Головна

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Приклад. Нехай щільність розподілу Заза функцією

Знайти: а) значення параметра  ; б) функцію розподілу  в) Обчислити ймовірність того, що випадкова величи- на набуде значення з відрізка .

а) По властивості 4,  . тоді

б) По властивості 2,  якщо

якщо , .

Таким чином,

в) По властивості 3,

§ 3. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ

ВЕЛИЧИН

При вирішенні багатьох практичних завдань немає необхідності знати всі ймовірні характеристики випадкової величини. Іноді досить знати тільки деякі числові характе - ристики закону розподілу.

Числові характеристики дозволяють в стислій формі Вира -зіть найбільш суттєві особливості того чи іншого розподілу.

Про кожну випадкової величиною перш за все необхідно знати її середнє значення, біля якого групуються всі можливі значення цієї величини, а також деяке число, що характеризує ступінь розсіювання цих значень що- середнього.

Розрізняють характеристики положення і характеристики рас сіяння. Однією з найважливіших характеристик стану яв- ляется математичне очікування.

3.1 Математичне сподівання (середнє значення).

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину, име -ющую можливі значення  з вірогідністю

.

Визначення. математичним очікуванням дискретної слу- чайної величини  називається сума творів всіх можливих значень цієї величини на їх ймовірності, тобто

 . (1)

Інакше, математичне очікування позначається

Приклад. Нехай дано ряд розподілу:

 0,2  0,1  0,3  0,4

тоді

Розглянемо тепер безперервну випадкову величину  всі можливі значення якої укладені в відрізку .

Розіб'ємо цей відрізок на  часткових відрізків, довжини яких позначимо:  , І в кожному частковому інтервалі візьмемо по довільній точці, відповідно .

Так як твір  при- бліжённо одно ймовірності попадання випадкової величини на елементарний ділянку  , То сума творів  складена за аналогією з визна -льон математичного очікування дискретної випадкової величини, приблизно дорівнює математичному очікуванню НЕ -преривной випадкової величини  нехай .

тоді

Визначення. математичним очікуванням неперервної випадкової величини називається наступний певний інтеграл:

 (2)

Якщо неперервна випадкова величина приймає значення на всій числовій прямій, то

Приклад. Нехай дана щільність розподілу неперервної випадкової величини:

Тоді її математичне сподівання:

Поняття математичного очікування має просту хутра -ніческую інтерпретацію. Розподіл ймовірностей слу -чайной величини можна інтерпретіроварь як розподіл одиничної маси по прямій. Дискретної випадкової величини, що приймає значення  з вірогідністю  відповідає пряма, на якій маси  зосереджені в точках  . Непре- ної випадкової величини відповідає безперервне распреде -льон мас на всій прямій або на кінцевому відрізку цієї прямої. Тоді математичне очікування - це абсциса цент- ра тяжкості.

Властивості МАТЕМАТИЧНОГО ОЧІКУВАННЯ

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної:

2. Постійний множник можна винести за знак математичного очікування:

3. Математичне сподівання алгебраїчної суми слу -чайних величин дорівнює сумі алгебри їх математичних очікувань:

4. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних -ческіх очікувань:

5. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю:

3.2. Мода і медіана випадкової величини.

Це ще дві характеристики положення випадкової величини.

Визначення. модою  дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення. Для безперервного -ної випадкової величини мода - це точка максимуму функ- ції .

Якщо багатокутник розподілу (для дискретної випадкової величини) або крива розподіл (для неперервної випадкової величини) має дві або більше точок максимуму, то розподіл називається двухмодальним або багатомі -дальним, відповідно.

Якщо немає жодної точки максимуму, то розподіл називається антімодальним.

Визначення. медианой  випадкової величини  на - називається таке її значення, относітеоьно якого равноверо- ятни отримання більшого або меншого значення випадкової величини, тобто

Іншими словами,  - Це абсциса точки, в якій площа під графіком щільності розподілу (многоуголь- ніком розподілу) ділиться навпіл.

Приклад. Дана щільність випадкової величини:

Знайти медіану цієї випадкової величини.

медіану  знайдемо з умови  . У нашому випадку,

З чотирьох коренів необхідно вибрати той, який укладений між 0 і 2, тобто

зауваження. Якщо розподіл випадкової величини одно- модальное і симетричне (нормальне), то всі три характе -рістікі положення: математичне сподівання, мода і медіа -на, збігаються.

3.3 Дисперсія і середньоквадратичне відхилення.

Значення спостережуваних випадкових величин, зазвичай, більш-менш коливаються біля деякого середнього значення. Це явище називається розсіюванням випадкової величини близь- ко її середнього значення. Числові характеристики, показива- ющие, наскільки щільно згруповані можливі значення випадкової веліпіни близько середнього, називаються характерис - тиками розсіювання. З властивості 5 математичного очікування стала помітно меншою, що лінійне відхилення значень випадкової вели -чіни від середнього значення не може служити характеристикою розсіювання, так як позитивні і негативні відхилення-ня «гасять» один одного. Тому основною характеристикою розсіювання випадкової величини прийнято вважати математічес - дещо сподівання квадрата відхилення випадкової величини від середнього.

Визначення. дисперсією називається математичне ожі -Даний квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування  (Середнього значення), тобто

 (3)

Для дискретної випадкової величини:

 (4) для неперервної випадкової величини:

 (5)

Але, незважаючи на зручності цієї характерічтікі розсіювання, бажано мати характеристику розсіювання відповідну з самої випадкової величиною і її математичним очікуванням.

Тому вводиться ще одна характеристика розсіювання, кото -рая називається середнім квадратичним відхиленням і рав -на кореню з дисперсії, тобто .

Для обчислення дисперсії зручно користуватися формулою, яку дає наступна теорема.

ТЕОРЕМА. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової вели -чіни і квадратом її математичного очікуванням, тобто

Справді, за визначенням

Так як .

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної випадкової величини дорівнює нулю, тобто

2. Постійний множник сучайной величини виноситься з дисперсії з квадратом, тобто

3. Дисперсія алгебраїчної суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто

слідство з 2 і 3 властивостей:

Розглянемо приклади ..

Приклад 1. Дан ряд розподілу дискретної випадкової величини. Знайти її середньоквадратичне відхилення.

 - 1
 0,2  0,05  0,2  0,3  0,25

спочатку знайдемо

Тоді середнє відхилення

приклад 2. Нехай дана щільність розподілу непрерив -ної випадкової величини:

Знайти її дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

тоді

3.4 Моменти випадкових величин.

Розрізняють моменти двох видів: початкові і центральні.

Визначення. Початковим моментом порядку випадкової

величини  називають математичне очікування величини  , Тобто .

Для дискретної випадкової величини:

Для неперервної випадкової величини:

Зокрема, математичне очікування  - Це на- ний момент 1 - го порядку.

Визначення. Центральним моментом полрядка  слу -чайной величини  називається математичне очікування величини  , Тобто

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної -

Центральний момент 1 - го порядку дорівнює нулю (властивість 5 математичного очікування); ;  характеризує асиметрію (скощенность) графіка щільності розподілу.  називається коефіцієнтом асиметрії.

 служить для характеристики Островерх розподілу.

Визначення. ексцесом випадкової величини  називає -ся число

Для номально розподіленої випадкової величини ставлення ня  . Тому криві розподілу, більш островер- хійо, ніж нормальна, мають позитивний ексцес (  ), А більш плосковерхі мають негативний ексцес (  ).

Приклад. Нехай дана щільність розподілу випадкової величини :

Знайти коефіцієнт асиметрії і ексцес цієї випадкової величини.

Знайдемо необхідні для цього моменти:

 Тоді коефіцієнт асиметрії:  (Негативна асиметрія).

ексцес дорівнює

Крім розглянутих вище початкових і центральних мо -ментов на практиці іноді застосовуються так звані абсо- лютні моменти.

Абсолютний початковий момент визначається формулою:

Абсолютний центральний момент задається формулою:

Зокрема,  називається середнім арифме- метичних відхиленням і іноді використовується для харак -терістікі розсіювання випадкової величини.

Поряд із зазначеними вище числовими характеристиками, для опису випадкових величин використовуються поняття квантилів.

Визначення. квантиль рівня  (або  - Квантиль) називається таке значення  випадкової величини, при кото ром функція її розподілу приймає значення, рівне  , Тобто

У позначеннях цього визначення, медіана випадкової величини

§ 4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Спочатку розглянемо деякі закони розподілу дискретних випадкових величин.

4.1 Біноміальний розподіл .

Нехай випадкова величина  - Це число появ недо -тор події  в серії з  незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події  , А вірогідність не появи події  Ряд розподілу такої величини має вигляд:

де  . Такий ряд розподілу називається біноміальним. Математичне сподівання випадкової величини  в цьому випадку має вигляд:

 (1)

Для обчислення цього виразу, продифференцировав по  виражається у формі:  отримаємо

 Якщо ми помножимо це рівність на  , отримаємо

 (2)

але  а праві частини рівностей (1) і (2) збігаються, тоді

Продифференцировав той же самий вираз двічі, отримаємо

Помноживши отриману рівність на  , Отримаємо:

тоді

Таким чином,

Звідси  То так

Отже, для біноміального розподілу:

Приклад. Вироблено 20 незалежних пострілів по міше- ні. Ймовірність влучення при кожному пострілі  . Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квад -ратіческое очікування числа влучень.

Випадкова величина  - Число влучень, розподілена за біноміальним законом.  тоді

4.2 Розподіл Пуассона.

Визначення. Дискретна випадкова величина  має

закон розподілу Пуассона, Якщо вона задається низкою розподілу

в якому ймовірності визначаються за формулою Пуассона

 (3)

де (  - Середнє число появ події в серії випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події постійна величина  ).

Наведемо без доведення наступну теорему.

ТЕОРЕМА. Математичне сподівання і дисперсія випадок -ної величини, розподіленої за законом Пуассона, збігаються і дорівнюють параметру  цього закону, тобто

При досить великих  (Взагалі при  ) І малих значеннях  за умови, що твір  - Постійна величина (  ), Закон розподілу Пуассона є хорошим наближенням біноміального за -кона, тобто розподіл Пуассона - це асимптотическое рас -пространеніе біноміального закону. Іноді цей закон називаються -вают законом рідкісних явищ. Згідно із законом Пуассона распреде- лени, наприклад, число збоїв автоматичної лінії, число від- казов системи в «нормальному режимі», число збоїв в роботі АТС і т.п.




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати