На головну

Підмножини (Включення, універсум, порожня множина, безліч всіх підмножин р (А))

  1. Генеральна сукупність (ГС) - це множина всіх одиниць, що володіють рядом загальних характеристик, від яких дослідник бажає отримати необхідну інформацію.
  2. Якщо у матері дійсно не вистачає молока, існує безліч засобів, щоб збільшити його кількість.
  3. Класифікація випадкових подій. Безліч всіх результатів даного
  4. Безліч звичайних множин
  5. Он-еко-тан - особа, одного і того ж самого, який поширив Себе у безліч
  6. Визначення. Безліч дотичних в кожній точці даної області називається полем напрямків.

Якщо кожен елемент множини А є одночасно і елементом безлічі В, то А називають підмножиною множини В, і пишуть А I В. В разі, коли А I В, але А ? В, кажуть, що А є власне підмножина В, і позначають А I В.

Ясно, що: 1) А I А;

2) якщо А I В, В I С, то А I С;

3) якщо А I В, В I А, то А = В.

Потрібно розрізняти відносини приналежності (I) і включення (I). Якщо А = {а1, а2,, ..., Аn}, То а1 I А, але а1 E А, т. К. А1 не є безліччю, а значить і підмножиною А. Однак, якщо ввести в розгляд безліч А1, Що складається з одного елемента а1 , А1 = {А1}, То А1 I А чи {а1} I А.

Безліч, що не містить елементів, називається порожнім безліччюі позначається ?.

Наприклад, безліч дійсних коренів рівняння х 2 + 1 = 0 є порожнім безліччю. Цей простий приклад ілюструє доцільність введення поняття порожнього безлічі.

Порожня множина є підмножина будь-якого безлічі. Якщо визначити безліч С = {?}, то воно містить елемент - порожня множина.

Самі безлічі можуть ставати елементами інших множин. Якщо А = {а1, а2 }, В = {b1, b2 }, То D = {A, B} не містить в якості елементів а1 або b1 , Т. Е. А1 I D, але А I D.

Для безлічі {a, b} розглянемо всі його підмножини: {a}, {b}, {a, b} і ?. Тоді безліч {?, {a}, {b}, {a, b}} представляє з себе - "безліч всіх підмножин" вихідного безлічі {a, b}. Аналогічно, для будь-якого безлічі А можна визначити безліч всіх його підмножин S (A).

Безліч, елементами якого є всі можливі елементи всіх можливих безлічі, прийнято називати універсальним безліччю (універсумом)і позначати U. Таким чином, будь-яке безліч є підмножиною універсальної множини U.

Вправи.1. приведіть 2 - 3 приклади множин та їх деяких підмножин.

2. Визначте скільки елементів містить безліч S (A), якщо безліч А містить 0, 1, 2, 3, ..., n елементів.

Способи завдання множин (Інтуїтивний принцип абстракції А = {x / P (x)}, приклади).

Безлічі можуть задаватися різними способами. Можна просто перерахувати всі елементи множини, можна задати породжує процедуру, т. Е. Вказати правило, за яким з якихось об'єктів будуються елементи множини, можна вказати характеристичне властивість елементів даної множини, т. Е. Властивість, яким володіють елементи безлічі і тільки вони і т. д. У зв'язку з цим виникає проблема ефективного опису способів завдання множин. Її рішення зазвичай засноване на інтуїтивному понятті "форми від х". Під "формою від х" прийнято розуміти кінцеву послідовність, що складається з слів і символу х, таку, що якщо кожне входження символу х замінити одним і тим же ім'ям деякого предмета, то в результаті вийде справжнє чи хибне пропозицію. Наприклад, формами від х будуть пропозиції: "5 ділить х". "Х - родич Іванова". Навпаки, пропозиції "для всіх х х 2 - 4 = (х - 2) (х + +2) "або" існує таке х, що х> 0 "не є формами від х.

Позначимо форму від х через р (х), тоді можна сформулювати Інтуїтивний принцип абстракції.Будь-яка форма р (х) визначає деякий безліч А, а саме безліч тих і тільки тих предметів а, для яких р (а) - істинне речення.

Запис А = {x | P (x)} означає, що безліч А визначається формою р (х).

приклади. 1. {x | x - ціле позитивне число, менше 5} = {1,2,3,4}.

2. {X | x - літера російського алфавіту, що входить в слово "мама"} = {а, м}.

3. {x | x = 2n, n - натуральне число} - безліч парних натуральних чисел.

Вправа.Наведіть 2 - 3 власних прикладу.

 




ТЕОРІЯ МНОЖИН І ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Обчислення висловлювань (Семантика, синтаксис). | Якщо А, (А ® В) - тавтології, то тавтологією є В. | КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ | Аксіоматичні ПОЛЕ дійсних чисел | СИСТЕМИ СЧІСЛЕНІНІЯ | Двійкова система числення. | Аксіоматикою НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ | Вступ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати