На головну

Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 2 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

4. Отримайте 1-фенілетанол-1 з бензолу. За допомогою двох реакцій покажіть відмінності у властивостях 1-фенілетанола-1 і фенолу.

5. Напишіть реакції:

Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В.

Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей. Учеб. допомога. - Магнітогорськ: МГТУ, 2008. - 112 с.

Викладено основні поняття комбінаторики, необхідні в курсі теорії ймовірностей. Основний матеріал по випадковим подіям і випадковим величинам наведено з достатніми обгрунтуваннями і забезпечений великою кількістю прикладів відповідно до програми курсу математики.

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ.

Комбінаторний аналіз займається вивченням об'єктів не - якого кінцевого безлічі  і їх властивостей. Цими об'єктами можуть бути підмножини множес -тва  , Підмножини з безлічі  з повторюваними елементами, впорядковані підмножини безлічі  і т.п.

Комбінаторний аналіз є розділом дискретної ма -тематікі, витоки якої сягають глибокої давнини. В на- варте час інтерес до нього значно посилився. Бла - годаря цього, комбінаторний аналіз перетворився в достаточ- але розвинену галузь математики, яка безперервно разраста- ється. Це ускладнює завдання окреслити коло об'єктів і їх властивостей, які належать до цього розділу. Але нас инте- ресуют більш прозаїчні питання, а саме ті питання, які мають безпосереднє відношення до теорії веро -ятностей, тобто пов'язані з обчисленням кількостей появ тих чи інших подій в серіях деяких випробувань.

При виборі  елементів з  різних елементів прийнято говорити, що вони утворюють з'єднання з  еле -ментов по

Залежно від того, чи має значення порядок еле -ментов в з'єднанні чи ні, а також від того, входять в сполука все  елементів або тільки частина їх, розрізняють три види з'єднань.

ВИДИ СОЕДИНЕНИЙ:

1. З'єднання, що відрізняються один від одного складом еле -ментов або їх порядком, кожне з яких містить  елементів, взятих з  різних елементів, називаються ється розміщенням з  елементів по

Наприклад, напишемо все розміщення з елементів  по два:

.

2. З'єднання, кожне з яких містить  різних

елементів, взятих в певному порядку, називаються пере- становки з  елементів.

Наприклад, напишемо все перестановки з елементів :

3. З'єднання, що відрізняються один від одного по крайней ме ре одним елементом,кожне з яких містить  елементом тов, взятих з  різних елементів, називаються сочета - нями (Комбінаціями або вибірками) з  елементів по

Наприклад, напишемо все поєднання з елементів  по три елементи:

Завдання про кількість розміщень. Скількома способами можна вибрати і розмістити по  різних місць  з  раз- них предметів (об'єктів)? Кількість всіх таких способів прийнято позначати  (Число розміщень з  по  ).

Ясно, що на одне місце можна помістити будь-який з  предметів; таким чином:

(  ).

Якщо одне місце зайняте деяким предметом, то на дру- гое місце можна помістити будь-який з  залишилися, по-цьому:

.

Продовжуючи аналогічні міркування, остаточно отримаємо:

.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Спростити вираз:

.

Приклад 2. Нехай на площині задані 8 точок. Скільки різних векторів можна побудувати за цим точкам.

Вектор з'єднує дві точки, причому важливо, яка точка початкова, а яка кінцева. Тому завдання зводиться до обчислення числа розміщень  . Застосовуємо відпо -вующую формулу:

Приклад 3. Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр: 0, 1, 4, 6, 7, 9.

Число різних розміщень з 6 елементів по 3 дорівнює:

Однак цифра 0 на першому місці не є значущою, поетів -тому із загального числа розміщень потрібно видалити комбінації, в яких 0 стоїть на першому місці, тобто

остаточно

Приклад 4. У змаганні з баскетболу університету при- приймають участь 7 команд, що представляють різні факультетах - ти. Скількома способами можуть бути розподілені призові місця (1 - е, 2 - ге та 3 - е) між цими командами?

У цьому завданні знову важливий порядок, тому знову примі -няем формулу:

Завдання про кількість перестановок. Скількома способами можна переставити  різних елементів, розташованих на  різних місцях? кількість таких перестановок позна -чается .

Це завдання зводиться до знаходження числа розміщень  елементів на  місць, тобто випадок  . З огляду на, що, за визначенням, 0! = 1, отримуємо:

Приклад 5. Скількома способами можна розставити на пів ке 6 книг різних авторів?

Приклад 6. Рустам 7 занумерованих кульок довільним чином кидають в решітку з 7 - ю осередками. Скількома спо -собамі кульки можуть розподілитися по осередках, за умови,

що кожен кульку потрапляє в яку - то одне відділення.

Завдання зводиться до обчислення числа перестановок:

Завдання про число поєднань. Скількома способами можна вибрати брати  з  різних предметів. Кількість всіх таких способів прийнято позначати  (Число сполучень з  по  , Без урахування порядку елементів).

вибрати  з  різних предметів можна  спосо-бами, а можливостей упорядкувати предметів з даного соче- тания -  . Тому є  можливостей вибрати і розмістити по  різних місцях  з  різних предметів, тобто  тоді

Легко довести наступні властивості числа сполучень:

1.  2.  3.

Наведемо кілька прмере застосування формули числа сполучень з  по  елементів

Приклад 7. 12 чоловік грають в городки. Скількома спо -собамі вони можуть вибрати команду з 4 чоловік на зма -нованіе?

Приклад 8. В опуклому семикутник проведені всевоз -Можна діагоналі, причому ніякі три з них не пересека- ються в одній точці (тобто не виходять з однієї вершини). Скільки точок перетину мають дані діагоналі?

Кожній точці перетину діагоналей в цьому випадку від - повідає 4 вершини семикутника, а кожної четвірці вір -шин відповідає одна точка перетину діагоналей. То- му число точок перетину діагоналей семикутника дорівнює числу способів вибрати чотири вершини з семи, тобто

Приклад 9. У розіграші першості з футболу бере участь 16 команд, причому будь-які дві команди грають між собою тільки один раз. Скільки всього вироблено ігор?

Поставлена ??задача - задача про кількість вибірок з 16 по 2. Тому:

Приклад 10. З 2 математиків і 10 економістів необхідно створити комісію в складі 8 чоловік. Скількома способу -ми може бути складена комісія, якщо в неї повинен вхо -діти хоча б один математик?

Найпростіший спосіб знайти кількість способів складений- ня таких комісій - це від загального числа варіантів комис -сій, складених з 12 чоловік по 8, відняти кількість до -міссій, в яких немає жодного математика, тобто

Приклад 11. З великого букета, що містить 12 троянд, 9 хризантем, 15 гвоздик і 7 гербер випадковим чином набі- рают букет з 15 кольорів. Скількома способоми можна набрати

такий букет, щоб в ньому було 3 троянди, 5 хризантем, 5 гвоз -дік і 2 гербера.

Загальна кількість квітів в набирається букеті -  , Причому,

Загальна кількість всіх кольорів -  причому,

Тоді число варіантів знаходиться наступним чином:

До сих пір ми розглядали з'єднання, в кожне з ко торих будь-який з  різних елементів входить один раз. По- повз цього можна розглядати з'єднання, в які лю -бой з  елементів може входити більше одного разу, тобто з'єднання з повтореннями. У завданнях з повтореннями не має значення, що більше  або .

Завдання про число розміщень з повтореннями. Скількома способами можна розмістити на  місць  елементів, для кожного з яких є  різних варіантів? Кількість таких розміщень позначається  і так само:

приклад 12. Нехай кожен телефонний номер складається з 6 цифр. Скільки існує телефонних номенів, що містять тільки цифри: 2, 4, 6, 8.

У цьому прикладі  тоді

Приклад 13. У секретному замку на загальній осі знаходяться чо- тири диска, кожен з яких розділений на 5 секторів, на ко торих записані цифри від 0 до 4. Скільки можливо различ -них кодових варіантів?

тут  тоді

Приклад 14. Скількома способами можна розмістити 7 паса- жирів в 3 вагони?

В даному випадку,  і, отже,

Завдання про число перестановок з повтореннями. Скількома способами можна переставити  різних предметів  раз- них типів, кількості кожного з яких дорівнюють, відпо Відень  (причому  )?

Якщо врахувати, що при перестановці елементів оного типу нічого не змінюється, тобто отримуємо вирази того ж виду, то перестановок з повтореннями буде менше, ніж звичайних перестановок, а саме, для визначення кількості таких пе- рестановок необхідне загальне число перестановок розділити на число перестановок серед однакових елементів, тобто

Приклад 15. Скільки різних перестановок можна вико -ніть в слові «фантастика»?

тут  ф - 1 (  ), А - 3 (  ), Н, с, і, до - 1 (  ), Т - 2 (  ). тоді

Приклад 16. Скількома способами можна упакувати дев'ять різних книг в трьох бандеролях відповідно по дві, три і чотири книги в кожній бандеролі?

Приклад 17. Скількома способами можна розподілити де -сять молодих фахівців за трьома цехам комбінату в кото- яких потрібно 5, 3 і 2 фахівця, відповідно?

поєднаннями з  предметів по з повтореннями на -зиваются сполуки, що містять  предметів (без урахування порядку проходження), причому кожен предмет може входити в з'єднання деяке число раз, не більше .

Завдання про число поєднань з повтореннями. Якщо є за  однакових предметів кожного з  різних типів, то скількома способами можна вибрати  з цих  предметів?

Число таких поєднань з повтореннями позначається  і обчислюється за формулою:

.

Розглянемо кілька прмере:

Приклад 18. У кондитерської є 10 сортів тістечок. Скількома способами можна купити 4 тістечка?

 тоді

приклад 19. У поштовому відділенні є в наявності 5 видів листівок «З святом 8 Березня». Скількома спосо- бами можна купити 10 вітальних листівок?

У цьому прикладі  тоді:

Приклад 20. Скількома способами можна вибрати 5 монет з 5 - ти двох рублевих монет і 5 - ти одне рублевих монет?

Це завдання про поєднаннях з двох по п'яти з повтореннями.

Зауваження. Як і для випадку розміщень з повтореннями, при обчисленні числа сполучень з повтореннями, не має значення, що більше  або .

Отже, ми розглянули основні комбінаторні задачі, які необхідні нам при обчисленні ймовірностей подій.

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

§ 1 ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ.

Одним з основних понять, якими оперує теорія

ймовірностей, є подія.

подією в теорії ймовірностей називається будь резуль- тат, який може статися в результаті деякого досвіду (випро- танія).

Всі спостережувані нами події можуть бути поділені на три види: достовірні, неможливі і випадкові.

достовірними називають події, які обов'язково про- вийдуть при виконанні певної сукупності умов.

Наприклад, достовірним є подія: «при киданні грального кубика випала цифра не більше 6».

неможливим називається подія, яке явно не відбудеться при виконанні певних умов.

Наприклад, неможливим є подія: «при киданні грального кубика випала цифра 8».

Випадковим (або можливим) називається подія, яке може відбутися або не відбутися в даних умовах.

Наприклад, в тому ж досвіді, випадковим є подія: «при киданні ігральньго кубика випала цифра 3».

Кожне випадкове подія залежить від дії багатьох слу чайних причин, причому неможливо врахувати вплив цих причин на результат (їх багато і закони їх дії непередбачуваний -ми). Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу передбачити наперед, чи відбудеться ця конкретна подія чи ні. Але, якщо розглядаються випадкові подію- ку, які можуть багаторазово спостерігатися в одних і тих же умовах (наприклад, багаторазове підкидання монети), тобто, якщо мова йде про масових однорідних події, То оказ -вается такі однорідні події, незалежно від їх конкретних ної природи, підпорядковані певним закономірностям, а саме імовірнісним закономірностям.

Отже, предметом теорії ймовірностей є изу -ченіевероятностних закономірностей масових одне -родних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підпорядковані масові од- нородности випадкові події дозволяє передбачити, як ці події будуть виникати. Можна, наприклад, передбачити з невеликою похибкою число появ «герба», якщо моне- та буде підкинута велике число раз.

Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в раз -Особисті галузях науки і техніки (теоретична фізика, тео рія надійності, теорія стрілянини, теорія помилок спостережень, загальна теорія зв'язку, геодезія, астрономія і т.д.)

Теорія ймовірностей служить також базою математичної і прикладної статистики, які, в свою чергу, використовуються при плануванні і організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, при контролі якості виробництв -ва і т.п.

Перші роботи, в яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма та ін. В 16 -17 столітті). Наступний етап розвитку теорії ймовірностей пов'язаний з ім'ям Бернуллі (1654 - 1705) Доведена їм теоре- ма «Закон великих чисел» була першим теоретичним обос- нованіе накопичених раніше фактів. Подальших успіхів те- орія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласа, Гауса, Пуассону і ін. Найбільш плідний період розвитку теорії ймовірності ностей пов'язаний з відомими іменами російських математиків, та- ких як Чебишев, Ляпунов, Марков (19 - 20 століття). У цей пери -од теорія ймовірностей стає суворої математичної на- укой.

§ 2 ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ,

АЛГЕБРА ПОДІЙ.

Будемо розрізняти елементарні (нерозкладних) події і складові події (або просто події).

приклад 1: Підкидання грального кубика 1 раз. Елемен -тарние події, позначимо їх  , Число очок, що випали на верхній межі (  ), Безліч всіх елементарних подій в даному досвіді  . Події нижчого рівня або просто події, можуть бути описані як подмно- дружність безлічі всіх елементарних подій. Наприклад, cо- буття А - «випало парне число очок» можна виразити на- дме чином .

приклад 2: Триразовий підкидання монети.

Нехай 1 - випав «герб», 0 - випала «цифра». Тоді безліч всіх елементарних подій:

.

Подія А - «при першому підкиданні випав герб» можна представити таким чином »:

.

приклад 3. Стрілянина по площині.

Якщо ми введемо на площині прямокутну систему коор -дінат  , То множнство елементарних подій (попадання в деяку точку площини) записується у вигляді:

.

Подія А - «попадання в коло одиничного радіуса» можемо записати у вигляді .

Отже, елементарні події - Це все мислимі результати досвіду або спостереження. Події можуть бути описані як під- безлічі безлічі всіх елементарних подій. Сукупність-ність всіх елементарних подій даного досвіду будемо називаються вать простором елементарних подій і позначати  Воно може бути кінцевим, як в Пріер 1 і 2, рахунковим (  ) Або нескінченним несчёт- ним, як в прикладі 3. Будь-яка підмножина іножества  називається подією.

сумою (або об'єднанням) Двох подій  називається подія, що складається з елементарних подій, входити дящих принаймні в одне з подій А або В.

наприклад:  = «Попадання в ціль при 1 - му пострілі»,  - «Попадання в ціль при 2 - му пострілі», тоді  - «Хоча б одне влучення в ціль».

Слід пам'ятати властивість: .




Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 4 сторінка | Ізосова Л. А., ІЗОСЕВ А. В. 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 1 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 2 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 3 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 4 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 5 сторінка | ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 6 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати