Головна

СИСТЕМИ СЧІСЛЕНІНІЯ

  1. Barebone-системи
  2. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  3. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  4. I. Загальна характеристика СИСТЕМИ ПІДГОТОВКИ СПОРТСМЕНІВ У ЗИМОВОМУ універсальний БОЮ
  5. I. Формування системи військової психології в Росії.
  6. II. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ. Дипольниммоментом СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЗАРЯДІВ
  7. III. Схеми вивчення гри як системи взаємозв'язків і взаємовідносини

Розглянемо теорему про розподіл натуральних чисел із залишком. У загальній теорії арифметики існує (див. Попередній пункт)

теорема. Для будь-яких натуральних чисел a и b, b ? 0, Існують (єдині) числа s и r такі, що a = sb + r, r < b. Якщо розглядати арифметику з 0, тоді r знаходиться в межах 0? r < b.

Доведення:

(Єдиність): Нехай існує два таких розкладання: a = s1b + r1 и a = sb + r, Тоді можна вважати, що r ? r1 і віднімаючи перше з другого матимемо:

0 = b (s - s1) + (R - r1) ? r - r1 = B (s1 - S),

оскільки (R - r1) ? 0 і r, r1 < b, то (R - r1) , з цього виходить що b (s - s1) = 0 і (R - r1) = 0, тоді r = r1 и s = s1.

(Існування): доказ з використанням математичної індукції по числу а при фіксованому b:

1) якщо a = 0, то 0 = 0b + 0. Теорема доведена;

2) нехай для a = n Теорема доведена, т. Е. n = sb + r и r < b. тоді n +1 = sb + r +1. якщо r +1 < b, То теорема доведена (з розкладання). якщо r +1 = b (r +1 не може бути більше b, Т. К. r < b), То (N +1) = sb + b = b (s +1) +0, Тоді теорема доведена, т. К. 0 .

Виходячи з того що b у нас було все-таки довільним, то Теорема в цілому доведена.

У арифметиці ця Теорема називається Теоремою про розподіл із залишком, де a- ділене, b - дільник, s - приватна, а r - залишок. Як правило, результат виходить при розподілі стовпчиком.

За допомогою теореми про розподіл із залишком можна довести наступну

теорему: нехай р - Фіксоване натуральне число і p > 1, Тоді для будь-якого а існують числа а0, а1, а2, ..., аn такі, що 0 ? ai < p (i = 0, ..., n) і а = а0р0 + а1р1 +а2р2 + ... + аnpn, При чому це розкладання єдине.

Доведення: (Доказ з використання математичної індукції по числу а):

1) Нехай a = 0, то 0 = 0р. Теорема доведена;

2) Припустимо, що для будь-яких чисел строго менших a теорема вірна. Доведемо її для a. нехай т задовольняє наступній умові: рт + 1 >> А ? рт, таке т завжди існує (бо знизу ряд рт обмежений 1, а зверху ряд рт не обмежений). Тоді по теоремі про розподіл із залишком матимемо такий вираз: a = = s рт + r, Т. К. s ? 0, r , Отже, для нього теорема вірна і ми отримуємо, що а = spm + а0р0 + а1р1 + а2р2 + ... + + аkpk. Для того, щоб Теорема була доведена необхідно показати, що k и s  (Теорема буде доведена оскільки деякі складові можуть бути рівні нулю):

а якщо s ? p, то т ? pт + 1, А т. До. a = s рт + r, тоа?рт + 1, Протиріччя з умовою;

б) нехай k ?m и ak ? 0, тоді akpk > pm, Що суперечить умові r m.

Таким чином, теорема доведена.

Для практичного знаходження числа a спочатку, виходячи з умови рт + 1 > А ? рт, Ділимо число a на рт (a/рт) Одержуваний залишок ділимо на рт-1 і т. д. до р1.

Ця Теорема дозволяє теоретично розглядати будь-яку позиційну систему числення. Підставою системи буде число р, А цифрами такої системи можуть бути всі числа від 0 до (р - 1), Або спеціально придумані значки. якщо р = 10, то ми отримуємо відому нам десяткову систему числення, де цифрами є значки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Якщо р = 6 - це шестерічная система числення, де цифр 6 і це значки 0, 1, 2, 3, 4, 5; а якщо р = 12, то в якості цифр можна взяти 0, ..., 9 і потім придумати ще два значка для заміни чисел 11 і 12. наприклад: порахуємо чому дорівнюватиме такий вираз 11 * 120 + 10 * 121 + 4 * 122 = 707. Число 707 в Дванадцяткова системі числення буде мати вигляд: 4ab(12), Де a замінює цифру 10, а b цифру 11. Розглянемо тепер запис числа 707 в вісімковій системі числення: 83 = 512, 84 = 2048, тому 84 > 707> 83. Тоді має місце, такий вираз: 707 = 1 * 83 + 195 = 1 * 83 + 3 * 82 +0 * 81 + 3 * 80. Таким чином, число 707 в вісімковій системі числення буде мати вигляд: 1303(8).

Все позиційні форми запису чисел виникли з рішень проблеми записи чисел. Цікавим чином назва чисел пов'язане з самими числами, але вже при великих числах ці назви прямо пов'язані з тим як вони записані.




ТЕОРІЯ МНОЖИН І ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ | Інтуїтивні уявлення (Елемент, приналежність, рівність, інтуїтивний принцип об'ємності). | Підмножини (Включення, універсум, порожня множина, безліч всіх підмножин р (А)). | Операції над множинами (Об'єднання (сума), перетин, різниця, симетрична різниця, доповнення). | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Обчислення висловлювань (Семантика, синтаксис). | Якщо А, (А ® В) - тавтології, то тавтологією є В. | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Аксіоматикою НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ | Вступ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати