Головна

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

4.3 Геометричний розподіл.

Визначення. Дискретна випадкова величина  мае геометричний розподіл, якщо  , Де для деякого події ,

 і її ряд розподілу має вигляд:

В цьому випадку вірогідність є нескінченно спадаючу геометричну прогресію і її сума

.

ТЕОРЕМА. У разі випадкової величини, що має геометричні розподіл з параметром  , Математичне очікування і дисперсія обчислюються за формулами:

Приклад. Виробляються постріли по мішені до першого попа дання. Ймовірність влучення при кожному пострілі .

Скласти ряд розподілу випадкової величини  - «Чис ло влучень». Знайти її математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення.

За теоремою,

середнє відхилення

4.4 гіпергеометричний розподіл.

Нехай в партії з  виробів є  стандартних. Випадковим чином відбирають  виробів. Нехай випадкова величина  - Число стандартних виробів серед відібраних. Очевидно, озможності значення цієї випадкової величини:

 Ймовірності можливих значень обчислюються за формулою:

Для цієї випадкової величини математичне сподівання ви- числяться за формулою  а дисперсія:

Приклад. В урні знаходиться 5 білих і 3 чорних кулі. Слу чайним чином відібрані 3 кулі. Скласти ряд розподілу випадкової величини  - Числа білих куль серед ото -бранних. Знайти її математичне сподівання і дисперсію.

Можливі значення цієї випадкової величини: 0, 1, 2, 3. знайдемо їх ймовірності:

Отримуємо ряд розподілу:

Математичне сподівання можна обчислити безпосередньо, користуючись відомими формулами, а можна скористатися формулами з теореми. У нашому прикладі

 . тоді

Тепер розглянемо основні закони розподілу непре- ної випадкових величин.

4.5 Рівномірний розподіл.

Визначення. Безперервна випадкова величина має рав -номерное розподіл на відрізку  , Якщо вона має постійне значення на цьому відрізку і дорівнює нулю поза цим відрізком, тобто графік її щільності має вигляд:

С

Так як площа під графіком щільності розподілу повинна дорівнювати одиниці, то  тоді

Її функція розподілу має вигляд:

і її графік

4.6 Показовий розподіл.

У практичних додатках теорії ймовірностей (наприклад

заходів, в сфері масового обслуговування, дослідженні опера -цій, теорії надійності, у фізиці, біології тощо) часто при- ходиться мати справу з випадковими величинами, що мають так зване експоненціальне, або показовий розбраті розподіл.

Визначення. Безперервна випадкова иелічіна  розподілені по показовому закону , Якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

Графік цієї функції:

0

Її функція розподілу:

 має графік

О

Математичне очікування:

Приклад. Нехай випадкова величина  - Час роботи не- якого механізму, має показовий розподіл. Оп-ределить ймовірність того, що механізм буде працювати не менше 1000 годин, якщо середній час його роботи становить 800 годин.

За умовою завдання, математичне очікування роботи механізму  , а  . тоді

отже,

Шукана ймовірність:

Зауваження. Показовий розподіл відноситься до од -нопараметріческім законам розподілу (залежить тільки від  ).

4.7 Нормальний розподіл.

Визначення. нормальним називають розподіл ймовірність ностей неперервної випадкової величини, яке має густина розподілу ймовірностей, яка визначається формулою:

 (1)

Бачимо, що нормальний розподіл визначається двома параметрами : и  . Щоб задати нормальне розбраті -деленіе, досить задати ці два параметри.

Нормальний закон розподілу дуже широко розповсюдження странён в задачах практики. Він проявляється в тих випадках, коли випадкова величина  є результатом действи- їм великого числа різних факторів. Кожен фактор окремо впливає на випадкову величину незначно і не можна сказати, який з них впливає більшою мірою, ніж інші. Прикладами випадкових величин, що мають нормальному ве розподіл, можна вважати: відхилення розмірів дета- лей, виготовлених верстатом, від стандартних; помилки при з -мереніі; відхилення при стрільбі по мішені і т.п.

Основною закономірністю, що виділяє нормальний закон з інших законів, є та, що він є граничним -ним законом, до якого наближаються інші закони, тобто при досить великому значенні  сума незалежних слу- чайних величин  , Підлеглих яким завгодно законам розподілу, матиме розподіл, як завгодно близьке до нормального.

Функція розподілу нормально розподіленої випадок -ної величини має вигляд

 (2)

За визначенням математичного очікування випадкової величини,

Введемо нову змінну

Беручи до уваги, що нові межі інтегрування рівні старим, отримаємо

Першою доданок дорівнює нулю, як інтеграл по симметрич -ному проміжку від непарної функції. Друге з доданків одно  (Інтеграл Пуассона  ).

Таким чином, математичне очікування нормально рас пределённой випадкової величини

За визначенням дисперсії неперервної випадкової величини, враховуючи, що  , отримаємо

Знову введемо нову змінну

отримаємо  Застосувавши формулу інтегрування частинами і попередні обчислення, получа- їм  тоді  Отже, другим параметром нормального розподілу є сре- днее відхилення.

Помічені. нормованим називають нормальне розбраті -деленіе з параметрами  Щільність нормування -Вань розподілу задається функцією:

 (3)

значення якої можна або знайти непосредмьвенно, або мати можливість скористатися відповідними таблицями, які можна знайти у всіх довідниках. Функція нормованого розподілу пр -деленія має вигляд  . Тоді функція загального нормального розподілу, задана т формулою (2), виражається формулою  . Імовірність попа- дання нормованої нормально розподіленої випадкової величини  в інтервал  визначається за допомогою функції Лапласа  , Значення якої також наведені в таблицях. Справді,

Враховуючи що  (По властивості щільності розподілу,), в силу симетрії функції  щодо точ- ки :

тоді

Графік щільності нормального розподілу називають нормальної кривої або кривої Гаусса.

Досліджуємо функцію:

Вона визначена на всій числовій прямій і позитивна для всіх  . При необмеженому зростанні  дана функція прагне до нуля, тобто  Похідна цієї функції .

Похідна дорівнює 0 в точці  і змінює в цій точці знак з «+» на «-», тобто  - Точка максимуму і в цій точці  . Знайшовши другу похідну функції, можемо з'ясувати, що графік функції має перегини в точках  . Схематично графік виглядає наступним чином:

0

Для нормально розподіленої випадкової величини імовірність попадання в заданий інтервал  обчислюють -ется наступним чином:

зробимо заміну .

 де .

Таким чином,

 (4)

Приклад. Маса вагона - випадкова величина, розподілена -ва по нормальному закону з математичним очікуванням 65 т. І середнім квадратичним відхиленням  т. Знайти імовірність того, що черговий вагон має масу не більше 70 т. і не менше 60 т

тоді

Іноді потрібно обчислити ймовірність того, що випадок -ва величина по модулю відхиляється від середнього значення менше ніж деяке значення  , Тобто  . Для обчислення цієї ймовірності можемо скористатися попередньої формулою. Справді:

враховуючи непарність функції  . отже,

 (5)

Приклад. Імовірність того, що нормально розподілена випадкова з математичним очікуванням  відхи- нітся від середнього значення менше ніж на  дорівнює 0.09. Чому дорівнює ймовірність потрапляння цієї випадкової величини в інтервал (30, 35)?

За умовою,  тоді  По таблиці значень функції Лапласа, по - Отримуємо:  Тоді необхідна ймовірність, за формулою (4),

Правило трьох сигм.

У формулі (5) покладемо  , отримаємо

якщо  і, отже,  , Отримуємо:

тобто ймовірність того, що відхилення за абсолютною величиною випадкової величини від середнього значення менше потроєного середнього квадратичного відхилення дорівнює 0,9973, тобто дуже близька до одиниці.

Правило трьох сигм полягає в тому, що для нормально рас пределённой випадкової величини абсолютна величина її -відхилення від середнього не перевищує потроєного середовищ -него квадратичного відхилення. На практиці це правило застосовується слудующим чином: Якщо розподіл слу -чайной величини невідомо, але для її параметрів виконан -няется правило трьох сигм, то є підстави припустити, що вона розподілена за нормальним законом.

§ 5. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ І ГРАНИЧНІ

ТЕОРЕМИ.

Відомо, що не можна заздалегідь передбачити, яке саме значення прийме випадкова величина в результаті деякого випробування, так як це залежить від дуже багатьох випадкових причин, врахувати вплив яких неможливо. Але виявляється, що при деяких умовах сумарне поведінку досить великого числа випадкових величин майже втрачає випадок -ний характер і стає закономірним.

під законом великих чисел в широкому сенсі розуміється загальний принцип, Згідно з яким, за формулюванням академічні ка А. Н. Колмогорова, сукупна дія великого числа випадкових факторів (При деяких загальних умовах) приво - дит до результату, майже незалежного від випадку. Іншими словами, при великій кількості випадкових величин їх середній результат перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем визначеності.

Наведемо без доведення кілька теорем, в яких встановлюється факт наближення середніх характеристик великої кількості випробувань до деяких певним посто -янним.

5.1 Нерівність Маркова (лема Чебишева).

ТЕОРЕМА. Якщо випадкова величина  приймає тільки позитивні значення з деяким математичним сподівання -ніем  , То для будь-якого позитивного числа  виконуємо - ється нерівність:

Або, то ж нерівність Маркова в іншій формі:

Нерівності Маркова застосовні для будь-яких неотріцатель- них випадкових величин.

Приклад. Сума всіх вкладів в деякому відділенні сбер- банку становить 4 млн. Рублів, а ймовірність того, що слу -чайно обраний вклад не перевищує 40 тис. Рублів, дорівнює 0,7. Що можна сказати про кількість вкладників?

нехай  - Величина випадково обраного вкладу, а  - Число всіх вкладів. Тоді, за умовою задачі,  (Тис. Рублів). Тоді, по другому нерівності Маркова,

 , або .

Так як  , то  , або  , Тобто число вкладників не більше 333.

5.2 Нерівність Чебишева.

ТЕОРЕМА. Для будь-якої випадкової величини, що має мате- тическое очікування  і дисперсію  при  виконується нерівність:  , (1)

або відповідно,  (2)

Приклад. Середня витрата електроенергії на деякому підприємстві дорівнює 2000 кв.м.. в день, а середньоквадратичне відхилення витрати не перевищує 400 кв. Використовуючи нера -венство Чебишева, оцінити ймовірність того, що в будь-який день витрата електроенергії не перевершить 4000 кв.

В даному випадку дисперсія  . Так як межі інтервалу  симетричні щодо математичного очікування  , То для оцінки требу- емой ймовірності можна використовувати нерівність Чебишева.

Нерівність Чебишева можна застосувати для будь-яких випадкових величин. У формі (1) воно встановлює верхню, а в фор ме (2) нижню межу ймовірності розглянутого з- буття.




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати