Головна

Дане рівняння приймає вигляд

  1. Баланс активних потужностей асинхронного двигуна можна уявити таким рівнянням
  2. Виведення рівняння, заснованого на законі збереження матерії
  3. Виведення рівняння, заснованого на законі постійності об'єму пор первісно зайнятого нафтою і газом
  4. Види архітектурної композиції. Зв'язок інтер'єра із зовнішнім виглядом будинку й архітектурним ансамблем
  5. Загальне рівняння площини
  6. Загальне рівняння прямої на площині

2xxtdx+(x2t2-x2)(tdx+xdt)=0.

Скоротивши на х2 , маємо:

2tdx+(t2-1) (tdx+xdt)=0;

2tdx+(t2-1) tdx+x(t2-1)dt=0;

t(2+t2-1)dx+x(t2-1)dt=0;

t(1+t2)dx=x(1-t2)dt; .

Маємо рівняння з відокремленими змінними відносно х і t. Інтегруючи, знаходимо загальний розв'язок цього рівняння

Потенціюючи, знаходимо x= , або x(1+t2)=Ct.

Якщо у=хt, то . Отже, x(1+ )=C ,

або x2+y2= Cy - загальний інтеграл даного рівняння.

Беручи до уваги початкові дані у(1)=1, маємо:

1+1=С×1, отже С=2.

Таким чином,

х2+у2 =2у - частинний розв'язок даного рівняння.

б) Дане рівняння є диференційним лінійним рівнянням першого порядку, тому що воно містить шукану функцію у та її похідну у′ в першому степені і має вигляд:

y′+p(x)y=q(x).

Розв'язок шукаємо у вигляді у=UV, де U та V - деякі невідомі функції аргументу х.

Якщо у = UV, то y′ = U′V+UV′ і дане рівняння матиме вигляд

V+U -UVtgx = , (11.17)

або

V( -Utgx)+UV¢ = .

Обираємо функцію U таким чином, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто

U′-Utgx=0 (11. 18)

тоді

UV′= . (11.19)

Рівняння (11.18) - є рівняння з відокремлюваними змінними відносно U та х.

Розв'яжемо це рівняння:

; .

Інтегруючи, маємо:

lnU=-ln cosx.

Отже,

U= - частинний розв'язок рівняння (11.18).

Знайдену функцію U підставляємо в (11.19). Отже,

; V′=2x;

dV = 2xdx.

Інтегруючи, маємо V = x2+C - загальний розв'язок рівняння (11.19).

Таким чином, y = - загальний розв'язок даного рівняння.

Беручи до уваги початкові дані у(0) = 1, маємо 1= ,

отже С=1.

Таким чином, y= - частинний розв'язок даного рівняння. ◄

2.Знайти частинні розв'язки диференціальних рівнянь, що задовольняють початковим умовам:

а)y′′-3y′+2y=0; y(0)=0; y′(0)=1.

б)y''-4y'+4y=0; y(0)=0; y'(0)=2.

в)y''+4y'+5y=0; y(0)=2; y'(0)=0.

► а) Дане рівняння є лінійним однорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння:

K2 -3K+2=0 , коренями якого є: K1=1, K2 = 2 - дійсні і різні. Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

y=C1ex+C2e2x.

Знайдемо частинний розв'язок, що задовольняє початковим умовам. Похідна від загального розв'язку y′=C1ex+2C2e2x.

Підставляючи у загальний розв'язок замість х, у та у′ відповідні значення за умовою, маємо

C2=1, C1=1.

Отже, y= -ex +e2x частинний розв'язок.

б) Дане рівняння є лінійним однорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Його характеристичне рівняння: K2-4K+4=0, корені якого K1=K2=2 - дійсні та рівні. Загальний розв'язок: y=C1e2x+C2xe2x.

Знайдемо частинний розв'язок, що задовольняє початковим умовам.

y′=2C1e2x+C2e2x+2C2xe2x.

Враховуючи значення х, у та у′, маємо:

Отже, y = 2xe2x - частинний розв'язок.

в) Дане рівняння є лінійним однорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Його характеристичне рівняння:

K2+4K+5=0, корені якого є комплексно спряжені числа K1=-2+ i, K2= -2 - i

Тому загальний розв'язок має вигляд:

y = e-2x(C1cosx+C2sinx).

Знайдемо частинний розв'язок, враховуючи початкові значення х, у та у′.

=-2e-2x(C1cosx+C2sinx)+e-2x(-C1sinx+C2cosx).

Маємо:

.

Отже,

y=e-2x(2cosx+4sinx) -частинний розв'язок. ◄

3. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння

,

що задовольняє початковим умовам ; .

► Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Відомо, що загальний розв'язок такого рівняння складається з суми загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного рівняння, тобто

.



  10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   Наступна

Дано координати точок: А (-1; 4; 2); В(0; 3; 3); С(4; -5; 3) і М(1; -3; 5). | Завдання 9. | Розв'язання типового варіанта. | Знайти границю | Завдання 11. | Розв'язання типового варіанта | Завдання 14. | Завдання 17. | Завдання 19. | Розв'язання типового варіанта |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати