На головну

Розв'язання невироджених лінійних систем

  1. Barebone-системы
  2. C) дается пример страны, успешно совместившей в своей правовой системе признаки романо-германский системы права с общим правом.
  3. CASE-технология создания информационных систем
  4. CASE-технология создания информационных систем.
  5. D) трещиноватые - две системы трещин с расстоянием между трещинами более 1,5
  6. DNS - система доменных имен
  7. I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ СПОРТСМЕНОВ В ЗИМНЕМ УНИВЕРСАЛЬНОМ БОЕ

Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:

(4.3)

або в матричній формі .

Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи (4.3).

Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку - виродженою.

Знайдемо розв'язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то

. (4.4)

Знаходження розв'язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв'язку системи.

Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді

,

тобто

.

Звідси випливає, що

;

;

......................................

.

Сума є розкладом визначника

за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.

Таким чином, .

Аналогічно: , де - отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,..., .

Формули

, (4.5)

називаються формулами Крамера.

Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв'язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).

Приклад 4.1.Розв'язати систему рівнянь

а) матричним способом; б) за формулами Крамера.

Розв'язок. а) Матриця системи має вигляд:

.

Знайдемо

Отже, система невироджена.

Обернена матриця

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Тоді

.

За формулою (4.4)

Перевірка:

Відповідь:

б) За формулами (4.5) ; ; .

Знайдемо

;

Таким чином, ; ;

Відповідь: t

 



  5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   Наступна

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ | Організація навчального процесу за кредитно-модульною системою | Основні поняття | Дії над матрицями | Транспонування матриць | Основні поняття | Властивості визначників | Основні поняття | Обернена матриця | Ранг матриці |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати