На головну

Витяг кореня го ступеня з комплексного числа. Безлічі в комплексній площині

  1. II міського Фестивалю громадських ініціатив (витяг)
  2. III. Ступені порівняння прикметників і прислівників, порядок слів в англійському реченні, типи питань.
  3. IX. Вимовте слова, дотримуючись відмінність між звуками за ступенем відкритості.
  4. Алгоритм комплексної оцінки якості продукції
  5. Аналіз лінійних ланцюгів гармонійного струму з використанням комплексного перетворення (методом комплексних амплітуд)
  6. Аналіз загального рівняння площини і побудова площин
  7. Аналіз стійкості системи по розташуванню коренів характеристичного рівняння на комплексній площині

Рівність (1) називається формулою Муавра. Використовуючи його, можна вивести формулу добування кореня  го ступеня з комплексного числа. Однак для цього треба ввести спочатку поняття кореня.

Визначення 1. коренем  го ступеня з комплексного числа  називається таке комплексне число  я ступінь якого дорівнює  позначення:  Таким чином,

нехай  Маємо (при )

значить,  змінюючи тут  бачимо, що різні значення кореня  го ступеня виходять при  подальша зміна  привело б до вже отриманих значень  Якщо ж  то, очевидно,  Ми довели наступний результат.

Теорема 1. якщо  то корінь  має рівно  різних значень:  якщо  то  має тільки одне значення, рівне нулю.

наприклад,

Наведемо приклади найпростіших множин точок на комплексній площині:

а)  - Коло з центром в точці  радіусом ;

б)  - Відкритий круг з центром в точці  радіусом ;

в)  - Зовнішність відкритого кола з центром в точці  радіусом ;

г)  - Відкрите кільце з центром в точці ;

д)  - Промінь з початком в точці  , Що йде під кутом  до позитивного напрямку дійсної осі;

е)  - Внутрішність необмеженого відкритого сектора з вершиною в точці  і кутом ;

ж)  - Пряма, паралельна уявної осі, що проходить через точку ;

з)  - Пряма, паралельна дійсної осі, що проходить через точку

і)  вертикальна смуга між прямими и

к)  горизонтальна смуга між прямими и

 Рекомендуємо зробити малюнки всіх перерахованих множин. Як вправа спробуйте записати аналітично (у вигляді рівнянь або нерівностей) наведені нижче безлічі на комплексній площині [3]

Мал. 2

Поняття околиці точки вводиться також, як і в дійсному аналізі.

Визначення 2.  околицею точки називається відкритий круг

з центром в точці  радіусу. проколеної  околицею точки  називається безліч

Визначення 3. Крапка  називається внутрішньою точкою безлічі  якщо вона входить в  разом з деякою своєї околицею. Якщо всі крапки безлічі  внутрішні, то  називається відкритим безліччю.

Визначення 4. Крапка  називається граничною точкою безлічі  якщо в будь-який околиці цієї точки є як точки, що належать  так і точки, які не належать  Безліч всіх граничних точок  утворює кордон  позначення:

Визначення 5. безліч  називається зв'язковим, Якщо будь-які дві його точки можна з'єднати безперервної кривої, не виходячи з  безліч  називається одинзв'язного, якщо будь-який замкнутий контур, який лежить в  можна стягнути в точку, не виходячи з  І, нарешті, безліч  називається  зв'язковим, якщо його межа  складається з  попарно не перетинаються між собою замкнутих контурів.

Визначення 6. Будь-яке відкрите зв'язне безліч називається областю. область  називається обмеженою, Якщо існує коло, що охоплює область  В іншому випадку область  називається не обмеженої.

нехай и  дві області на комплексній площині  причому  знаходиться в площині а  в площині

Визначення 7. Кажуть, що задана функція  відображає область  в область  якщо кожному числу  поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел  за законом  При цьому  називається областю визначення функції  якщо кожному  поставлено у відповідність єдине число  то кажуть, що функція однозначна; в іншому випадку функція багатозначна. функція називається однолістной в області  якщо

Наприклад, функція  однозначна, але не однолістних, а функція  Тризначна. функція  однозначна і однолістних.

Оскільки кожне комплексне число цілком визначається своєї дійсної і уявної частиною, то функцію  комплексної змінної можна записати у вигляді

Наприклад, функцію  можна записати в зазначеному вигляді, якщо в ній виділити дійсну і уявну частини:  тут

Приватні типи комплексних функцій:

а) комплексна послідовність:

б) комплексна функція дійсного аргументу:

З останньою функцією ми зустрічалися в розділі 4 при розгляді комплексних рішень диференціальних рівнянь. Такі функції часто використовуються при завданні кривих в комплексній площині. Наприклад, рівняння  описує рівняння кола в площині  радіусу  і з центром в точці




Властивості диференціального оператора. теорема Коші | Лінійна залежність і лінійна незалежність системи функцій. Вронскіан. Дослідження лінійної незалежності за допомогою вронскіан | Структура загального рішення однорідного диференціального рівняння | Структура загального рішення неоднорідного рівняння. Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Лінійна незалежність комплексних рішень | Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь | Метод Ейлера побудови спільного рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння | Побудова загального рішення однорідного диференціального рівняння в разі кратних коренів характеристичного рівняння | Алгоритм 1. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати