загрузка...
загрузка...
На головну

Статечні ряди. Ряди Тейлора і Лорана

  1. Тимчасові ряди.
  2. Другорядні (додаток, означення і обставина).
  3. Другорядні техніки.
  4. Знакозмінні і Знакозмінні ряди. Поняття абсолютної і умовної збіжності. Знакозмінні ряди лейбніцевского типу
  5. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца збіжності Знакозмінні рядів. Абсолютна і умовна збіжність рядів.
  6. Ізомерія моносахаридів. Стереоізомерія. L- і Д- ряди. Діастереомери, енантіомери, Епімери. Значення окремих представників
  7. Осінні обряди.

Функціональні ряди виду  де  (Коефіцієнти ряду) і  (Центр ряду) - постійні,  змінна, називаються статечними рядами. Ясно, що якщо ми навчимося обчислювати область збіжності степеневого ряду

(З центром  ), То легко знайдемо і область збіжності вихідного ряду  Тому надалі, якщо не зазначено протилежне, будемо розглядати статечні ряди .

Теорема Абеля.Якщо статечної ряд сходиться в точці  то він сходиться абсолютно і в колі  У будь-якому замкнутому колі  зазначений ряд сходиться рівномірно.

Так само, як і в дійсному аналізі, тут вводиться поняття радіуса збіжності ряду.

Визначення 2. число  називається радіусом збіжності ряду (2), якщо всередині кола  цей ряд сходиться абсолютно, А поза замкнутого кола  він розходиться. При цьому коло  називається кругом збіжності ряду .

Зауважимо, що при  зазначений статечної ряд сходиться тільки в точці  а при  він сходиться при всіх комплексних  Наступні приклади показують, що ці випадки не виключаються:  Прикладом ряду з ненульовим кінцевим радіусом збіжності може служити геометрична прогресія  Зауважимо також, що на кордоні  кола збіжності степеневий ряд може як сходитися, так і розходитися. Наприклад, ряд  сходиться умовно в точці  і розходиться в точці

Тут так само, як і в дійсному аналізі має місце твердження.

теорема 1. Нехай виконано хоча б одна з таких умов:

 а) існує (кінцевий або нескінченний) межа

 б) існує (кінцевий або нескінченний) межа  (При цьому передбачається, що існує номер  такий, що  ).

 тоді число  радіус збіжності ряду .

нехай функція  має в точці  і деякої її околиці  похідні  Тоді цієї функції можна поставити у відповідність статечної ряд

Цей ряд називається поруч Тейлора, побудованим за функцією Виникають такі природні питання:

1) за яких умов на функцію  ряд  сходиться і яка область його збіжності?

2) за яких умов на функцію  ряд  сходиться саме до функції  по якій він будується?

На перше питання можна відповісти, застосовуючи до  ознаки збіжності статечних

рядів. Відповідь на друге запитання міститься в наступному твердженні.

теорема 2 (Про разложимости аналітичної функції в ряд Тейлора). нехай функція  аналітична в області  Тоді в будь-якому колі  що лежить в області  функція  розкладається в степеневий ряд

абсолютно сходиться в колі  Цей ряд необхідно є поруч Тейлора

для функції  т. е.

Таким чином, розкладання аналітичної функції в статечної ряд єдино.

Доведення. Візьмемо довільно точку  і опишемо коло  охоплює точку  Так як функція  аналітична в однозв'язної області  то для неї справедлива інтегральна формула Коші:

Перетворимо підінтегральний вираз наступним чином:

 [Виносимо за дужки вектор максимальної довжини  ] =

=  Так як  то геометрична прогресія

 розкладається в рівномірно сходиться в колі  статечної ряд

Тому

Підставляючи це в (4), будемо мати

З огляду на, що (контур  обходиться проти годинникової стрілки)

отримуємо твердження нашої теореми.

Для комплексних функцій мають місце стандартні розкладання в статечні ряди.

Таблиця 1. Розкладання основних елементарних функцій в статечні ряди

Лекція 8. Ізольовані особливі точки. Ряди Лорана для функцій, аналітичних в кільці

Спочатку введемо таке поняття.

Визначення 3. ряд виду

називаєтьсядвостороннім статечним рядом.

Ряд виду (5) сходиться в області, в якій сходяться одночасно ряди

Ряд (6) сходиться в області  , Т. Е. Поза замкнутого кола з центром в точці  і радіусу  , А ряд (7) - в колі  . Тому: якщо 1) , то ряд (5) розходиться скрізь; 2) якщо  , То ряд (5) сходиться в кільці .

приклад 1[5].Визначити область збіжності ряду

Рішення. Для першого з лав маємо  , Отже,  . Значить, перший ряд сходиться в області  . Для другого ряду маємо  . Радіус його збіжності  Значить, другий ряд сходиться в області  . Таким чином, вихідний двосторонній ряд ряд сходиться в кільці .

Раніше було доведено теорема 2, з якої випливає, що якщо функція  аналітична в  то в околиці будь-якої точки  вона не може бути представлена ??у вигляді двостороннього статечного ряду (5). Які ж функції представляються такими рядами? Ясно, що такі функції повинні втрачати аналітичність в точці  т. е. ця точка повинна бути особливою для  Дамо більш точне поняття особливої ??точки.

Визначення 4.Кажуть, що точка  є ізольованою особливою точкою для функції якщо сушествует проколота околиця  така, що функція  аналітична в  але в самій точці  вона або не визначена, або на аналітична.

Визначення 5.Ізольована особлива точка  функції  називається усуненою особливою точкою, якщо існує кінцева межа  якщо  то точка  називається полюсом. полюс  називається полюсом  го порядку, Якщо існує кінцева межа  І, нарешті, точка  називається істотно особливою точкою для  якщо не існує ні кінцевий, ні нескінченну границю

Неважко бачити, що якщо функція  аналітична в точці  то вона розкладається в степеневий ряд  абсолютно сходиться в колі з центром в точці  і з радіусом, рівним відстані від  до найближчої особливої ??точки  функції .

Наступне твердження встановлює умови разложимости функції в двосторонні статечні ряди.

Теорема Лорана.якщо функція  аналітична в кільці

то в будь-якій точці  цього кільця вона розкладається в двосторонній статечної ряд

абсолютно сходиться до  При цьому коефіцієнти ряду (8) обчислюються за формулами

де  будь-кусочно-гладкий замкнутий контур, що лежить в кільці  , Що охоплює точку  і обхідних проти годинникової стрілки.

Докази цього твердження засноване на застосуванні інтегральної формули Коші і проводиться за аналогією з доведенням теореми Тейлора.

Зауважимо, що ряд (8) називається поруч Лорана для функції При цьому його складова  що складається з негативних ступенів двочлена  називається його головною частиною, а складова  що складається з невід'ємних ступенів двочлена - правильної частиною ряду Лорана (8). На наступній лекції буде встановлено зв'язок типу ізольованою особливої ??точки функції  і розкладанням в околиці цієї точки в ряд Лорана функції  . Розглянемо приклади [6].

Приклад 2.розкласти функцію  в ряд Лорана в кільці .

Рішення.Треба уявити функцію у вигляді ряду  Перетворимо цю функцію:

.

Перші два доданків в правій частині (9) мають потрібний вид, тому що являють собою ступеня різниці  . Останні два доданків запишемо у вигляді: , .

Застосувавши формулу 1 таблиці 1, матимемо

.

дифференцированием по  знаходимо, що

.

Підставляючи знайдені розкладання в формулу (9), отримуємо уявлення функції  в кільці  у вигляді ряду Лорана:

.

Приклад 3.Розкласти в ряд Лорана функцію  в околиці .

Рішення.Використовуємо розкладання (див. Таблицю 1)  . Вважаючи в ньому  , Будемо мати .

Це розкладання справедливо для будь-якої точки  . В даному випадку "кільце" представляє собою всю комплексну площину з однієї викинутої точкою .

Приклад 4. Отримати різні розкладання в ряд Лорана функції  з урахуванням її особливих точок.

Рішення.функція  має дві особливі точки: и  . Отже, є три кільця з центром в точці  , В кожному з яких  є аналітичною: а) коло  ; б)  ; в)  - Зовнішність кола  . Знайдемо ряди Лорана для функції  в кожному з цих кілець. Уявімо попередньо функцію у вигляді суми найпростіших дробів:

.

а) Розкладання в колі  . Перетворимо (10) наступним чином:

.

Використовуючи формулу 1 з таблиці 1, отримуємо

.

Підставляючи ці розкладання в (11), приходимо до розкладання

Це розкладання є розкладання в ряд Тейлора функції .

б) Розкладання в кільці  . ряд  для функції  залишається сходящимся в цьому кільці, так як  . ряд  для функції  розходиться для  . Тому перетворимо  наступним чином:

.

Застосовуючи формулу 1 таблиці 1, отримуємо розкладання

.

Цей ряд сходиться, якщо  , Т. Е. При  . Підставляючи знайдені розкладання отримаємо, що

.

в) Розкладання для  . ряд  для функції  при  розходиться, а ряд  для функції  сходиться, так як, якщо  , То і поготів  . функцію  представимо в такому вигляді:

.

Використовуючи формулу 1 таблиці 1, отримуємо, що

.

Приклад 4.Розкласти в ряд Лорана функцію  в околиці її особливих точок.

Особливі точки функції: .

а) Розкладання  в околиці точки  , Т. Е. В кільці  . Уявімо функцію  у вигляді суми найпростіших дробів:  . Праву частину перетворимо так:  . Застосовуючи розкладання 7), в якому  замінимо на -  , отримаємо  або .

б) Розкладання  в околиці точки  , Т. Е. В кільці  . маємо

.



[1] Тут відрізок може бути замінений на проміжки  причому  можуть бути рівними

[2] Функції и  називають ще коефіцієнтами рівняння (5).

[3] Малюнки взяті з http://www.bestreferat.ru/referat-110504.html

[4] Очевидно, що

[5] Див. Навчальний посібник "Гостра О. в. Теорія функцій комплексного переменного.- Оренбург, 2008".

[6] Див. Навчальний посібник "Гостра О. в. Теорія функцій комплексного переменного.- Оренбург, 2008".




Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь | Метод Ейлера побудови спільного рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння | Побудова загального рішення однорідного диференціального рівняння в разі кратних коренів характеристичного рівняння | Алгоритм 1. | Побудова загального рішення неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод підбору приватного рішення неоднорідного рівняння | Витяг кореня го ступеня з комплексного числа. Безлічі в комплексній площині | Межа і неперервність функції комплексної змінної | Похідна функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. аналітичність функції | Геометричний сенс модуля і аргументу похідної | Теорема Коші для однозв'язної області і многосвязной області. Інтегральна формула Коші |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати