Головна

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

.

Зокрема, якщо  приймають тільки позитивні значення на проміжку  , То виполняютя на- ступні формули:

ПРИКЛАД 2. Нехай незалежні випадкові величини и  задані своїми плотностями розподілу:

Знайти закон розподілу випадкової величини .

Таким чином,

Легко перевірити, що виконується основне властивість плотнос -ти розподілу, а саме,

§ 8. СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

8.1 Закони розподілу системи випадкових величин.

Всі випадкові величини, які рассматрічалісь досі, визначалися одним числом (одним аргументом) - одне -мірні випадкові величини. Але, крім них, можемо рассмот- реть величини, які залежать від двох, трьох і більше аргу -ментов, так звані, багатовимірні випадкові величини, які можна розглядати як системи одновимірних слу -чайних величин. через  - Позначають двовимірну слу- чайну величину, а кожну з величин и  - називають складової (компонентою).

Двовимірну випадкову величину називають дискретної, Якщо її складові - дискретні випадкові величини.

безперервної називають двовимірну випадкову величину, стано- вить якої - безперервні випадкові величини.

Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової велічінв називають таблицю виду:

 

Так як події ,  утворюють повну групу несумісних подій, то сума всіх ймовірностей  , Що стоять в таблиці, дорівнює одиниці.

Знаючи закон розподілу двовимірної випадкової величини, можна знайти закон розподілу кожної складової:

 (Сума ймовірностей в стовпці таблиці);

 (Сума ймовірностей в рядку таблиці).

приклад 1. Дан закон розподілу двовимірної случайнойвелічіни:

 -1  0,12  0,28  0,11
 0,21  0,14  0,14

Скласти закони розподілу випадкових величин и .

Випадкова величина  має розподіл:

 0,33  0,42  0,25

Для випадкової величини  отримуємо ряд:

 -1
 0,51  0,49

Визначення. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини називають функцію  , Яка має смислі як для дискретних, так і для безперервного них випадкових величин. Геометрично це равество можна витлумачити, як ймовірність того, що випадкова точка  потрапляє в нескінченний квадрат з вершиною в точці  , Розташований лівіше і нижче цієї вершини.

Основні властивості ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ:

Властивість 1. .

Властивість 2. Функція розподілу - неубутна функція по обом аргументів, тобто

Властивість 3. Для всіх и  виконуються наступні співвідношення:

Властивість 4. Функції розподілу складових можна знайти з рівності:

Визначення. Щільністю спільного розподілу імовірністю двовимірної неперервної випадкової величини називаються ється друга змішана похідна від фукнкціі распреде -льон, тобто

.

Приклад 2. Дана функція розподілу системи випадкових величин :  Знайти її щільність розподілу.

Нехай відома щільність розподілу системи випадок - величин -  . Тоді функцію розподілений-ня можна знайти, використовуючи рівність:

,

Це безпосередньо випливає з визначення щільності розподілу.

ймовірність влучення  в область  определя -ется рівністю

Властивості двовимірних ЩІЛЬНОСТІ РОЗПОДІЛУ.

Властивість 1. Двовимірна щільність розподілу завжди по- позитивним:

Властивість 2. Подвійний невласний інтеграл з бесконеч - ними межами інтегрування від щільності розподілу дорівнює одиниці

Якщо відома щільність спільного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин, то можна знайти щільності розподілу кожної складової.  але  . тоді

.

Аналогічним чином отримуємо

,

де

Приклад 3. Нехай дана двовимірна щільність розподілу

Знайти щільності розподілу випадкових величин и

при  і дорівнює нулю поза цим проміжку. Аналогічно, з огляду на симетрії функції  щодо и  , Отримуємо:

8.2 Умовні закони розподілу.

Поняття, аналогічне поняттю умовної ймовірності для випадкових подій  , Можна ввести для характеристики залежності між випадковими величинами.

Розглянемо окремо випадки дискретної і безперервної двовимірної випадкової величини.

а) Для дискретної двовимірної сдучайной величини, заданої таблицею:

 

умовні ймовірності обчислюються за формулами:

Зауваження. Суми відповідних умовних ймовірностей рівні одиниці, тобто

Приклад 4. Нехай дискретна випадкова величина задана таблицею:

 -1  0,12  0,28  0,11
 0,21  0,14  0,14

Знайти умовний закон розподілу складової  за умови, що випадкова величина  прийняла значення .

тоді

Очевидно, що сума цих ймовірностей дорівнює одиниці.

б) Для Безперервної двовимірної випадкової величини услов -ної щільністю розподілу  складовою  при даному значенні  називають відношення

,

аналогічно, умовної щільністю розподілу  при даному значенні - .

Приклад 5. Нехай щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини  задана функцією:  . Знайти умовні щільності розподілу складових.

При обчисленні використовували інтеграл Пуассона

Тоді умовні щільності розподілу мають вигляд:

8.3 Умовне математичне сподівання.

Визначення. Умовним математичним очікуванням диск- ретной випадкової величини при  називається сума творів можливих значень  на їх умовні вероят ність:

аналогічно

Приклад 6. Нехай двовимірна дискретна випадкова величи -на задана таблицею:

 -1  0,12  0,28  0,11
 0,21  0,14  0,14

Знайти умовні математичні очікування:  при и  при

тоді

тоді

Для безперервних величин:

8.4 Залежні і незалежні випадкові величини.

Визначення. Дві випадкові величини називаються незалежними , Якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша випадкова величина. З цього визначення випливає, що умовні закони розподілу незалежних випадкових величин рівні їх бе - зусловним законам розподілу.

ТЕОРЕМА. Для того, щоб випадкові величини и  були незалежними, необхідно і достатньо, щоб виконан -нялось рівність:

Доводити теорему не будемо, але як наслідок, отримуємо:

Слідство. Для того, щоб випадкові величини и  були незалежними, необхідно і достатньо, щоб пліт-ність спільного розподілу системи  була рав -на твору щільності розподілу складових, тобто

8.5 Числові характеристики системи двох випадкових

величин. Кореляційний момент. коефіцієнт

кореляції.

Визначення. кореляційним моментом  системи слу- чайних величин и  називають математичне сподівання добутку відхилень цих величин:




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати