Головна

Вступ

  1. I. Вступ до проблеми: лінгвістичний і семіотичний підхід в семантиці
  2. III. Дидактичний введення вихідної «рамки» рефлексії
  3. Lt; II> Поетика сюжетів Введення
  4. А. Мейе «Введення в порівняє, вивчення і.-е. мов », 1-е рус. изд.
  5. ВСТУП
  6. Вступ
  7. Вступ

Предмет теорії ймовірностей. Спостережувані нами події (явища) можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові. вірогідним називають подія, яке обов'язково станеться, якщо буде здійснена певна сукупність умов S. Наприклад, якщо в посудині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20 °, то подія «вода в посудині перебуває в рідкому стані» є достовірне. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.

неможливим називають подія, яке явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов S. Наприклад, подія «вода в посудині знаходиться в твердому стані» явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.

випадковим називають подія, яке при здійсненні сукупності умов 5 може або відбутися, або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може впасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія «при киданні монети випав« герб »- випадкове. Кожне випадкове подія, зокрема випадання «герба», є наслідком дії дуже багатьох випадкових причин (в нашому прикладі: сила, з якою кинуто монета, форма монети і багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат всіх цих причин, оскільки число їх дуже велике і закони їх дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою завдання передбачити, станеться одиничне подія чи ні, - вона просто не в силах це зробити.

По-іншому йде справа, якщо розглядаються випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих же умов S, т. е. якщо мова йде про масові однорідних випадкових події. Виявляється, що досить велика кількість однорідних випадкових подій незалежно від їх конкретної природи підпорядковується певним закономірностям, а саме імовірнісним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.

Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підкоряються масові випадкові події, дозволяє передбачити, як ці події будуть протікати. Наприклад, хоча, як було вже сказано, не можна наперед визначити результат одного кидання монети, але можна передбачити, причому з невеликою похибкою, число появ «герба», якщо монета буде кинуто досить багато раз. При цьому передбачається, звичайно, що монету кидають в одних і тих же умовах.

Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки: в теорії надійності, теорії масового обслуговування, в теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, l теорії помилок спостережень, теорії автоматичного управління, загальної теорії зв'язку і в багатьох інших теоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить також для обґрунтування математичної і прикладної статистики, яка в свою чергу використовується при плануванні і організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, попереджувальному і приймальному контролі якості продукції та для багатьох інших цілей.

В останні роки методи теорії ймовірностей все ширше і ширше проникають в різні галузі науки і техніки, сприяючи їх прогресу.

Коротка історична довідка. Перші роботи, в яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірно стей, представляли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVI-XVII ст.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей пов'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654-1705). Доведена ним теорема, що отримала згодом назву «Закону великих чисел», була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів.

Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласа, Гауса, Пуассону і ін.

Новий, найбільш плідний період пов'язаний з іменами П. Л. Чебишева (1821-1894) і його учнів А. а. маркова (1856-1922) і А. м. Ляпунова (1857-1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її подальший розвиток зобов'язана в першу чергу російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн, В. І. Романовський, А. І. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, І. В. Смирнов та ін.). В даний премія провідна роль у створенні нових гілок теорії ймовірностей також належить радянським математикам.

комбінаторика - Розділ математики, який присвячений вирішенню завдань вибору і розташування елементів деякого (кінцевого) безлічі відповідно до заданого правилом, а так само підрахунку числа можливих конфігурацій. Загальні завдання перерахунку пов'язані з вибіркою деякого числа елементів із заданого базисного безлічі Х, що складається з n елементів (n-множини). Такі завдання корисно ділити на типи в залежності від того, як вибираються елементи: з повторенням або без повторення, з урахуванням порядку вибору або без нього.

Приклад 1. У мішку 2 типу цукерок А і В. Дитині дозволили взяти 2. Скількома способами він може взяти цукерки.

Можливі 4 різних уточнення. 1. Повторення можливі і порядок важливий. АА, АВ, ВА, ВВ. 2. Не можна брати однакові, але порядок важливий: АВ, ВА. 3. Повторення можливі, але порядок не має значення: АА, АВ, ВВ. 4. Не можна брати однакові і порядок не має значення: АВ.

Щоб розрізняти на рівні термінології тип конкретного завдання, введемо кілька визначень. Будь-яка підмножина Y потужності k базисного n-множини - вибірка обсягу k з n елементів або (n, k) -виборка. Вибірка називається впорядкованою, якщо порядок проходження елементів в ній вказано, т. Е. Дві вибірки, що розрізняються лише порядком проходження елементів, вважаються різними. В іншому випадку вибірка називається невпорядкованою (в прикладі 1, 2 - впорядковані вибірки, а 3,4 - немає).

· (n, k) -розміщенням без повторень називається впорядкована (n, k) -виборка, в якій елементи не можуть повторюватися.

· (n, k) -розміщенням з повтореннями називається впорядкована (n, k) -виборка, в якій елементи можуть повторюватися.

· (n, k) -поєднанням без повтореньназивається невпорядкована (n, k) -виборка, елементи якої не можуть повторюватися.

· (n, k) -поєднанням з повтореннями називається невпорядкована (n, k) -виборка, елементи якої можуть повторюватися.

число (n, k) -Розміщення Без повторень позначається  і визначається формулою:  . при n = k отримуємо число можливих упорядкування n-безлічі (число перестановок):

число (n, k) -Розміщення З повтореннями .

число (n, k) -Поєднання Без повторень позначається  і визначається формулою: .

число (n, k) -Поєднання З повтореннями одно .

   порядок істотний  Порядок не суттєвий
 Назва  число  Назва  число
 елементи повторюються  Розміщення з повторенням  Поєднання з повторенням
 Елементи не повторюються  Розміщення без повторення  Поєднання без повторення

приклад 2. Секрет замку. Всього 12 букв, секретне «слово» складається з 5 літер. Число різних кодів замку .

приклад 3. Знайти число можливих розподілів золотою, срібною та бронзових медалей у першості країни з футболу, якщо в ньому участвует16 команд.

Приклад 4. Скількома способами можна розбити на підгрупи з 4 чоловік 16 учасників шахового першості. .

приклад 5. Скільки різних варіантів можна отримати, кидаючи 5 гральних кісток?

Результат кидання 5 кісток можна розглядати як невпорядкований набір 5 об'єктів (для кожного з яких є 6 варіантів) з повтореннями, т. Е. Це (6,5) -Поєднання з повтореннями. За загальною формулою отримуємо загальне число варіантів: .




Інтуїтивні уявлення (Елемент, приналежність, рівність, інтуїтивний принцип об'ємності). | Підмножини (Включення, універсум, порожня множина, безліч всіх підмножин р (А)). | Операції над множинами (Об'єднання (сума), перетин, різниця, симетрична різниця, доповнення). | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Обчислення висловлювань (Семантика, синтаксис). | Якщо А, (А ® В) - тавтології, то тавтологією є В. | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Аксіоматичні ПОЛЕ дійсних чисел | СИСТЕМИ СЧІСЛЕНІНІЯ | Двійкова система числення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати