Головна

Диференціальні рівняння із перемінними. однорідні рівняння

  1. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки
  2. VIII. Іонні рівняння реакцій
  3. Аналіз загального рівняння площини і побудова площин
  4. Аналіз рівняння теплового балансу
  5. Аналіз стійкості системи по розташуванню коренів характеристичного рівняння на комплексній площині
  6. В поодиноких випадках наступ багатьох явищ заздалегідь передбачити не можна, але якщо розглядати їх як масові, однорідні явища, то виявляються певні закономірності.
  7. Внутрішні зусилля при згині. диференціальні залежності

Наведемо тепер аналітичні методи вирішення деяких диференціальних рівнянь.

1. Рівняння з розділеними змінними:

Ясно, що загальний інтеграл цього рівняння може бути отримано інтегруванням обох частин (функції и  безупинні в своїх областях визначення):

Відзначимо, що тут часто замість визначених інтегралів пишуть невизначені.

2. Рівняння з відокремлюваними змінними:

(Тут перед диференціалами стоять твори функцій з розділеними змінними).

Припускаючи, що функції  безупинні в своїх областях визначення, розділимо обидві частини рівняння (4) на твір  матимемо

Отримано рівняння з розділеними змінними. Інтегруючи його, одержимо загальний інтеграл

Однак це вірно в разі, коли  випадки  або  треба розглядати окремо. Якщо при цьому будуть отримані рішення рівняння (4), то їх треба додати до вже отриманих.

Приклад 2.Вирішити рівняння

Рішення. Поділяємо змінні, поділивши обидві частини рівняння на твір

і інтегруємо отримане рівняння:

Розглядаємо окремо випадок  при  вихідне рівняння звертається в тотожність, значить,  - Рішення. Воно може бути отримано з  при  функція  також задовольняє даній рівняння. Однак вона не може бути отримана з  . Отже, рішеннями вихідного рівняння є сукупність функцій

3. однорідні рівняння:

Такі рівняння приводяться до рівняння з відокремлюваними змінної заміною  де  нова невідома функція. Дійсно, диференціюючи заміну і підставляючи її в початкове рівняння, матимемо

Зауважимо, що до однорідних наводяться рівняння виду

У першому випадку треба розділити чисельник і знаменник входить під знак функції дробу на  у другому випадку зробити заміну змінних  де  рішення системи рівнянь

Приклад 3.Вирішити рівняння

Рішення.Знайдемо рішення системи  Робимо заміну змінних  Замість вихідного отримаємо наступне рівняння:

 jj

Це рівняння є однорідним, тому робимо заміну  В результаті отримаємо рівняння  вирішуючи яке методом поділу змінних, матимемо

Отримано загальний інтеграл цього рівняння.

Лекція 2. Лінійні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищого порядку. Завдання Коші. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Загальне рішення і загальний інтеграл. Методи зниження порядку диференціального рівняння

Найбільш часто зустрічаються лінійні диференціальні рівняння. Так називаються рівняння, у яких права частина лінійна щодо невідомої функції. Перейдемо до їх розгляду.




Завдання Коші. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Загальне рішення і загальний інтеграл | Рівняння, що допускають зниження порядку | Властивості диференціального оператора. теорема Коші | Лінійна залежність і лінійна незалежність системи функцій. Вронскіан. Дослідження лінійної незалежності за допомогою вронскіан | Структура загального рішення однорідного диференціального рівняння | Структура загального рішення неоднорідного рівняння. Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Метод варіації довільних сталих Лагранжа | Комплексні рішення диференціальних рівнянь. Лінійна незалежність комплексних рішень | Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера і метод підбору обчислення приватних рішень неоднорідних рівнянь | Метод Ейлера побудови спільного рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати