.

 Мал. 4. Енергетична діаграма прямокутної потенційної ями

У цьому випадку завдання визначення стаціонарних станів руху електрона зводиться до задачі про поведінку частки в прямокутної потенційної ями.

Для асиметричної потенційної ями (рис. 1.4, а) с

при E 2 спільні рішення рівняння (1.1.2) в областях 1 - 3 (З постійними значеннями потенціалу) можна представити у вигляді

(1.4.1)

де

рішення и  записані з урахуванням того, що вони повинні дорівнювати нулю на нескінченності.

«Зшиваючи» хвильові функції і їх перші похідні при x = ± 0,5W, прийдемо до рівняння

 (1.4.2)

визначає значення хвильового вектора K, задовольняють умовам даного завдання.

підставляючи и  в (1.4.2), отримаємо трансцендентне рівняння, що дозволяє оцінити дозволені значення K:

 KW = n  (1.4.3)

де п = 1, 2, 3 ... нумерує дозволені значення K в порядку їх зростання; / , j = 1, 2; значення арксинуса треба брати в інтервалі 0.. .  / 2.

Рівняння (1.4.3) визначає набір позитивних значень хвильового вектора Кп і, отже, можливі рівні енергії, які відповідають цим станам. Таким чином, енергія частинки в потенційній ямі виявляється квантованной і приймає одне з дозволених дискретних значень Еп. Щоб підкреслити це, потенційні ями (особливо вузькі) часто називають квантовими ямами (КЯ).

Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, значення K лежать тільки в інтервалі

. (1.4.4)

якщо WG2<  , То в КЯ знаходиться не більше одного дозволеного енергетичного рівня. У загальному випадку кількість дозволених енергетичних рівнів в прямoугольной квантовій ямі можна оцінити, використовуючи нерівність

 n <  (1.4.5)

Згідно (1.4.5) при U2 1 завжди знайдуться такі малі значення WG2 , для яких в КЯ не буде жодного дозволеного рівня енергії. Зауважимо, що при U2 = U1 (Рис. 1 .4, б) умова (1.4.5) для п = 1 завжди виконується. отже, симетрична одномірна потенційна яма з довільними значеннями W і U завжди має не менше одного дозволеного енергетичного рівня. Більш того, якщо в разі довільного одновимірного потенціалу асимптотические значення і між ними знаходиться один мінімум, то завжди є, принаймні, один пов'язаний рівень. Якщо ж то пов'язаного стану може і не бути.У разі двох і трьох вимірів в неглибоких вузьких потенційних ямах пов'язаних станів може не бути навіть при т. е. частка не буде «захоплюватися» ямою.

Відзначимо, що згідно із законами класичної механіки частка може «захоплюватися» і здійснювати фінітного рух в будь-яку потенційну ямі, аби енергія частинки була досить мала.

Особливо простий вигляд мають рішення рівняння (1.4.3) для нескінченно великих значень U1 і U2. У разі прямокутної ями з нескінченно високими стінками (БПЯ) згідно (1.4.3)

Kn=  , (1.4.6)

де п = 1, 2, 3 ... У цьому випадку на ширині ями укладається ціле число довжин півхвиль де Бройля

При цьому дозволені дискретні рівні енергії частки визначаються співвідношенням, еВ:

 (1.4.7)

де m0 - Маса вільного електрона, W- в нм.

У разі БПЯ нормовані хвильові функції частки в станах з різними значеннями Еп можуть бути представлені у вигляді

якщо п - непарне,

 (1.4.8)

якщо п - парне.

Згідно (1.4.8) хвильова функція основного стану  (Стану з найменшою енергією) не має нулів всередині квантової ями, функція  (Хвильова функція першого збудженого стану) має один нуль (вузол) всередині КЯ, функція  має два вузли і т. д. Аналогічну залежність числа вузлів хвильової функції від номера збудженого стану демонструють і інші одномірні системи, в яких рух відбувається в обмеженій області простору.

У загальному випадку, коли  дозволені значення хвильового вектора (а отже, і енергії) можна знайти, вирішуючи рівняння (1.4.3) чисельно або графічно. Однак і в цьому випадку вдається отримати ряд співвідношень, що полегшують практичні оцінки.

По-перше, можна показати, що

 (1.4.9)

тут  являє собою ефективну довжину області локалізації частинки з енергією Еп і відображає той факт, що частка, переважно локалізована всередині КЯ, все ж проникає і в області бар'єрів.

По-друге, розкладаючи arcsin в ряд, можна отримати вираз для оцінки дозволених значень хвильового вектора. вважаючи Еп<< Uj, отримаємо

 (1.4.10)

В першому приближенні R1 = R2= 1, При цьому для Еп/ Uтiп <0,25 помилка в оцінці Кп по (1.4.10) буде менше 5%, У другому наближенні слід вважати

 (1.4.11)

тут - енергія n-го рівня, розрахована в першому наближенні при Rj= 1. При використанні Rj у вигляді (1.4.11) помилка в оцінці Кп по (1.4.10) буде менше 2% для Еп/ Umin < 0,3.

По-третє, для симетричною КЯ (рис. 1.4, б) хвильова функція, відповідна станів позитивної парності (n = 1 3,5 ...), може бути представлена ??у вигляді

 (1.4.12)

де

 (1.4.13)

Хвильова функція, відповідна станів негативної парності (n = 2, 4, 6 ...),

 (1.4.14)

тут

Cn= -Dn (1.4.15)

Для симетричною КЯ ширини W і глибини U0, Ввівши нормовані змінні Y = Е / Е * и Х = U0/ Е * (Е * = - енергія першого дозволеного рівня в БПЯ), вираз (1.4.2) можна представити у вигляді

 (1.4.16)

Аналіз (1.4.16) показує, що в симетричній КЯ кінцевої глибини для 0 <Х?1 можливе існування лише одного дозволеного стану з енергією Е1 Е *, для 1 X 9 дорівнює 3 і т. д. Крім того, якщо в симетричній квантовій ямі можливе існування n-го енергетичного стану (з n  2), то  незалежно від глибини КЯ U0 а загальне число дозволених енергетичних рівнів п в симетричній прямокутної КЯ можна оцінити, використовуючи нерівність

Виконавши розкладання (1.4.3) при Y / X<< 1 (великі значення W і (або) U0), Для основного стану в першому наближенні отримаємо, що

 (1.4.17a)

Виникає при такій апроксимації помилка представлена ??на рис. 1.5. Видно, що при Y>0,37 помилка визначення положення першого дозволеного енергетичного рівня в КЯ не перевищить 5%.

 Рис.1.5. Характер помилки, що виникає при апроксимації виразу (1.4.16): Крива 1 з використанням (1.4.17а), 2 - з використанням (1.4.17б), 3 - з використанням (1.4.17в), 4 - з використанням (1.4 .19), 5 - з використанням (1.4.20)

 

У другому наближенні вираз для оцінки Y набирає вигляду

 (1.4.17б)

Така апроксимація дає помилку менше 5% для Y ? 0,13. Якщо в (1.4.17б) змінити коефіцієнт перед  в круглих дужках, т. е. покласти, що

 (1.4.17в)

то похибка визначення Yстанет менше 5% вже для Y ? 0,04

При дуже малих W (Вузька КЯ) розкладання (1.4.3) в ряд для симетричною КЯ дозволяє представити вирази для оцінки енергії основного стану у вигляді

або в змінних X и Y

Y  (1.4.186)

Цей вираз можна використовувати тільки при дуже малих W. Аналіз показує, що розширити інтервал прийнятних оцінок положення основного стану в КЯ в області малих X можна, змінюючи коефіцієнт перед X в знаменнику (1.4.18б). На рис. 1.5 представлено поведінку помилки  при використанні виразу

Y  (1.4.19)

Ще кращі результати можуть бути досягнуті при використанні виразу

 (1.4.20)

Існує й інша можливість для оцінки енергетичного положення дозволених станів в симетричній КЯ кінцевої глибини. У цьому випадку, використовуючи (1.4.16), розраховують залежно Х від Y. При цьому

 . (1.4.21)

залежності х (Y) для перших трьох енергетичних рівнів, розраховані з використанням (1.4.21), наведені на рис. 1.6. За ним, задаючись параметрами КЯ W, U0 и т (Т. Е. X), можна визначити Y і енергетичний стан рівнів. Видно, що для КЯ заданої ширини зі зменшенням глибини U0 (Т. Е. X) відбуватимуться зменшення енергії дозволених станів Y і послідовне виштовхування їх з ями (т. е. рівні будуть згущуватися повільніше, ніж зменшується глибина ями). Причому при зміні U0  до En-1(  ) Енергія n-го рівня в КЯ кінцевої глибини буде зменшуватися від Еп(  ) Лише доEn-1( ), а при подальшому зменшенні U0 п-й рівень буде виштовхнуть з ями.

Вирішивши одновимірну задачу, в даному випадку легко отримати рішення і для двовимірного, і для тривимірного випадку. Наприклад, якщо частка рухається в потенційному полі U = U (x) + U (y) + U (z), де

, ,

,

то її хвильова функція  , A E = E1+ E2+ E3. В цьому випадку тривимірне рівняння Шредінгера розпадається на три незалежних одновимірних рівняння:

 Рис.1.6. Залежність X (Y) для перших трьох енергетичних рівнів з n = 1,2 і 3 (криві 1-3 відповідно), розраховані з використанням виразу (1.4.21)

Таким чином, щоб отримати рішення для даної тривимірної задачі, досить вирішити одне з цих рівнянь (що ми вже зробили раніше) і за аналогією записати рішення для двох інших рівнянь. Відмітимо, що при h  кожному значенню енергії буде відповідати одна хвильова функція (Х, у, z). Іншими словами, в системі відсутні вироджені стани. Ввипадку h = d = W симетрія поля співпаде з симетрією куба і система може мати дворазово і триразово вироджені рівні. Крім того, особливий характер залежності потенційної енергії від координати в даному випадку може призводити до додаткового (випадковому) виродження.




Фундаментальні явища. | Гетеропереходи першого і другого типів. | Енергетична діаграма одновимірної надґратка | Розсіювання частинок на потенційної сходинці. | Потенційний бар'єр кінцевої ширини. | Рух частинки в сферично симетричною прямокутної потенційної ями. | Енергетичні стану в прямокутному квантовому ямі з нескінченними стінками і додатковим провалом. | Енергетична діаграма квантової ями з кінцевими стінками і додатковим провалом. | Структура зі здвоєним квантової ямою. Енергетичний спектр частинки в системі з ?-образним бар'єром. | Проходження частинки через багатобар'єрних квантові структури. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати