загрузка...
загрузка...
На головну

Глава 10. Дотичні площини.

  1. Бібліографічний список по всім главам
  2. У Цивільному кодексі України (глава 35) виділяється два види договору найму. У теорії їх називають комерційний і соціальний.
  3. В Глава 1. Емоційне реагування
  4. В Глава 12. Характеристика різних почуттів
  5. Вальрас, Леон (1834-1910) - видатний швейцарський економіст, засновник і глава «Лозаннській» школи маржиналізму, творець теоретичної моделі загальної економічної рівноваги.
  6. Вступна глава
  7. Вступна глава

Побудова площині, дотичній до кривої поверхні.

площиною, дотичній до поверхні, називається площина, яка визначається двома прямими, дотичними до двох пересічних лініях, що належить цій поверхні.

Візьмемо відсік деякої кінетичної поверхні Ф і на ній точку А. (рисунок 10.1)

малюнок 10.1

Через точку А проведемо на поверхню дві будь-які криві f1 і f2. До цих кривих в точці А побудуємо дотичні t1 і t2. Площина, утворена цими дотичними і називається дотичній площиною Q до поверхні Ф в точці А.

У той же час через точку А поверхні проходить безліч кривих, кожна з яких має свою дотичну. Отже, дотична площину є геометричним місцем всіх дотичних, що проходять через дану точку поверхні.

Введемо ще одне поняття - нормаль.

Пряма n, що проходить через точку дотику А і перпендикулярна дотичній площині Q , називається нормаллю до поверхні. Звідси нормальне перетин поверхні - це перетин площиною, що проходить через нормаль. Для побудови нормалі на епюрі використовують умова перпендикулярності прямої і площини (див. Гл.?).

Якщо в заданій точці поверхні можна побудувати єдину дотичну, то таку точку називають звичайної.

Якщо в точці можна побудувати кілька дотичних, то таку точку називають особливої. Особливими точками є вершина конічної поверхні і точка на ребрі повернення.

Розглянемо площині дотичні до поверхні в звичайних точках.

Залежно від виду поверхні площину може стосуватися поверхні в одній точці, по лінії (прямої або плоскої кривої) або, торкаючись, може перетинати поверхню по деякій лінії. Кожна з цих точок має свою назву.

Якщо дотична площину має з поверхнею тільки одну спільну точку, то все лінії поверхні, пересічні в цій точці, розташовані по одну сторону від дотичної площини. Таку точку називають еліптичної. Поверхні, у яких всі крапки еліптичні, є опуклими криволінійними поверхнями. До них відносяться сфера, тор, еліпсоїд, параболоїд. (Точка А на рис. 10.1, 10.2)

Якщо дотична площину має з поверхнею загальну пряму або плоску криву лінію, то точки, що належать цій лінії, називаються параболічними. Такі точки мають циліндр, конус, торс (дотична), тор (дотична окружність m1). (Рис. 10.2)

малюнок 10.2

Якщо дотична площину має з поверхнею загальну точку, але при цьому перетинає поверхню по двох лініях, то таку точку називають гіперболічної. Отже, гіперболічна точка належить лінії, по якій дотична площина перетинає поверхню. Кожен відсік поверхні, всі точки якої є гіперболічними, мають седлообразную форму (Гвинтові поверхні, коса площину). У однополосного гиперболоида (рисунок 10.3) дотична площину Р в точці А перетинає поверхню по двом прямим m и n .

малюнок 10.3

Гелікоїд перетинаються дотичній площиною по прямій і кривій, а тор по двом кривим. І взагалі, тор є унікальною поверхнею, так як на цій поверхні є всі три види точок дотику А, В і С. (рис. 10.4)

малюнок 10.4

горизонтальна площина Т  стосується тора по колу m (m1, m2) - Складається з параболічних точок С. Ця окружність розділяє тор на дві частини: внутрішню і зовнішню.

Зовнішня поверхня з точками А складається з еліптичних точок, так як вся поверхня розташовується по одну сторону від дотичної площини Q.

Внутрішня поверхня з точками В складається з гіперболічних точок, так як дотична площина перетинає тор по двом кривим l з точкою самопересеченія В.

Побудова дотичних площин до поверхонь є основою теорії тіней. Дотичними площинами користуються для визначення найбільш близьких і віддалених точок від площин проекцій. Дотичні площини застосовують при побудові обрисів поверхонь.

При побудові дотичної площини завжди задають деякі умови для її проведення. Можливі наступні шість видів завдань. Побудувати площину, дотичну до поверхні і проходить:

а) через точку на поверхні;

б) через точку поза поверхні;

в) через лінію (пряму або криву) на поверхні;

г) через пряму поза поверхні;

д) паралельно даній прямій;

е) паралельно цій площині.

У рішенні задач на побудову дотичних площин часто використовується відоме положення - дотична до кривої в просторі проектується в дотичну в проекції кривої.

Розглянемо приклади побудови дотичних площин до різних поверхонь.

10.1.1. Дотичні площини до лінійчатим поверхонь з параболічними точками.

Линейчатая поверхню з параболічними точками - це конус і циліндр, каркас яких безліч прямих - утворюють.

Виходячи з цього дотичну площину можна визначити двома пересічними прямими, з яких одна є утворює, що проходить через задню точку, а інша пряма дотична до будь-якої побудованої на поверхні кривої лінії в точці перетину її з цієї утворює. Найчастіше за цю криву лінію приймають нарис поверхні або паралель.

Приклад 1. Побудувати площину дотичну до конусу і проходить через точку А, Що лежить на його поверхні. Побудувати нормаль до цієї поверхні. (Рис. 10.5)

малюнок 10.5

Дотична площину визначається утворює SM (S1M1, S2M2), Що проходить через точку А і дотичній t (t1, t2) До нарису конуса в точці М на площині П1. Вийшла дотична площину (SM?t).

Щоб побудувати нормаль n (n1, n2) Треба в дотичній площині провести горизонталь і фронталь. Дотична t є горизонталлю. Проводимо горизонтальну проекцію фронталі f1 до перетину з t1 в точці В (В1) І будуємо f2. Потім проводимо нормаль з точки А. (А1n1^ t1, А2n2^ f2).

Приклад 2. Побудувати площину дотичну до конусу і проходить через точку D, розташовану поза конічної поверхні (рис. 10.6)

малюнок 10.6

У цьому випадку завдання має два рішення.

План рішення: (алгоритм)

1. Через точку С і вершину S проводимо пряму CS (C1S1, C2S2).

2. Знаходимо горизонтальний слід цієї прямої M (M1, M2).

3. Через точку М проводимо дотичні t1 і l1 до нарису конуса (окружність).

4. Через точки дотику А і В проводимо утворюють SA (S1A1, S2A2) І SB (S1B1, S2B2).

5. Пересічні прямі t?SA і l?SB дають шукані дотичні площини SAM і SBM.

Приклад 3. Побудувати площину дотичну до конусу і паралельну прямий КЕ. (Рис. 10.7)

малюнок 10.7

Тут два рішення. Розглянемо алгоритм:

1. Через S проводимо SM¦KE і знаходимо горизонтальний слід М.

2. Через М  проводимо дотичні t1 і l1 до основи конуса.

3. Через точки дотику А і В проводимо утворюють SA і SB.

4. t?SA і l?SB - дають шукані дотичні площини SAt і SBl.

Приклад 4. Побудувати площину дотичну до циліндра і паралельну даній прямій. (Рис. 10.8)

малюнок 10.8

Тут також два рішення. Розглянемо алгоритм.

1. Так як шуканої площини повинна належати одна з утворюють циліндра (лінія торкання) і пряма, паралельна даної ЄК, то для визначення слідів дотичних площин необхідно побудувати площину посередник Р паралельну і прямий ЕF і утворює циліндра.

2. Площина Р задамо двома пересічними прямими KC¦EF і KD¦ утворює (P = KC?KD).

3. Переходимо від встановлення площини прямими до завдання слідами. знаходимо C1 і D1 і проводимо горизонтальний слід Р1, А через РХ и N2 фронтальний слід Р2.

4. Горизонтальні сліди шуканих дотичних площин будуть паралельні горизонтальному сліду Р1, Тому проводимо дотичні t1 і l1 до нарису циліндра паралельно Р1.

5. У точках дотику А и В проводимо утворюють А1 і В2.

6. Пересічні прямі А1?t і В2?l задають шукані дотичні площини до циліндра.

10.1.2. Дотичні площини до НЕ лінійчатим поверхонь з еліптичними точками.

Для побудови дотичної площини в заданій точці поверхні обертання, перш за все, необхідно через задану точку провести по поверхні дві криві лінії. Дотичні прямі до них і визначають шукану дотичну площину. За криві лінії зазвичай приймають паралель (окружність) і меридіан.

Приклад 5. Побудувати площину дотичну до тору в точці D. (Рис. 10.9)

малюнок 10.9

Розглянемо алгоритм вирішення:

1. Через точку D (D1, D2) Проводимо паралель радіусу r і горизонтальну проекцію меридіана S1D1

2. Проводимо дотичну до паралелі D2t2¦X, D1t1^ S1D1.

3. Горизонтальна проекція дотичній l1 збігається з горизонтальною проекцією меридіана S1D1?l1.

4. Для побудови фронтальної проекції дотичній l2 , Меридіональну площину Р 1 , Що проходить через точку D, повернемо навколо вертикальної осі в положення Р1¦П2, Тобто до суміщення з головним меридіаном. Точка D при цьому займе положення D '1, D '2.

5. Проводимо через проекцію D '2 дотичну до головного меридіану (l '2^ C2D '2) І продовжимо її до перетину з віссю в точці К2 . Ця дотична є в той же час і лінією найбільшого скату (Л. Н. С.) дотичній площині.

6. При поверненні площині Р в початкове положення точка К залишається нерухомою.

7. Поєднавши До2 і D2 отримаємо фронтальну проекцію дотичної l (l2).

8. Дві пересічні дотичні t и l визначають єдину площину до тору в точці D.

Приклад 6. Побудувати площину дотичну до сфери в точці А на її поверхні. (Рис. 10.10)

малюнок 10.10

Відомо, що радіус сфери СА, Проведений в точку дотику, є нормаллю сферичної поверхні. Тому завдання зводиться до побудови площині перпендикулярній радіусу СА.

Будуємо площину, задаючи її горизонталлю ht і Фронтале fl, перпендикулярними до радіуса СА (f2l2^ C2A2, h1t1^ C1A1).

Ці пересічні прямі t?l і визначають площину, дотичну до сфери в точці А.

Приклад 7. Побудувати площину дотичну до сфери і проходить через точку S, Що не належить поверхні сфери. Крапка S розташована в горизонтальній екваторіальній площині сфери. (Ріс.10.11)

малюнок 10.11

1. Через точку S поза поверхні сфери можна провести безліч площин дотичних до сфери. Поверхнею, що огинає це сімейство площин, є деяка конічна поверхню взаімокасательная зі сферою.

2. Ця конічна поверхня, описана навколо сфери, стосується її по колу взаімокасанія 1-3-2-4 ^ SC. Тому будь-яка площина, яка стосується конуса по котра утворює, стосуватиметься і сфери в єдиній точці, загальною для конуса і сфери і лежить на окружності взаімокасанія.

3. Завдання в даному варіанті має безліч рішень (якщо немає обмежуючих умов).

4. З проекцій заданої точки S (S1, S2) Проводимо дотичні до кіл екватора і меридіана сфери. Отримуємо точки 1, 2, 3, 4.

5. Горизонтальна проекція кола взаімокасанія проектується у відрізок прямої 1121^ S1C1 (Так як вісь обертання SС¦П1).

6. Фронтальної проекцією окружності взаімокасанія є еліпс, мала вісь якого відрізок 1122, А велика вісь - фронтальна проекція 5262 діаметра окружності паралельного площині П2 (5262= 1121).

7. проміжні точки еліпса визначаються за допомогою паралелей сфери Т, Р ... (точки 7,8,9,10).

8. Будь-яка дотична площину до сфери задається утворює і дотичної до кола підстави допоміжного конуса. Наприклад, площини R і Q є дотичними до сфери через точку S. (R і Q ^ П1)

9. Інші дотичні площини легко побудувати, якщо вісь обертання допоміжного конуса SC  зробити проецирующей (метод зміни площин проекцій), а потім вирішувати як в прикладі 10.6.

10.1.3. Дотичні площини до лінійчатим поверхонь з гіперболічними точками.

У не розгортаються лінійчатих поверхонь гіперболічного гиперболоида або однополостного гиперболоида - через кожну точку поверхні проходять дві утворюють, належать до різних сімейств. Ці утворюють і визначаю дотичну площину в кожній точці поверхні. Дотична площину, торкаючись до поверхні в точці Е (рис. 10.12), перетинає поверхню по утворюючим PQ і MN, що проходить через цю точку.

Частина поверхні лежить по одну сторону дотичній площині, а інша частина поверхні - по іншу сторону. У кожній точці утворює буде нова дотична площину.

малюнок 10.12

 




Перетин многогранника прямий | Взаємне перетинання багатогранників | Перетин багатогранників з кривою поверхнею | Розгортка багатогранних поверхонь методом нормального перетину | Розгортка багатогранних поверхонь методом розкочування | Розгортка багатогранних поверхонь методом трикутників (тріангуляції) | Перетин кривої поверхні площиною. | Перетин кривої поверхні прямої. | Побудова лінії перетину двох поверхонь методом допоміжних січних площин | Побудова лінії припинення двох поверхонь методом січних сфер (концентричних сфер посередників) |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати