На головну

Побудова загального рішення однорідного диференціального рівняння в разі кратних коренів характеристичного рівняння

  1. Excel для вирішення прикладних завдань
  2. II. ЗАВДАННЯ аеродромного ПОЖЕЖНО-РЯТУВАЛЬНОЇ СЛУЖБИ В РАЗІ ВІЙНИ
  3. II. Побудова карти гідроізогіпс
  4. III. Винесення рішення по справі про податкове правопорушення.
  5. III. Завдання з рішеннями
  6. IV. Міністерські (урядові) рішення і декларації.
  7. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки

Нагадаємо спочатку, що корінь  характеристичного многочлена  називається коренем кратності якщо

Корисно помітити, що якщо поліном  має  різних коренів (  - Ступінь многочлена  ), То всі вони мають кратність  Одноразові коріння називають ще простими корінням .

Записавши для многочлена  формулу Тейлора

(Залишковий член його дорівнює тотожно нулю), отримаємо з урахуванням рівності (6), що якщо  - Корінь кратності  , то  представляється у вигляді

де  - Многочлен ступеня  такий, що  Очевидно, вірно і зворотне: якщо  представляється у вигляді (7), де  то  --- Корінь кратності  многочлена

Побудови фундаментальної системи рішень в разі кратних коренів характеристичного рівняння  предпошлем кілька допоміжних тверджень.

 якщо  - Диференційний оператор з постійними коефіцієнтами  то має місце формула

Дійсно, по (2) маємо  Диференціюючи це тотожність по  і з огляду на, що оператори и  перестановки при застосуванні їх до нескінченно диференціюється по и  функції  , Будемо мати

Таким чином, справедливо тотожність (8).

 нехай  - Корінь кратності  характеристичного многочлена  рівняння (21.26) з постійними коефіцієнтами  тоді  функцій

лінійно незалежні на будь-якому відрізку  і є рішеннями рівняння (1).

Доведення. нехай  - Будь-яке натуральне число, яке задовольняє нерівності  . згідно  має місце тотожність

де  (Див.  ). маємо

Вважаючи в останньому тотожність  , Будемо мати

Це означає, що функції (9) є рішеннями рівняння (1). Ці функції лінійно незалежні на будь-якому відрізку  (Див. Твердження  попередньої лекції). властивість  доведено.

якщо  - Комплексний корінь кратності  рівняння  з постійними і дійсними коефіцієнтами  , То відокремлюючи в (9) дійсні та уявні частини, отримуємо  лінійно незалежних дійсних рішень

З цього факту і попередніх тверджень випливає наступний алгоритм побудови фундаментальної системи рішень однорідного рівняння (1) з постійними і дійсними коефіцієнтами .




Лінійні диференціальні рівняння. Метод варіації довільної сталої | Завдання Коші. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Загальне рішення і загальний інтеграл | Рівняння, що допускають зниження порядку | Властивості диференціального оператора. теорема Коші | Лінійна залежність і лінійна незалежність системи функцій. Вронскіан. Дослідження лінійної незалежності за допомогою вронскіан | Структура загального рішення однорідного диференціального рівняння | Структура загального рішення неоднорідного рівняння. Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Лінійна незалежність комплексних рішень | Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати