Головна

Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Теорема. (Теорема про складання ймовірностей несумісних подій) Імовірність появи хоча б одного з  не- спільних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:

Наведемо важливі наслідки цієї теореми:

Слідство 1. якщо події  утворюють підлогу -ву групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

Справді, в цьому випадку и

Слідство 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

Справді, протилежні події несумісні і їх сума

Для випадку нескінченного числа подій:

аксіома 6. Імовірність суми нескінченно великого числа несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подію -тій

Аксіому множення ймовірностей також, за допомогою методу математичної індукції, можна узагальнити на випадок вироб - вільного кінцевого числа множників .

Теорема. (Про примноження ймовірностей) Імовірність вироб -ведение, або спільного появи подій  дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності решти подій, обчислені за умови, що всі попередні події мали місце, тобто  (1)

Приклад. Нехай механізм складається з 3 - х деталей. Робота механізму порушується, якщо всі ці деталі більше, ніж по- ложено за стандартом. У збирача залишилося 8 деталей, з ко-торих 4 збільшеного розміру. Знайти ймовірність того, що зібраний з решти деталей механізм не буде рабо -тать.

 - Ненормальна робота механізму, ,  - Я деталь має більший розмір. тоді

Введемо поняття залежних і незалежних подій.

Розглянемо досвід з прикладу 2 попереднього параграфа, але зробимо його таким чином: витягаємо одну кулю з урни з 6 - ю білими і 4 - ма чорними кулями, визначаємо його колір, повертаємо його в урну, перемішуємо кулі і знову витягаємо одну кулю. При тих же позначеннях ймовірність того, що обидві кулі білі, дорівнює

.

Тут ми зіткнулися з поняттям незалежних подій.

Визначення. подія  називається незалежним по відношенню до події  , Якщо ероятность події  не залежить від того, відбулася подія  чи ні, тобто  . В іншому випадку, подія  називається залежним від події .

У прикладі 2 попереднього параграфа подія  залежало від події  (В урні змінилася кількість куль). У прикладі, розглянутому вище, при повторному отриманні кулі початкові умови не змінилися, тому ймовірність події  не залежить від того, відбулася подія  чи ні, тобто подія  не залежить від події .

Зауваження. якщо подія  не залежить від події  , То і подія  не залежить від події .

Справді, з аксіоми 5,

але  . тоді

Визначення. Дві події називаються незалежними, Якщо поява однієї з них не змінює ймовірність появи іншого.

Поняття незалежності можна поширити на випадок довільного числа подій.

Визначення. Кілька подій називаються незалежними в сукупності якщо кожне з них і будь-яка комбінація ос -тальних подій є незалежними.

Наприклад, події  незалежні в сукупності, якщо незалежні один щодо одного наступні події:

слідство (Теореми про примноження ймовірностей). Імовірність добутку незалежних в сукупності подію -тій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто

(За умови незалежності подій, умовні ймовірності у формулі (1) змінюються на безумовні ймовірності, в відповід-но до умовою незалежності подій).

приклад 1. Вироблено 3 постріли по віддаляється Міші -ні. Ймовірність влучення при першому пострілі (подія  ) Дорівнює 0,9, при другому (подія  ) - 0,7, при третьому (подію- нення  ) - 0,5. Знайти ймовірності наступних подій:  - «Все три попадання»;  - «Рівно два влучення»;  - «Ли- ше одне влучення»;  - «Принаймні два попадання»;  - «Хоча б одне влучення»;  - «Жодного попадання» (мається на увазі, що результати всіх пострілів незалежні один від одного). отже,  аналогічно,

У даних умовах,  . події  незалежні. тоді

подія  . Всі складові, що входять в подію  - Несумісні, а множні тель доданків - незалежні. Тому


 подія

.

подія:

,

подія  можна представити двома способами: або

 і тоді його ймовірність дорівнює

 , або  , Тоді, враховуючи наслідок 2 теореми про складання вероятнос -тей,

Двома способами отримали той же результат.

Приклад 2. 5 раз підкидається монета. Знайти імовірність ність того, що всі 5 разів вона випаде однієї і тієї ж сто- роною (подія  ), Або всі 5 разів випаде герб (подія  ), Або всі 5 разів випаде цифра (подія  ).  . з -бути и  несумісні. Тому .

Підкидання монети вважаємо незалежними. Імовірність появи герба (цифри) при кожному підкиданні дорівнює 0,5. тоді

Теорема. (Теорема про складання ймовірностей спільних з- битій) Імовірність появи хоча б одного з двох сов місцевих подій дорівнює сумі їх ймовірностей без вероят ність їх спільного появи, тобто

Доведення. Розглянемо малюнок:

події и  можна представити таким спосіб:  . Складові, що входять в ці події, є несумісними. За правилом додавання ймовірностей несумісних подій (ак СИОМА 4), отримуємо:

 Тому, так як


 отримуємо

Теорема доведена.

зауваження. Якщо шукати ймовірність суми трьох сумісних -них подій, то отримаємо формулу:

У міру збільшення числа доданків формула складання ве -роятності спільних подій досить швидко розростається і призводить до громіздким обчисленням, що дуже незручно. Тому при обчисленні верояності суми декількох сов -Місцеві подій доцільно використовувати поняття веро -ятності протилежної події. якщо подія  - «Появ- дення хоча б одного зі спільних подій  », Тобто  , То ймовірність цієї події мож- обчислити таким чином:

це формула обчислення ймовірності появи хоча б одного з спільних подій.

приклад 1. Два рази підкидається гральний кубик. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз випаде цифра 5.

 - Цифра 5 при першому підкиданні.  - Цифра 5 при другому підкиданні.  Тоді, по теоремі,


 Іншим способом,  . тоді

Отримали той же результат.

приклад 2. Вироблено 3 постріли по віддаляється Міші - ні. Ймовірність влучення при першому пострілі (подія  ) Дорівнює 0,9, при другому (подія  ) - 0,7, при третьому (подію- нення  ) - 0,5. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в мішень.

скористаємося формулою

§ 7. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ, ФОРМУЛА

Бейеса).

Нехай є повна група несумісних подій - гіпо- тез -  , Для яких відомі їх ймовірності. Тоді, по слідству 1 з теореми про складання ймовірностей, сума їх ймовірностей дорівнює 1, тобто .

Нехай деякий цікавить нас  може виро -зойті або не відбутися в разі виконання однієї з гіпотез  і відомі умовні ймовірності появи події  при виконанні кожної з гіпотез:  . Тоді ймовірність події  визначається за формулою:  . (1)

Ця формула називається формулою повної ймовірності.

Справді, подія  можна представити в такий спосіб:  . Так як події

 несумісні, то що входять до подія  складові також несумісні, тобто  . За аксіомі множення ймовірностей,  і тоді:  . Отримали потрібну формулу.

приклад 1. Три верстата - автомата, продуктивності кото -рих відносяться як 3: 2: 5 штампують однакові деталі. 80% деталей, виготовлених 1 - м верстатом, 90%, виготовлених 2 - м верстатом, і 70%, виготовлених 3 - м верстатом, є стан -дартнимі. Всі виготовлені деталі зберігаються в одному ящику. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться стандартною.

подія  - «Даталь стандартна» залежить від подій  (Тобто від того, яким верстатом була виготовлена ??детпль). Ймовірності цих подій, з огляду на виробник-ності верстатів - автоматів, рівні, відповідно,

Умовні ймовірності появи події  визначаються відсотками стандартних деталей для кожного верстата, тобто

Тоді, за формулою повної ймовірності (1),

Приклад 2. Нехай в першій урні знаходиться 8 білих і 12 синіх куль, у другій урні - 5 білих і 3 синіх кулі. З першої урни довільним чином витягуються 2 кулі і перекладаються в другу урну. Потім з другої урни з-залучається один шар. Знайти ймовірність того, що витягнутий куля біла (подія  ).

подія  залежить від того, які кулі були додані в другу урну, тобто від подій  - «Два білих кулі»,  - «Білий і синій куля», подія  - «Два синіх кулі». Най - дём ймовірності цих подій:

 Умовні ймовірності події  по кожному з цих зі -бути рівні, відповідно,

Тоді ймовірність події  дорівнює

Зауваження. Формула повної ймовірності - це наслідок теореми додавання ймовірностей і аксіоми множення імовірність ностей.

Поставимо тепер наступне завдання. Нехай є повна групппа несумісних подій - гіпотез -  , Для яких відомі їх ймовірності ,  . Нехай деякий цікавить нас  може проізой- ти або не відбутися в разі виконання однієї з цих ги -потез і відомі умовні ймовірності появи події  при виконанні кожної з гіпотез:  . За формулою пів ної ймовірності (1) ми можемо знайти ймовірність події  . нехай подія відбулося. Потрібно визначити частку участі кожної з гіпотез у виконанні події  , Тобто най- ти ймовірності:  . Ці ймовірності можемо знайти за такою формулою:

 . (2)

Ця формула називається формулою Бейеса.

Справді, з аксіоми множення ймовірностей,

 ця формула виходить автоматично.

Приклад 3. В умовах прикладу 1 цього параграфа, визна - лити ймовірність того, що вибрана стандартна деталь з -готовлена ??1 - м верстатом.

За формулою (2),

Приклад 4. Чотири друкарки протягом певного часу друкують рукопис в 300 счтраніц. Перша з них надрукувала 60 сторінок, друга - 80, сторінок, третя - 110 сторінок, четверта - 50 сторінок. Імовірність зробити опе - чатку для першої друкарки дорівнює 0,2, для другої - 0,3, для третьої - 0,1 і для четвертої - 0,4. Після звірки тексту була виявлена ??помилка. Яка друкарка, найімовірніше все -го зробила опечаіку.

В умовах цієї задачі: подія  - Помилка в тексті, події  - Помилка була зроблена  й друкаркою .

 Тоді ймовірність помилки в рукописи:

Тепер, скористайтесь формулою Бейеса, оцінимо ймовірності:

Таким чином, найімовірніше друкарську помилку зробила друга друкарка.

§ 8. ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ. Формула Бернуллі.

нехай вироблено  випробувань. Якщо ймовірність подію -тія  в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними що- події

Для серії таких випробувань може бути поставлена ??сліду -ющая завдання: визначити ймовірність того, що в результаті проведення  незалежних випробувань, в яких подія  з'являється з постійною ймовірністю  , подія  відбудеться рівно  раз, тобто знайти

За умови  можна було б скористатися теоремами додавання і множення ймовірностей з використан- ням правил складання і уноженія ймовірностей подій. Але, у міру збільшення числа випробувань, ці правила призводять до громіздким формулами і, з урахуванням перебору можливих варіантів, до не менш громіздким обчисленням.

Простіший спосіб обчислення таких ймовірностей осно- ван на застосуванні формули Бернуллі.

Нехай в однакових умовах виробляється  незалежних випробувань, в кожному з яких подія  з'являється з постійною ймовірністю  , А протилежне подію -тіе  з ймовірністю .

нехай  - Появи події в  - М випробуванні (  ).

Розглянемо таку подію: в  випробуваннях перші  раз подія  з'явилося, а потім перестало з'являтися, тобто з- буття  . Оскільки вхідні в подію -тіе  події незалежні, то

 Але комбінацій, типу комбінації  , існує  (Тобто стільки є способів розставити «  рисок над  множні - ками »), причому всі такі комбінації несумісні. Тому




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати