На головну

Структура загального рішення однорідного диференціального рівняння

  1. A. Структура комерційних листів
  2. Excel для вирішення прикладних завдань
  3. II. СТРУКТУРА сучасних комп'ютерів
  4. III. Винесення рішення по справі про податкове правопорушення.
  5. III. Завдання з рішеннями
  6. III. Структура і особливості багаторічної підготовки спортсменів
  7. III. структура складної захисту від подвійного свідомості

Розглянемо однорідне лінійне диференціальне рівняння

Доведемо наступний важливий результат.

Теорема 5. нехай функції  є рішеннями однорідного рівняння (5) з безперервними на відрізку  коефіцієнтами  тоді  лінійно незалежні на відрізку  в тому і тільки в тому випадку, коли вронскиан  цих функцій не дорівнює нулю в жодній точці відрізка

Доведення.Достатність випливає з слідства 1. Доведемо необхідність. нехай рішення  рівняння (5) лінійно незалежні на відрізку  Покажемо, що тоді вронскиан не звертається до нуль ні в одній точці відрізка  Припустимо гидке, т. Е. Що існує точка  така, що вронскиан  звертається в нуль в цій точці:

Тоді стовпчики цього визначника лінійно залежні, тобто. Е. Існують числа  нерівні нулю одночасно, такі, що

За допомогою зазначених чисел побудуємо функцію  . оскільки  рішення однорідного рівняння (5), то з лінійності диференціального оператора  випливає, що

Це означає, що функція  є рішенням рівняння (5). З (6) випливає, що ця функція задовольняє нульовим початковим умовам, т. Е.

Але таким же початковим умовам задовольняє і тривіальне рішення  цього рівняння. В силу єдиності рішення (див. Теорему 1) функції и  збігаються на відрізку  і значить  і значить

Оскільки тут не все числа  дорівнюють нулю, то останнім тотожність означає, що функції  лінійно залежні на відрізку  . Ми отримали протиріччя, яке показує, що наше припущення  не вірно. Отже, вронскиан не звертається до нуль ні в одній точці відрізка  Теорема доведена.

З теореми 4 і доведення теореми 5 випливають такі властивості вронскіан  системи рішень  лінійного однорідного диференціального рівняння (5) з безперервними на відрізку  коефіцієнтами

 якщо вронскиан  звертається в нуль в деякій точці  відрізка  то він тотожно дорівнює нулю на всьому відрізку  (Т.e.

 якщо вронскиан  не дорівнює нулю хоча б в одній точці  відрізка  , То він не дорівнює нулю і на всьому відрізку

властивості и  легко вбачаються також з формули

званої формулою Остроградського-Ліувілля. тут  - Коефіцієнт при похідній  в рівнянні (5),  - Довільна фіксована точка відрізка

Позначимо тепер через  безліч всіх рішень  однорідного рівняння (5). Яка структура безлічі  ? По-перше, воно є лінійним простором. Дійсно, якщо и  два довільних елемента безлічі  то виконуються тотожності  а значить для довільних чисел и  (В силу лінійності оператора  ) Має місце тотожність

Це тотожність показує, що будь-яка лінійна комбінація елементів безлічі  належить  (Т. Е. Є рішенням рівняння (5)). отже,  --- Лінійний простір.

З лінійної алгебри відомо, що якщо лінійне простір  Кінцевомірними, то в ньому можна виділити базис, т. е. таку впорядковану систему елементів  яка має властивості:

а) система  лінійно незалежна;

б) яким би не був елемент  , Існують числа  такі, що

При цьому числа  називаються координатами елемента  в базисі  (Показується, що координати елемента в даному базисі єдині).

В просторі  також можна виділити базис. У разі диференціальних рівнянь (а також в разі будь-якої лінійної системи рівнянь) базис простору рішень прийнято називати фундаментальною системою рішень. Ми повернемося до цього терміну трохи пізніше і визначимо його більш точно. існування базису в  встановлюється наступною теоремою.

Теорема 6 (про структуру спільного рішення однорідного рівняння). Якщо в рівнянні (5) всі коефіцієнти  безупинні на відрізку  , То для нього існують  лінійно незалежних на відрізку  рішень (  - Порядок рівняння (5)). При цьому будь-яке інше рішення рівняння (5) є лінійною комбінацією зазначених лінійно незалежних рішень  , Т. Е. Загальне рішення рівняння (5) описується формулою

де  --- Довільні постійні.

Доведення. Покажемо спочатку, що для рівняння (5) існують  лінійно незалежних на відрізку  рішень. Візьмемо довільну постійну матрицю  з визначником  і зі стовпцями  Так що матриця  НЕ виродилися і має порядок  . Кожен стовпець цієї матриці будемо використовувати в якості початкової точки для задачі Коші для рівняння (21.5). отримаємо  задач Коші:

Кожна з цих завдань (в силу безперервності коефіцієнтів  ) Має єдине рішення. позначимо через  вирішення цих завдань відповідно. Вронскіан в точці  цих рішень:

збігається з визначником  матриці  , І тому не дорівнює нулю. Звідси випливає, що рішення  лінійно незалежні на відрізку  Існування таких рішень доведено (їх можна навіть побудувати безліч, вибираючи довільно матрицю с  ). Покажемо тепер, що (8) - загальний розв'язок рівняння (5).

При будь-яких значеннях постійних  функція (8) є рішенням рівняння (5), так як простір  рішень рівняння (5) є лінійним простором. нехай тепер  - Рішення довільній задачі Коші

де  Покажемо, що існують значення постійних  такі, що функція  збігається з рішенням  задачі Коші (9). Підпорядковуючи (8) початкових умов (9), отримуємо рівності

Так як рішення  лінійно незалежні на відрізку  то їх вронскиан  не дорівнює нулю в довільній точці відрізка  . Визначник системи (10) збігається з вронскіаном  , І значить він не дорівнює нулю. Але тоді система рівнянь (10) має єдине рішення  При цьому функція  будучи рішенням рівняння (5), задовольняє і початкових умов (9) (в силу вибору чисел  ). Отже, функція (8) є загальним розв'язком рівняння (5). Теорема доведена.

З цієї теореми випливає, що будь-яка система з  лінійно незалежних рішень  рівняння (5) порядку  утворює базис (фундаментальну систему рішень (див. нижче)) в просторі .

Визначення 3. Будь-яка впорядкована система з  лінійно незалежних на відрізку  рішень  рівняння (5) (  -го порядку) називається фундаментальною системою рішень цього рівняння (або базисом його рішень).

Отже, простір  рішень однорідного рівняння (5) має розмірність  . На наступній лекції буде розглянуто неоднорідне рівняння і вивчена структура його загального рішення.

Лекція 4. Загальне рішення неоднорідного рівняння. Метод варіації довільних сталих Лагранжа. Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної системи рішень

Займемося тепер неоднорідним рівнянням і встановимо властивості його рішень.




загальні поняття | Диференціальні рівняння із перемінними. однорідні рівняння | Лінійні диференціальні рівняння. Метод варіації довільної сталої | Завдання Коші. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Загальне рішення і загальний інтеграл | Рівняння, що допускають зниження порядку | Властивості диференціального оператора. теорема Коші | Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Лінійна незалежність комплексних рішень | Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь | Метод Ейлера побудови спільного рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати