На головну

Координатне уявлення векторів

  1. II. Початкове фундаментальне уявлення: діяльність - система
  2. А) Збір, впорядкування, уявлення матеріалу
  3. Бездоганна ПОДАННЯ
  4. В 4. Представлення результатів одноразових вимірювань
  5. Векторне подання коливань (векторна діаграма)
  6. Векторний добуток векторів
  7. Векторний добуток векторів

Нехай ми маємо прямокутну систему координат у просторі. Позначимо одиничні вектори (орти) осей Ox, Oy, Oz відповідно через  причому .

Розкладемо довільний вектор  тривимірного простору по ортам. Для цього побудуємо вектор  , Рівний вектору  . з точки Мопустимо перпендикуляр на площинухOу. З підстави цього перпендикуляра (точка А) Опустимо перпендикуляри на осі координат Ох и Оу і з'єднаємо точку А з початком О. на векторах и  побудуємо прямокутник ОАММ3, діагоналлю якого буде вектор  . З рис. 1.7 видно, що  або .


Мал. 1.7

вектори , ,  називаються складовими або компонентами вектора  , А їх величини |  | = Х, |  | = Y, |  | = Z координатами цього вектора.

Визначення 1.Проекції вектора на відповідні координатні осі називається його складовими або компонентами.

Визначення 2.Величини проекцій вектора на відповідні координатні осі називаються його координатами.

компоненти вектора  висловимо через його координати і одиничні вектори :  = Хi,  = Yj,  = Zk.

Підставляючи ці значення в рівність  і позначивши  через  отримаємо:

 (1.4.1)

Рівність (1.4.1) можна записати у вигляді:

 (1.4.2)

Зауваження 1.Рівні вектори мають однакові координати.

Зауваження 2.розкладання вектора  у вигляді (1.4.1) можливо тільки єдиним способом.

З єдиності розкладання (1.4.1) вектора  по ортам, слід, що якщо координати будь-яких двох векторів и  рівні, тобто  , То ці вектори теж рівні.

вектор  , Що йде від початку точки О до точки  називається радіус - вектором цієї точки, і його координати збігаються з відповідними координатами точки  (Рис. 1.8), Х = х, Y = y, Z = z.

 
 


Мал. 1.8

Тому  , або  . нехай  - Вектор, координати початку і кінця якого відомі и  . Тоді координати вектора  виражаються за формулами:

 (1.4.3)

З рис. 1.9 видно, що

 (1.4.4)


Мал. 1.9

Використовуючи властивості проекцій (п.1.2.), Маємо:  , І аналогічним чином знаходимо .

розкладання вектора  по ортам матиме такий вигляд:

 (1.4.5)

Трійка векторів  називається координатним базисом, А розкладання (1.4.1) вектора  називається розкладанням вектора  по базису .

Зауваження.розкладання вектора  на площині по базису  має вигляд .

1.5. Операції над векторами, заданими
 в координатної формі

Якщо вектори задані в координатної формі, то операції додавання і віднімання векторів, множення вектора на число можна замінити більш простими арифметичними операціями над координатами цих векторів за такими правилами.

Правило 1.При додаванні векторів їх однойменні координати складаються:

, ,

 (1.5.1)

Правило 2.Щоб відняти від вектора  вектор  , Потрібно відняти координати вектора  з відповідних координат вектора  , Тобто

 або  (1.5.2)

Правило 3. Щоб помножити вектор  на число  , Потрібно помножити на це число його координати, тобто якщо  , то .




Вектори в евклідовому просторі | Рішення. | проекція вектора | Скалярний добуток векторів, заданих координатами | Умови коллінеарності і перпендикулярності векторів | Векторний добуток двох векторів | Координатна форма запису векторного твори | Змішане (векторно - скалярний) добуток векторів | Властивості змішаного твори | Координатна форма запису змішаного твори |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати