Головна

Рішення диференціальних рівнянь за допомогою

  1. Amp; Завдання №4 Створення таблиці за допомогою Конструктора.
  2. III. Обробка списків за допомогою форми
  3. Trading Techniques Inc. надає місячні, тижневі, денні і погодинні (60 хвилин) дані по всіх ф'ючерсах за допомогою сервісу завантаження даних.
  4. Trading Techniques Inc. надає погодинні (60-хвилинні) дані по всіх ф'ючерсах за допомогою сервісу завантаження даних.
  5. А н я т і е 12.3 ДОСЛІДЖЕННЯ ПАМ'ЯТІ ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДИКИ заучування ДЕСЯТИ СЛІВ
  6. Автоматизація розрахунків за допомогою запитів.
  7. алгебраізація рівнянь

статечних рядів.

За допомогою статечних рядів можливо інтегрувати диференціальні рівняння.

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння виду:

Якщо всі коефіцієнти і права частина цього рівняння розкладаються в сходяться в деякому інтервалі статечні ряди, то існує рішення цього рівняння в деякій малій околиці нульової точки, яке задовольняє початковим умовам.

Це рішення можна уявити статечним рядом:

Для знаходження рішення залишається визначити невідомі постійні ci.

Це завдання вирішується методом порівняння невизначених коефіцієнтів. Записане вираз для шуканої функції підставляємо у вихідне диференціальне рівняння, виконуючи при цьому всі необхідні дії із статечними рядами (диференціювання, додавання, віднімання, множення та ін.)

Потім прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х в лівій і правій частинах рівняння. В результаті з урахуванням початкових умов отримаємо систему рівнянь, з якої послідовно визначаємо коефіцієнти ci.

Відзначимо, що цей метод можна застосовувати і до нелінійних диференціальних рівнянь.

Приклад. Знайти рішення рівняння  c початковими умовами y (0) = 1, y '(0) = 0.

Рішення рівняння будемо шукати у вигляді

Підставляємо отримані вирази у вихідне рівняння:

Звідси отримуємо:

...

Отримуємо, підставивши початкові умови в вирази для шуканої функції і її першої похідної:

Остаточно отримаємо:

Разом:

Існує й інший метод розв'язання диференціальних рівнянь за допомогою рядів. Він носить назву метод послідовного диференціювання.

Розглянемо той же приклад. Рішення диференціального рівняння будемо шукати у вигляді розкладання невідомої функції в ряд Маклорена.

Якщо задані початкові умови y (0) = 1, y '(0) = 0 підставити у вихідне диференціальне рівняння, отримаємо, що

Далі запишемо диференціальне рівняння у вигляді  і будемо послідовно диференціювати його по х.

Після підстановки отриманих значень отримуємо:

Ряди Фур'є.

(Жан Батист Жозеф Фур'є (1768 - 1830) - французький математик)

Тригонометричний ряд.

Визначення. тригонометричним рядомназивається ряд виду:

або, коротше,

Дійсні числа ai, bi називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Якщо ряд представленого вище типу сходиться, то його сума являє собою періодичну функцію з періодом 2p, тому що функції sinnx і cosnx також періодичні функції з періодом 2p.

Нехай тригонометричний ряд рівномірно сходиться на відрізку [-p; p], а отже, і на будь-якому відрізку в силу періодичності, і його сума дорівнює f (x).

Визначимо коефіцієнти цього ряду.

Для вирішення цього завдання скористаємося наступними рівностями:

Справедливість цих рівностей випливає з застосування до подинтегрального висловом тригонометричних формул. Детальніше див. Інтегрування тригонометричних функцій.

Оскільки функція f (x) неперервна на відрізку [-p; p], то існує інтеграл

 Такий результат виходить в результаті того, що .

отримуємо:

Далі множимо вираз розкладання функції в ряд на cosnx і інтегруємо в межах від -p до p.

Звідси отримуємо:

Аналогічно множимо вираз розкладання функції в ряд на sinnx і інтегруємо в межах від -p до p.

отримуємо:

Вираз для коефіцієнта а0 є окремим випадком для вираження коефіцієнтів an.

 Таким чином, якщо функція f (x) - Будь-яка періодична функція періоду 2p, безперервна на відрізку [-p; p] або має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду, то коефіцієнти

існують і називаються коефіцієнтами Фур'єдля функції f (x).

Визначення. поруч Фур'єдля функції f (x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур'є. Якщо ряд Фур'є функції f (x) сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то кажуть, що функція f (x) розкладається в ряд Фур'є.

Достатні ознаки разложимости в ряд Фур'є.

Теорема. (Теорема Діріхле) Якщо функція f (x) має період 2p і на відрізку

[-p; P] неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, і відрізок

[-p; P] можна розбити на кінцеве число відрізків так, що всередині кожного з них функція f (x) монотонна, то ряд Фур'є для функції f (x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності функції f (x) його сума дорівнює f (x), а в точках розриву його сума дорівнює  , Тобто середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. При цьому ряд Фур'є функції f (x) сходиться рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f (x).

Функція f (x), для якої виконуються умови теореми Діріхле називається кусочно - монотонної на відрізку [-p; p].

Теорема. Якщо функція f (x) має період 2p, крім того, f (x) і її похідна f '(x) - безперервні функції на відрізку [-p; p] або мають кінцеве число точок розриву першого роду на цьому відрізку, то ряд Фур'є функції f (x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності його сума дорівнює f (x), а в точках розриву вона дорівнює  . При цьому ряд Фур'є функції f (x) сходиться рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f (x).

Функція, що задовольняє умовам цієї теореми, називається кусочно - гладкоюна відрізку [-p; p].

Розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції.

Завдання розкладання неперіодичної функції в ряд Фур'є в принципі не відрізняється від розкладання в ряд Фур'є періодичної функції.

Припустимо, функція f (x) задана на відрізку [a, b] і є на цьому відрізку кусочно - монотонної. Розглянемо довільну періодичну кусочно - монотонну функцію f1(X) c періодом 2Т ? ib-ai, Збігається з функцією f (x) на відрізку [a, b].

y

f (x)

a - 2T a a b a + 2T a + 4T x

Таким чином, функція f (x) була доповнена. тепер функція f1(X) розкладається в ряд Фур'є. Сума цього ряду в усіх точках відрізка [a, b] збігається з функцією f (x), тобто можна вважати, що функція f (x) розкладена в ряд Фур'є на відрізку [a, b].

Таким чином, якщо функція f (x) задана на відрізку, що дорівнює 2p нічим не відрізняється від розкладання в ряд періодичної функції. Якщо ж відрізок, на якому задана функція, менше, ніж 2p, то функція триває на інтервал (b, a + 2p) так, що умови разложимости в ряд Фур'є зберігалися.

Взагалі кажучи, в цьому випадку продовження заданої функції на відрізок (інтервал) довжиною 2p може бути вироблено безліччю способів, тому суми одержані рядів будуть різні, але вони будуть збігатися із заданою функцією f (x) на відрізку [a, b].

Ряд Фур'є для парних і непарних функцій.

Відзначимо наступні властивості парних і непарних функцій:

1)

2) Твір двох парних і непарних функцій є парною функцією.

3) Твір парній і непарній функцій - непарна функція.

Справедливість цих властивостей може бути легко доведена виходячи з визначення парності і непарності функцій.

Якщо f (x) - парна періодична функція з періодом 2p, що задовольняє умовам разложимости в ряд Фур'є, то можна записати:

Таким чином, для парної функції ряд Фур'є записується:

Аналогічно отримуємо розкладання в ряд Фур'є для непарної функції:

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію  з періодом T = 2p на відрізку [-p; p].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фур'є шукаємо у вигляді:

 отримуємо:

.

Побудуємо графіки заданої функції і її розкладання в ряд Фур'є, обмежившись першими чотирма членами ряду.

Ряди Фур'є для функцій будь-якого періоду.

Ряд Фур'є для функції f (x) періоду Т = 2l, Безперервної або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [-l, l] має вигляд:

Для парної функції довільного періоду розкладання в ряд Фур'є має вигляд:

Для непарної функції:

Ряд Фур'є по ортогональній системі функцій.

Визначення. Функції j (х) і y (х), визначені на відрізку [a, b], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

Визначення. Послідовність функцій j1(X), j2(X), ..., jn (x), безперервних на відрізку [a, b], називається ортогональної системою функцій на цьому відрізку, якщо всі функції попарно ортогональні.

Відзначимо, що ортогональность функцій не має на увазі перпендикулярності графіків цих функцій.

Визначення. Система функцій називається ортогональної і нормованої (ортонормованій), якщо

Визначення. Поруч Фур'є по ортогональній системі функційj1(X), j2(X), ..., jn (x) називається ряд виду:

коефіцієнти якого визначаються за формулою:

,

де f (x) =  - Сума рівномірно сходиться на відрізку [a, b] ряду по ортогональній системі функцій. f (x) - будь-яка функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a, b].

У разі ортонормованій системи функцій коефіцієнти визначаються:

При використанні комп'ютерної версії "Курсу вищої математики"Можливо запустити програму, яка розкладає в ряд Фур'є довільну функцію.

 
 

 Для запуску програми двічі клацніть на значку

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена ??програма Maple (O Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Інтеграл Фур'є.

нехай функція f (x) на кожному відрізку [-l, l], Де l - Будь-яке число, кусочно - гладка або кусково - монотонна, крім того, f (x) - Абсолютно інтегрована функція, тобто сходиться невласний інтеграл

тоді функція f (x) розкладається в ряд Фур'є:

Якщо підставити коефіцієнти в формулу для f (x), отримаємо:

Переходячи до межі при l® ?, Можна довести, що и

позначимо

при l® ? Dun ®0.

 




Лінійні однорідні диференціальні рівняння з | Загальне рішення лінійного однорідного диференціального | При цьому многочлен називається характеристичним многочленомдіфференціального рівняння. | Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння | Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними | Нормальні системи лінійних однорідних диференціальних | Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних | Класифікація основних типів рівнянь математичної | Інтегрування статечних рядів. | Додавання, віднімання, множення і ділення статечних рядів. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати