На головну

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

§ 1. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ.

У фізиці та інших науках про природу зустрічається багато різних величин різної природи, як наприклад: час, довжина, обсяг, вага і т.д. Постійною величиною називають ве- личину, приймаючу лише одне фіксоване значення. Величини, які можуть приймати різні значення, на-ни опиняються змінними. Величина вважається заданою, якщо вказано безліч  значень, які вона може приймати. Якщо однозначно відомо, яке саме значення з безлічі  прийме величина при створенні визна лённих умов, то про неї говорять як про «звичайної», детермінованою величиною. Прикладом такої величини є кількість букв в слові. Більшість фізичних величин вимірюються за допомогою приладів з властивою їм точністю вимірювань і, в змісті наведеного визначення, вони не є «звичайними». Такого роду «незвичайні» величини називаються випадковими. Для випадкових величин безліч  доцільно назвати безліччю можливих значень. Випадкова величина приймає те чи інше значення ня з певною ймовірністю. Зауважимо, що всі величини можна вважати випадковими, так як детермінована вели-чину - це випадкова величина, яка приймає кожне значення з імовірністю, що дорівнює одиниці. Все сказане вище є достатньою підставою для вивчення випадкових величин.

Визначення. випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може приймати ту чи іншу (але обов'язково тільки одне) значення, причому заздалегідь, до досвіду, невідомо, яке саме.

Поняття випадкової величини є фундаментальним поняттям теорії ймовірностей і грає важливу роль в її додатках.

Випадкові величини позначаються:  , А їх зна -ченія, відповідно: .

Виділяють два основні класи випадкових величин: диск -ретние і безперервні.

Визначення. Дискретної випадкової величиною називають випадкову величину, число можливих значень якої кінцеве або рахункове безліч.

приклади дискретних випадкових величин:

1.  - Частота влучень при трьох пострілах. Можливі значення:

2.  - Число дефектних виробів з  штук. Можливі значення:

3.  - Число пострілів до першого попадання. Можливі значення:

Визначення. Безперервною випадковою величиною називають таку випадкову величину, можливі значення якої не -преривно заповнюють певний проміжок (кінцевий або нескінченний).

приклади безперервних випадкових величин:

1.  - Випадкове відхилення по дальності від точки потрапляння ня до мети при пострілі з гармати.

Так як снаряд може потрапити в будь-яку точку, інтервалу, обмеженого мінімальним і максимальним значеннями дальності польоту снаряда, можливих для даного знаряддя, то можливі значення випадкової величини  заповнюють про -межуток між мінімальним і максимальним значенням.

2.  - Помилки при вимірюванні радіолокатором.

3.  - Час роботи приладу.

Випадкова величина є свого роду абстрактний ви- раженіем деякого випадкового події. З кожним випадок -ним подією можна пов'язати одну або кілька характеризу- ють його випадкових величин. Наприклад, при стрільбі по ми -шені можна розглянути такі випадкові величини: число влучень у мішень, частота влучень в мішень, кількість очок, набраних при попаданні в певні області мішені і т.д.

§ 2 ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

Визначення. Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між-ду можливими значеннями випадкової величини і соответст- інди їм ймовірностями.

Якщо згадати визначення функції, то закон распреде -льон є функцією, область визначення якої є область значень випадкової величини, а область значень даної функції складається з ймовірностей значень випадкової величини.

2.1. РЯД РОЗПОДІЛУ

Розглянемо дискретну випадкову величину  , Віз можне значення якої  нам відомі. Але зна ня значень випадкової величини, очевидно, не дозволяє нам її повністю описати, так як ми не можемо сказати, насколь- до часто слід очікувати тих чи інших можливих значень випадкової величини при повторенні досвіду в одних і тих же умовах. Для цього необхідно знати закон розподілу ймовірностей.

В результаті досвіду дискретна випадкова величина прини -мает одне зі своїх можливих значень, тобто відбудеться одна з подій:

 (1)

які утворюють повну групу несумісних подій.

Ймовірності цих подій:

,

Найпростішим законом розподілу дискретної випадкової величини є таблиця, в якій наведено всі можли ні значення випадкової величини і відповідні їм ве -роятності:

Таку таблицю називають поруч розподілу випадкової величини .

Для наочності, ряд розподілу можна представити графіком:

Ця ламана називається многоугольником розподілу. Це також одна з форм завдання закону розподілу дискрет - ної випадкової величини .

Сума ординат багатокутника розподілу, представля - ющая суму ймовірностей всіх можливих значень випадок -ної величини, дорівнює одиниці.

Приклад 1. Зроблено три постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,7. Скласти ряд розподілу числа влучень.

Випадкова величина  - «Число влучень» може прин- мати значення від 0 до 3 - х, причому в цьому випадку вірогідність - ності визначаються за формулою Бернуллі:

.

тоді

 0,027  0,189  0,441  0,343

Перевірка

Приклад 2. В урні назодітся 4 білих і 6 чорних щаров. Навмання витягуються 4 кулі. Знайти закон розподілу слу чайної величини  - «Число білих куль серед відібраний -них».

Ця випадкова величина може приймати значення від 0 до 4 - х. Знайдемо ймовірності аозможних значень випадкової величини.

Чи можемо перевірити, що сума отриманих ймовірностей рав- на одиниці.

2.2. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ.

Ряд розподілу не можна побудувати для безперервної слу- чайної величини, так як вона приймає нескінченно багато значень. Більш універсальним законом розподілу під- ходив він, як для дискретної, так і для безперервної слу - чайної величини  є функція розподілу.

Визначення. Функцією розподілу (інтегральним зако ном розподілу) випадкової величини  називається зав- ня ймовірності виконання нерівності  , Тобто

 (1)

Таким чином, функція розподілу  дорівнює імовірність ність того, що випадкова величина в результаті досвіду попа- дає лівіше точки .

Для дискретної випадкової величини, для якої ми знаємо ряд розподілу:

функція розподілу буде мати вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини - розривна ступінчаста фігура. Для наочності, розглянемо приклад.

приклад 3 Дан ряд паспределенія. Знайти функцію розподілу пр -деленія і побудувати її графік

 0,2  0,1  0,3  0,4

За визначенням,

0,8

0,3

0,2

1 2 3 4

Властивості ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ

1 Функція розподілу - це невід'ємна фун- кція, значення якої укладені між 0 і 1, тобто

2 Імовірність появи випадкової величини в про- проміжку  дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку:

 (2)

3 Функція розподілу - неубутна функція, тобто при  виконано: ;

4

Перейдемо в рівність (2) до межі при  . Одержимо замість ймовірності попадання випадкової величини в про- проміжок  ймовірність точкового значення випадкової величини, тобто

 . (3)

Значення цієї межі залежить від того, чи є точка  точкою безперервності функції  , Або в цій точці функція  має розрив. якщо функція  безперервний на в точка  , То межа дорівнює 0, тобто  . Якщо ж в цій точці функція  має розрив (1 - го ро да), то межа дорівнює значенню стрибка функції  в точці .

Так як безперервна випадкова величина має непрерив -ву функцію розподілу  , То з рівності нулю межі (3) випливає, що ймовірність будь-якого фіксованого значення неперервної випадкової величини дорівнює нулю. Це випливає з того, що можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно багато. З цього, зокрема, випливає, що такі ймовірності збігаються:

Наведені властивості функції розподілу можна сфор- муліровать наступним чином: функція розподілу - це невід'ємна неубутна функція, яка задовольнить вус -ловіям:  Протилежне твердження також має місце: монотонно зростаюча безперервна функція, яка задовольняє умовам

є функцією розподілу деякої безперервної слу- чайної величини. Якщо значення цієї величини зосередитися ни на деякому проміжку  , То графік цієї функції можна схематично зобразити наступним чином:

0

Розглянемо приклад. Функція розподілу неперервної випадкової величини  задана в такий спосіб:

Знайти значення «  ", побудувати графік  і знайти веро -ятность

Так як функція розподілу неперервної випадкової величини неперервна, то  - Безперервна функція, і при  має виполгяться рівність:

 або  , Тобто

Побудуємо графік цієї функції

0 2 4

Знайдемо необхідну ймовірність

Зауваження. Функцію розподілу, іноді ще називають інтегральним законом розподілу. Нижче пояснимо, чому саме.

2.3 Щільність РОЗПОДІЛУ.

Так як за допомогою функції розподілу дискретної

випадкової величини в будь-якій точці ми можемо визначити ймовірність можливих значень, то вона однозначно визна- чає закон розподілу дискретної випадкової величини.

Однак по функції розподілу важко судити про харак- тере розподілу неперервної випадкової величини в НЕ -великий околиці тієї чи іншої точки числової осі.

Більш наочне уявлення про характер розподілу неперервної випадкової величини поблизу різних точок дає функція, яку називають щільністю розподілу (або диференціальним законом розподілу)

нехай  - Безперервна випадкова величина з функцікй розподілу  . Знайдемо ймовірність попадання цієї випадкової величини в елементарний ділянку .

За формулою (2), маємо

Розділимо це рівність на

.

Ставлення, що стоїть ліворуч, називається середньої ймовірно -стью на одиниці довжини ділянки.

вважаючи функцію  диференціюється, перейдемо до перейдемо в цій рівності до межі

.

Визначення. Границя відношення ймовірності попадання неперервної випадкової величини на елементарний ділянку  до довжини цієї ділянки  при  називаються ється щільністю розподілу неперервної випадкової ве - личини  і позначається  отже,

Щільність розподілу показує, наскільки часто слу -чайная величина  з'являється в деякій околиці точ ки  при повторенні дослідів.

Крива, що зображає графік щільності розподілу, на- ни опиняються кривої распрелеленія.

Якщо можливі значення випадкової величини  за- ють певний проміжок  , то  поза цього проміжку.

Визначення. Випадкова величина  називається непре - ної, Якщо її функція розподілу  неперервна на всій числовій прямій, а щільність розподілу  не- переривана всюди, за винятком може бути кінцевого числа точок (точок розриву 1 - го роду).

Властивості ЩІЛЬНОСТІ РОЗПОДІЛУ

1. Щільність розподілу неотрицательна, тобто

(Це випливає з того, що  - Похідна неубивающей функції  ).

2. Функція розподілу неперервної випадкової величини

ни дорівнює інтегралу від щільності розподілу (і тому є інтегральним законом розподілу), тобто

Справді,  (За визначенням диференціала функції). отже,

На графіку щільності розподілу функція розподілу

зображується площею заштрихованої області.

3. Імовірність попадання випадкової величини на ділянку  дорівнює інтегралу від щільності розподілу по цьому проміжку, тобто

Справді,

4. Інтеграл в нескінченних межах від щільності розподілу пр -деленія дорівнює одиниці, тобто

Іншими словами, площа фігури під графіком щільності розподілу дорівнює 1. Зокрема, якщо можливі значення ня випадкової величини зосереджені на ділянці  , то




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати