Головна

Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 3 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

твором (або перетином )  двох подій називається подія, що складається з елементарних з- битій, що входять і в подія  і в подія .

наприклад:  = «Попадання в ціль при 1 - му пострілі»,  - «Попадання в ціль при 2 - му пострілі», тоді  - Попа-рення в ціль при обох пострілах.

властивість: .

різницею  (або  ) Називається подія, состо- ящее з елементарних подій, що входять в безліч  , Але не входять до безліч  . (Іншими словами, подія  відбулося, а подія  не відбулося.)

Наприклад, при киданні грального кубика:  - «Випала парна цифрах», тобто ,  - «Випала цифрах, крат- ная 3», тобто  . тоді .

подія  , Що складається з усіх елементарних фіналів даного досвіду, називається достовірною подією (Відбуваеться «завжди» в даному досвіді).

подія  , Що не містить жодного з елементарних фіналів даного досвіду, називається неможливою подією.

Наприклад, при киданні грального кубика «випала цифра від 1 до 6» - достовірна подія, «випала цифра 10» - не -можливість собтіе.

протилежне подія  (подія  не відбулося) - це доповнення події  до достовірного, тобто .

наприклад:  - «Три дні поспіль йшов дощ», тоді  - «Хоча б один день дощу не було»;  - «З п'яти чисел хо -тя б одне парне», тоді  - «Все п'ять чисел непарні».

властивості:

події и  називаються несумісними, Якщо неможливе -можна їх одночасна поява в одному досвіді, (тобто, якщо  ).

Наприклад, при киданні монети:  - «Випав герб»,  - «Випала цифра» - несумісні події.

(  тягне  , Тобто елементарні події, входячи -щіе в подія  , Входять і в подія  ) - З настання події  слід настання події .

наприклад:  - «Попадання при першому пострілі»,  - «Хоча б одне влучення при трьох пострілах». тоді .

якщо и  , То кажуть, що події и рівносильні або еквівалентні.

 означає, що елементарна подія  входить в подія .

Поняття твори і суми подій можна перенести на випадок довільної кінцевої або нескінченної последо -вательності подій:

подія  складається з елементів -тарних подій, що входять хоча б в одне з подій , .

подія  складається з елементарних подій, що входять одночасно в кожне з подій , .

Кажуть, події  утворюють повну групу, Якщо в результаті досвіду відбувається хоча б одне з них.

нехай  - Довільне простір елементарних подію- тий.  - Деякий клас підмножин простору  . Цей клас підмножин називається алгеброю подій, якщо  і для будь-яких подій  виконується: , .

§ 3 ЧАСТОТА ПОДІЇ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ,

Нехай проведена серія  випробувань, в кожному з кото -рих може з'явитися або не з'явилося подія .

частотою події  в даній серії випробувань називаючи -ется відношення числа  випробувань, в яких з'явилося з- буття  , До загальної кількості  випробувань, тобто .

Властивості частоти ПОДІЇ.

1) Частота випадкової події  невід'ємне число, не більше одиниці, тобто

.

Це властивість очевидно, так як завжди .

2) Частота достовірної події дорівнює одиниці  (так як  ).

3) Частота неможливого події дорівнює нулю  . (Так як в цьому випадку  ).

4) Частота суми двох несумісних подій дорівнює сумою ме частот цих подій, тобто

.

Справді, якщо подія  з'явилося  раз, а з- буття  раз в  випробуваннях, то, так як події не -спільне і неможливо їх одночасна поява в дан-них випробуваннях, подія  з'явиться  раз.

тоді

.

Щоб сформулювати наступне властивість, введемо ще одне поняття. Частота одного події, обчислена при ус ловіі, що сталося інша подія, називається умовної частотою і позначається  . якщо події и  сумісні, то можемо сформулювати властивість розум-піхов частот.

5) Частота добутку двох подій дорівнює произведе -

ню частоти одного з них на умовну частоту іншого

 (1)

Справді, нехай в серії з  випробувань подія  з'явилося  раз, подія -  раз, а разом ці подію- ку з'явилися  раз. тоді

 Якщо ми підставимо всі ці частоти в формулу (1), то отримаємо тотожність:

.

Тривалі спостереження показали, що якщо в однакових умовах виробляються досліди, в кожному з яких число ис -питаній досить велике, то частота події виявляє властивість стійкості: в різних дослідах частота меня- ється мало (тим менше, чим більше число випробувань в досвіді) і коливається щодо деякого постійного числа.

§ 4 ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ.

З огляду на властивість стійкості частоти події, можна ввести поняття ймовірності події.

Визначення. Ймовірністю випадкової події називаються -вается постійне число, біля якого групуються часто-ти цієї події в міру збільшення числа випробувань.

Це визначення ймовірності називається статистичними.

Позитивне властивість цього визначення полягає в тому, що воно спирається на реальний експеримент. Але в цьому ж криється і його негативна сторона. Для надійного визна -льон ймовірності, в сенсі цього визначення, необхідно провести велику кількість дослідів, що найчастіше пов'язано з великими матеріальними витратами, наприклад, при перевірці виробів на надійність, яка призводить до руйнування изде- лія. Однак те, що кожне масове випадкова подія має свою ймовірність, є фактом, що підтверджується досвідом, що і доводить існування статистичних закономернос- тей в природі.

Однак статистичне визначення ймовірності, як основа ванне на експериментальних даних, не дає можливості заздалегідь, до експерименту, визначити ймовірність події, тобто не є «робочим визначенням».

Розглянемо інше визначення ймовірності, яке на -зивается класичним. Це визначення грунтується на понятті рівно можливих несумісних подій (результатів даного досвідом -та, які утворюють повну групу, тобто враховані всі можливі -ві результати даного досвіду), тобто. шансів. Розгляд таких груп рівно можливих подій можна звести до так званих-мій «схемою урн» (урна повинна мати ті самі, невиразні на дотик кульки: різнокольорові або занумерованих, які з- залучаються довільним чином). Наприклад, випробування з підкиданням монети можна порівняти з витягом з кр- ни, що містить дві кулі (білого і чорного), кулі визна -лённого кольору. Досвід «підкидання грального кубика» рав- носив досвіду «витяг з урни, що містить 6 занумеро- ванних куль, кулі з певним номером» і т.п.

Стосовно до кожної події рівноможливими наслідки (шанси) діляться на сприятливі, при яких подія відбуваеться, і, відповідно - несприятливі, при яких з- буття не відбувається. Наприклад, при киданні грального ку -біка, для події  - «Випало парне число» благопріятни- ми є 3 шансу - випали цифрах 2, 4, 6.

Визначення. ймовірністю появи деякого подію- ку називається відношення числа шансів, що сприяють цій події, до загального числа рівно можливих в даному досвіді шансів. Таке визначення ймовірності називається класичним.

Іншими словами  , де  - Загальне число одно- можливих результатів, а  - Число сприятливих результатів.

Важливою перевагою цього визначення є те, що з його допомогою ймовірність події можна визначити зара- неї, до досвіду, і зробити відповідні висновки.

Недолік його полягає в тому, що це визначення можна застосовувати тільки в разі рівно можливих фіналів досвіду.

Розглянемо кілька прикладів.

1. двоекратное підкидання монети. можливі наслідки

«ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ» (Г - герб, Ц - цифра). всього  . подію- нення  - Випала хоча б одна цифра. Тоді кількість бла- ливих наслідків  і ймовірність події :

2. В урні знаходиться 10 куль, з яких 6 білих і 4

чорних. Довільним чином витягуються 2 кулі. Визначити ймовірність того, що обидві кулі білі (подія  ).

Загальна кількість випадків в даному випадку

.

Число сприятливих результатів  . Тоді ймовірність події : .

3. З цифр 1, 2, 3, 5 складається 4 - х значне число.

Визначити ймовірність того, що полученнок число парне (подія  ). Загальна кількість можливих результатів:

Число сприятливих результатів  (Так як пос ледняя цифра 2 вже зафіксована), Тоді

.

4. В коробці 20 куль, з яких 7 червоних, 8 синіх і

5 зелених. Випадковим чином витягуються 6 куль. знайти

ймовірність того, що серед відібраних куль різнокольорові кулі будуть порівну, тобто по 2 (Подія  ).

Загальна кількість випадків

Число сприятливих результатів

тоді .

При класичному визначенні ймовірностей можна рас -матрівать тільки кінцеві повні групи рівно можливих подій. На практиці ж часто зустрічаються такі досл -танія, число можливих результатів в яких нескінченно. При- нити класичне визначення в даному випадку неможливе але. Однак в цьому випадку можна скористатися так називаючи -емим геометричним визначенням ймовірності, Яке також спирається на поняття рівно можливих випадків данно- го досвіду. Застосовується цей метод в задачах, що зводяться до випадкового «кидання точки» на кінцеву ділянку прямої, площини або простору. Можна обмежитися плоским слу- чаєм, так як одновимірний і тривимірний випадки відрізняються тільки тим, що замість площі в них маємо справу з довжиною відрізка або з об'ємом.

Нехай на площині є деяка область  пло щади  , Всередині якої довільним чином располо-дружина область  з площею  . В область  навмання бро- -саєти точка. Вважаючи рівно можливими наслідками даного досвідом-

та потрапляння в будь-яку точку області  , Потрібно ви- ділити ймовірність попадання цієї точки в область  . В таких умов вероятоность попадання точки в будь - яку частину області пропорційна площі цієї частини і не за- висить від її форми і місця розташування, тобто ймовірність можна знайти за формулою: .

Розглянемо кілька прикладів.

1. Нехай дано дві концентричні кола радіусів

и  , Відповідно, Точка кидається в коло більшого шення розміру. Знайти ймовірність того, що вона потрапить в кільце, зак лючённое між колами Так як площа ,

площа  , То шукана ймовірність дорівнює

.

2. На відрізок  числовій осі, довжиною 5 см, довільної

ним чином ставляться дві точки и (  ). Знайти ймовірність того, що з отриманих відрізків  можна побудувати трикутник.

0 5

 Щоб з даних від- відрізків можна було побудувати трикутник, повинні бути ви-повний такі умови:

 або

Крім того, в даних умовах, .

З другої системи отримуємо умови, які необхідні за умовою завдання:

= .

це геометричні

5 ілюстрація даної

завдання.

2,5

0 2,5 5

область  - Це квадрат стороною 5 см., Область  - Це виділена частина квадрата. Її площа становить вось- мую частина площі квадрата. Тому шукана ймовірність .

І таких завдань, які зводяться до обчислення геометричних ймовірностей існує досить багато.

§ 5 аксіоматична побудова ТЕОРІЇ

ІМОВІРНОСТЕЙ.

Теорія ймовірностей, як і будь-яка інша математична наука, будується на основі певної системи аксіом. Виходячи з статистичного визначення ймовірності, аксіоматику НЕ -обходімо вводити таким чином, щоб вона досить хоро шо узгоджувалася з досвідом, тобто ймовірність події долж- на мати властивості частоти. Тому основні аксіоми:

аксіома 1. Імовірність події - це невід'ємне число, укладену між 0 і 1, тобто

Аксіома 2. Імовірність достовірної події дорівнює 1, тобто

Аксіома 3. Імовірність неможливого події дорівнює 0,

зауваження. Якщо ймовірність деякої події дорівнює нулю, то це ще не означає, що дана подія неможливе -можна. Наприклад, при пострілі по деякій мішені, ймовірність попадання в певну точку дорівнює нулю, але це ще не означає, що дана подія неможливо. Просто ми- шень містить нескінченно багато точок. Точно також, якщо імовірність події дорівнює 1, це ще не означає, що воно дос- товерно. (Якщо в розглянутому прикладі: А - «попадання в деяку точку мішені», то  , а  , але  - Не достовірна подія.)

аксіома 4 (Аксіома додавання ймовірностей). Вероят ність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірністю:

 визначення Імовірність появи події  , Обчислюва -льон за умови появи іншої події, скажімо  , називається умовною ймовірністю і позначається .

аксіома 5 (Аксіома множення ймовірностей). Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, тобто

Слідство. На підставі цієї аксіоми, умовну вірогідність ність події можна шукати за формулою .

Ці аксіоми вже дозволяють вирішувати деякі найпростіші завдання.

приклад 1. З урни, що містить 10 занумерованих куль, необхідно витягти кулю з номером, кратним 3 або 4. Події:  - «Номер кулі ділиться на 3» = «3, 6, 9» і

 - «Номер кулі ділиться на 4» = «4, 8».

Ці події несумісні.  за

аксіомі 4, .

Приклад 2. З урни, що містить 6 білих і 4 чорних кулі, по черзі (без повернення) витягають дві кулі. Знайти імовірність того, що обидва витягнутих кулі білі. А - перший шар білий, В - друга куля білий. тоді

.

§ 6 ТЕОРЕМИ СКЛАДАННЯ І МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНО -

Стей.

За допомогою методу математичної індукції, аксіому сло вання ймовірностей можна узагальнити на випадок довільного кінцевого числа несумісних подій :




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 1 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати