загрузка...
загрузка...
На головну

Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

 . (1)

Отримана формула називається формулою Бернуллі.

Приклад 1. В середньому п'ята частина надходять у продаж автомобілів некомплектних. Знайти ймовірність того, що серед 10 - ти прибулих автомобілів мають некомплектність: а) три автомобіля; б) хоча б три.

подія  - Автомобіль має некомплектність. Тоді, за умовою,

а) За формулою (1),

б) Подія  - «Хоча б три автомобілі некомплектних», ті. від 3 - х до 10 - ти. Його ймовірність простіше шукати через ймовірність протилежної подія  - «Менше 3 - х ав-томобілів некомплектних».

 тоді

Так як події, що складаються в різній кількості появ події  в серії з  незалежних випробувань утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх вірогідність ність дорівнює одиниці, тобто

Ця сума є розкладання  - Го ступеня бинома (біном Ньютона) і пов'язане з нею розподіл ймовірностей числа появ події  в серії з  дослідів називається біноміальним розподілом.

Учмтивая це, для обчислення ймовірностей можливого числа появ події  в серії з  незалежних ви- бувань можна ввести так звану виробляє функ- цію :

Ця функція має ту властивість, що коефіцієнт, стоячи- щий перед  в цій сумі дорівнює ймовірності .

Приклад 2. Передбачається, що в середньому 20% відкриваю -них малих підприємств розоряються протягом року. Знайти ймовірність того, що після року роботи з 6 - ми знову від - крившееся підприємств не розориться: а) рівно 5; б) хоча б чотири.

Імовірність того, що підприємство розориться  , Зі - відповідально, ймовірність того, що воно не розориться, дорівнює  Для вирішення скористаємося виробляє функцією.

 Безпосереднім складанням можемо перевірити, що сума всіх коефіцієнтів у цьому розкладанні дорівнює 1. Тоді, в разі а):  , Тобто коефіцієнт, що стоїть перед  . У випадку б):  , Тобто сума коефіцієнтом тов, стояше перед .

Аналогічну виробляє функцію можна ввести і для випадку, коли в серії з  випробування ймовірності появи події в кожному випробуванні різні. Нехай ймовірність по- явища події в випробуванні дорівнює  і, від- повідно, ймовірність того, що подія не відбулося -  . Тоді про можливості певного числа появ події  в даній серії дослідів можна судити за значенням коеф -фіціентов перед певними ступенями  в розкладанні за ступенями  Наступного виробляє функції:

.

Приклад 3. Нехай п'ять баскетболістів кинули по одному разу м'яч в корзину. Знайти ймовірність того, що буде три точних попадання, якщо для 1 - го і 3 - го ймовірності попа -Данія рівні 0,7, для 2-го - 0,6, для 4 - го - 0,8 і для 5 - го - 0,9.

В цих умовах, ,

Тоді виробляє функція має вигляд:

 Сума коефіцієнтів в розкладанні дорівнює одиниці.

Тоді ймовірність того, що буде три попадання м'яча у корпусі Зіну дорівнює коефіцієнту перед  , Тобто

Якби ми шукали цю ймовірність, застосовуючи теореми сло вання і множення ймовірностей, то обчислення були б на- багато більш громіздкими.

Визначення. найімовірніше число  появ з- буття  в серії з  незалежних випробувань називається число, для якого  є найбільшим.

Наприклад, в прикладі 2,  ; в прикладі 2, .

Використовуючи формулу Бернуллі, можна вивести формулу для знаходження найімовірнішого числа появ події:

 (2)

зауваження. Довжина проміжку, що визначається цими нерівність дорівнює одиниці:  , Тому, якщо кордону проміжку дробові, то  визначається однозначно, якщо ж цілі - отримуємо два значення для .

Приклад 4. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі дорівнює 0,7. Знайти найімовірніше число влучень у мішень при 8 - ми пострілах і визначити ймовірність такого числа влучень.

У цьому прикладі  тоді

Тепер знайдемо ймовірність:

§ 9. Граничні теореми В схемою Бернуллі.

Якщо число випробувань досить велике, то користуватися формулою Бернуллі не дуже зручно. Уявіть собі, що потрібно обчислити таку ймовірність:

Виникає питання, чи можна обчислити таку ймовірність, не вдаючись до формули Бернуллі. Виявляється можна. Для окремого випадку  формула для наближеного ви -чисельність певного числа появ події  для слу- чаю великого числа незалежних випробувань була знайдена ще в 1730 році Муавром, а в 1783 році цю формулу обоб -щіл Лаплас для довільного випадку  . Тому ні- жеследующую теорему іноді називають теоремою Муавра - Лапласа. Доказ її досить громіздко, тому при- ведемо тільки її формулювання і приклади.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність появи події  в серії з  незалежних випробувань постійна і задовольняє нерівності  , То ймовірність того, що в цій серії випробувань подія з'явиться рівно  раз приблизно обчислюється за формулою:

 (1)

де .

У всіх довідниках наведені таблиці для обчислення функції  для позитивних значень  , так як  . Але, в принципі, значення цієї функ- ції можна обчислити і безпосередньо. Точність прібліже- ня тим більше, чим більше .

Приклад 1. В середньому 95% годин, що надходять у продаж, не вимагають додаткового регулювання. Знайти ймовірність того, що з 300 годин, що надійшли в продаж, не вимагатиме додаткового регулювання рівно 280.

тоді ,  і отримуємо

Приклад 2. Фірма по установці пластикових вікон расклади- кість рекламні листи по поштових скриньках. В результаті це-го приблизно в одному випадку з 1000 надходить замовлення на виготов-лення вікна. Знайти ймовірність того, що при поширення нии 100000 рекламних листів надійде 90 замовлень.

тоді  і отримуємо

У міру збільшення числа випробувань ймовірність того, що деякий інтересуемого нас подія відбудеться визначений -ве точне кількість разів стає дуже близька до нуля, так як число можливих варіантів занадто велике. Тому частіше ставиться завдання визначити ймовірність того, що число появ цієї події укладено в деякому проміжку. В цьому випадку працює

Інтегральна теорема Лапласа. Якщо ймовірність появле- ня події (  ) В серії з  незалежних ис -питаній постійна, причому  , То ймовірність того, що подія з'явиться більше  , Але менше  раз прібліжён- але обчислюється за формулою:

 (2)

де

Теорему доводити не будемо, але застосовуючи цю теорему, також можемо користуватися спеціальною таблицею, тим більше, що інтеграл  НЕ обчислюється через елементарні функції. У таблицях наведені значення для функції  , Яку називають функцією Лапласа.

 У таблицях наведені значення цієї функ- ції для  . при

Щоб можна було користуватися таблицею, перетворимо формулу (2)

Таким чином,  де

Приклад 3. В умовах прикладу 1, визначити ймовірність того, що не менше 280 годин не зажадають додаткового регулювання, тобто знайти ймовірність

За умовою,

тоді

Приклад 4. В умовах прикладу 2, визначити ймовірність того, що надійде від 80 до 120 замовлень на вікна.

За умовою,

тоді

отже,

Прямим наслідком інтегральної теореми Лапласа являет- ся формула для обчислення ймовірності відхилення відно -сітельной частоти від постійної ймовірності в незави -сімих випробуваннях. нехай вироблено  незалежних вип -

таний, в кожному з яких ймовірність події  постоян- на і  . Тоді ймовірність того, що відносна час- тота появи події  відхилиться від імовірності  це- го подія по Абсолют величині не більше, ніж на  обчислюється за формулою:

 (3)

Приклад 5. Імовірність того, що виготовлена ??деталь стандартні, дорівнює  . Знайти ймовірність того, що серед відібраних 900 деталей відносна частота стандартних деталей, по абсолютній величині, відхилиться від імовірності не більше, ніж на 0,04.

 тоді

приклад 6. Імовірність появи події в кожному з НЕ -залежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменше число ви- бувань  , При яких з ймовірністю 0,99 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його імовірності по абсолютній величині не більше ніж на 0,03.

За умовою,

тоді

По таблиці значень функції Лапласа, бачимо, що  тоді

Приклад 7. Відділ технічного контролю перевіряє 500 ви- робів на шлюб. Імовірність бракованого вироби в проверяя- емой партії дорівнює 0,02. З ймовірністю 0,96 визначити границі, в яких буде укладено число  бракованих ви- робів в даній партії.

 тоді

По таблиці отримуємо и  Таким чином, відхилення відносної часто -ти бракованих виробів від постійної ймовірності з вероят ність 0,96 задовольняє нераверству ,

або  Так як  - Ціле число, то отримуємо:

Сдедует помітити, що формули Лапласа погано працюють, в таких випадках, коли ймовірність події мала  ), А число випробувань в досвіді велике. У таких випадках зручно застосовувати асимптотичну формулу Пуассона. Припустимо, що в різних серіях випробувань твір  сохра- няет постійне значення (тобто середнє число появ події в різних серіях випробувань при різних значеннях  залишається незмінним). Тоді ймовірність того, що при  випробуваннях подія відбудеться  раз вичісляя- ється по формулою Пуассона:

 (3)

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 8. Автоматична телефонна станція в середньому за годину отримує 300 викликів. Знайти такі ймовірності: а) в дану хвилину вона отримає рівно 3 виклику; б) в дану хвилину вона отримає не менше 3 - х викликів.

Визначимо середнє число викликів в хвилину .

Тоді, в разі а)

У випадку б)

Приклад 9. У банк прибуло 2000 пакетів грошових знаків. Імовірність того, що в певному пакеті міститься фальшивий грошовий знак, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що під час перевірки буде виявлено: а) рівно 4 фальшивих грошових знака; б) хоча б один.

За умовою,

Тоді, в разі а),

У випадку б),

Приклад 10. Серед насіння пшениці в середньому є 0,2% насіння бур'янів. Знайти ймовірність того, що при випадковому відборі 3000 насіння виявиться 5 насіння бур'янів.

За умовою,  тоді

 




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати