На головну

Локальна та інтегральна граничні теореми Лапласа.

  1. Важливі виключення з теореми
  2. Чи можлива перемога тимчасова, локальна?
  3. Друге формулювання теореми Максвелла.
  4. Геометричні теореми в евклідових просторах
  5. Гладкий ГРАНИЧНІ калібру
  6. Єгипет і суміжні країни
  7. Закон Біо-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиції магнітних полів.

Якщо число випробувань п велике, то обчислення за формулою Бернуллі стають скрутними. Лаплас отримав важливу наближену формулу для ймовірності Рn(Т) появи події А точно т раз, якщо п досить велика кількість. Їм же отримана наближена формула і для суми виду .

Локальна гранична теорема Лапласа (Доказ см. В [4]). нехай р = Р (А) - ймовірність події А, причому 0

1. Тоді ймовірність того, що в умовах схеми Бернуллі подія А при п випробуваннях з'явиться точно т раз, виражається наближеною формулою Лапласа Рn(Т)»  , (9.16)

де q= 1p, .

Для функції j (x) Є таблиця (див. Додаток 1) її значень для позитивних значень х (Функція j (x) Парна).

Приклад 9.15.Імовірність поразки цілі стрільцем при одиночному пострілі дорівнює р = 0,2. Яка ймовірність того, що при 100 пострілах мета буде вражена рівно 20 разів?

Рішення. тут р = 0,2, q= 0,8, n= 100 і т= 20. Звідси =  = 4 і, отже, t= =  = 0. Враховуючи що  »0,40, з формули (9.16) отримуємо Р100(20) »0,40 ? ? = 0,1 (для отримання наближеного рівності  »0,40 можна використовувати калькулятор).

Перейдемо до інтегральної граничній теоремі Лапласа. Поставимо наступне питання, яка ймовірність того, що в умовах схеми Бернуллі подія А, має ймовірність Р (А) = p (0 <p<1), при n випробуваннях (як і колись число випробувань велике) з'явиться не менш k раз і не більше l раз. Цю шукану ймовірність позначимо через Рn(K, l).

Справедлива наступна наближена формула

Рn(K, l) »  , (9.17)

де xk= , xl=  . (9.18)

Це становить зміст інтегральної граничної теореми Лапласа.

введемо функцію

звану функцією Лапласа, або інтегралом ймовірностей. Очевидно, Ф (х) Є первісна для функції j (х). Так як j (х)> 0 в (- ?, + ?), то Ф (x) - Зростаюча функція в цьому інтервалі (див. Підрозд. 3.7, п. 1, теорема 3.4). На підставі формули Ньютона-Лейбніца (див. Підрозд. 4.4, п. 2) з формули (9.17)

Рn(K, l) »Ф (хl) - Ф (хk) (9.20)

це - інтегральна формула Лапласа.

Як відомо (див. Підрозд. 4.5, примітка), інтеграл  не береться до елементарних функціях. Тому для функції (9.19) складена таблиця (див. Додаток 2) її значень для позитивних значень х, так як Ф (0) = 0 і функція Ф (х) Непарна, Ф (-х) = =  = - Ф (х) (t = -z, dt =

= -dz).

Приклад 9.16.Імовірність того, що виріб не пройшло перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайдемо ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних виробів виявляться неперевіреними від 70 до 100 виробів.

Рішення. тут п = 400, k = 70, l= 100, р = 0,2, q = 0,8, тому в силу рівності (9.18) хk = -1,25, хl = 2,5 і згідно з формулою (9.20) маємо

Р400 (70, 100) »Ф (2,5)-Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.




Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. | Формула повної ймовірності. | Формула Бейеса. | випадкові величини | Математичне сподівання дискретної випадкової величини | Властивості математичного очікування дискретної випадкової величини. | Дисперсія випадкової величини | Середнє квадратичне відхилення. | Безперервні випадкові величини | Математичне сподівання і дисперсія неперервної випадкової величини. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати