На головну

Первісна функції комплексних змінних

  1. F52.3 Организмическая дисфункції
  2. IX. Зворотні тригонометричні функції
  3. Quot; 2. Цілі, завдання та функції Товариства
  4. VIII Тригонометричні функції.
  5. А) Основні психофізичні функції
  6. Автосумма - приклад найпростішої функції
  7. Алгоритм знаходження екстремумів функції за допомогою другого достатньої умови екстремуму.

функція  називається первісної функції  в області в області  якщо  диференційована в и

Теорема 1.Якщо однозначна функція  диференційована в однозв'язної області  то вона має первісну в цій області. Однією з первісних є інтеграл  де  будь-кусочно-гладкий шлях, що з'єднує фіксовану точку  з поточною крапкою  . Всі інші первісні мають вигляд  де  довільна комплексна постійна.

Доказ цієї теореми проводиться так само, як і в дійсному аналізі. Використовуючи цю теорему, неважко довести наступні твердження.

1. Якщо функція  аналітична в однозв'язної області и  її первісна в  , То справедлива формула Ньютона-Лейбніца

2. якщо функція  аналітична в однозв'язної області и  її первісна в  , То справедлива формула інтегрування частинами

Заміна змінних в інтеграли від функції комплексної змінної аналогічна нагоди функції дійсної змінної. Нехай аналітична функція  відображає взаємно однозначно кусочно-гладкий контур  в площині  на контур  в площині . тоді

Зауваження 2.Інтеграли від елементарних однозначних функцій в однозв''язних областях обчислюються за тими ж формулами, що і в дійсному аналізі. Якщо ж область  неодносвязна, то це правило може порушуватися. Для обчислення інтеграла від багатозначної функції вказується, яка саме однозначна гілка її береться. Це досягається завданням значення багатозначної функції в деякій точці контуру інтегрування. Якщо контур інтегрування  замкнутий, то початковою точкою  шляху інтегрування вважається та, в якій задано значення підінтегральної функції. Розглянемо приклади (приклад взято з посібника Гостра О. В. "Теорія функцій комплексної змінної" .- Оренбург, 2008).

Приклад 3.обчислити  по кривій  , Що з'єднує точки .

Рішення. для параболи  маємо ,  . За формулою (48) .

Приклад 4.обчислити , де  - Дуга окружності , .

Рішення. покладемо ,  . тоді  , І по формулі (49) знаходимо:

.

Приклад 5.обчислити .

Рішення. Так як підінтегральна функція  аналітична всюди, то по (50) знайдемо: .

приклад 6. обчислити .

Рішення. функції и  аналітичне всюди. За формулою (51) отримаємо:

.

приклад 7. обчислити , .

Рішення. функція є багатозначною: , ;  . умовою  задовольняє та однозначна гілка цієї функції, для якої  . Дійсно, при  (І так як )  . вважаючи тепер ,  на кривій  , знаходимо ,  і, отже, .

Лекція 8. Ряди в комплексній області. Статечні ряди. Теорема Абеля. Ряди Тейлора і Лорана

Нехай дана функціональна послідовність  що складається з комплексних функцій (  Тоді формальна сума нескінченного числа доданків:

називається поруч, побудованим за вказаною функціональної послідовності. Зокрема, якщо всі  то ряд буде числовим. При цьому  загальний член ряду (1), а  його  я часткова сума. безліч

 {Усе  мають сенс}

називається областю визначення ряду (1).

Визначення 1. Кажуть, що ряд (1) сходиться в точці  до суми  якщо існує кінцева межа  його часткових сум. Це еквівалентно висловом  Якщо тут номер  не залежить від  (Тобто  ), То говорять, що ряд (1) сходиться рівномірно по  (Або рівномірно на безлічі ).

Це визначення фактично не відрізняється від аналогічного визначення в дійсному аналізі. Тому тут також справедливі наступні твердження.

1. Якщо ряд (1) сходиться в точці  , То його загальний член  при

2. Якщо "модульний ряд"  сходиться, то сходиться і сам ряд (1) (в цьому випадку говорять, що ряд (1) сходиться абсолютно, якщо ряд (1) сходиться, а його "модульний ряд" розходиться, то кажуть, що (1) сходиться умовно).

Для знаходження області абсолютної збіжності ряду (1) і області його рівномірної збіжності треба застосувати відомі ознаки збіжності (Даламбера, Коші, інтегральний ознака, ознака Вейєрштрасса) до дійсного знакоположітельному ряду  При цьому всі властивості рівномірно сходяться дійсних рядів лав переносяться і на комплексні ряди. Ці властивості такі.

3. Якщо ряд (1) складається з безперервних на безлічі  доданків  і сходиться до суми  рівномірно на безлічі  , То його сума  неперервна на .

4. Якщо ряд (1) сходиться рівномірно на обмеженою кусочно- гладкої кривої  і всі його члени безперервні на  то ряд (1) можна інтегрувати на  тобто

5. Якщо всі члени ряду (1) аналітичне в обмеженою однозв'язної області  і ряд (1) сходиться рівномірно в замкнутій області  то його сума  аналітична в  причому

а ряд з похідних буде сходитися рівномірно по

 




Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Лінійна незалежність комплексних рішень | Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь | Метод Ейлера побудови спільного рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння | Побудова загального рішення однорідного диференціального рівняння в разі кратних коренів характеристичного рівняння | Алгоритм 1. | Побудова загального рішення неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод підбору приватного рішення неоднорідного рівняння | Витяг кореня го ступеня з комплексного числа. Безлічі в комплексній площині | Межа і неперервність функції комплексної змінної | Похідна функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. аналітичність функції | Геометричний сенс модуля і аргументу похідної |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати