загрузка...
загрузка...
На головну

Розв'язання типового варіанта

  1. Вибір варіанта технологічного маршруту обробки
  2. Економічна ефективність оновлення продукції та вибір оптимального варіанта технологічного процесу
  3. Задачі для самостійного розв'язання
  4. Задачі для самостійного розв'язання
  5. Задачі для самостійного розв'язання
  6. Задачі для самостійного розв'язання
  7. Задачі для самостійного розв'язання

1. Знайти похідні функцій:

а)y=ln ; б) y= ; в) y=(tg2x)lnx ;

г) ; д) .

а) y=ln .

Користуючись властивостями логарифмів, перетворимо праву частину:

y=ln = .

Застосовуючи правила диференціювання, маємо:

y'= .

б) y= .

Прологарифмуємо дану функцію, застосовуючи властивості логарифмів:

lny= .

Продиференціюємо по х обидві частини отриманої рівності, вважаючи складеною функцією від змінної х.

(lny)′ = .

Або

;

;

.

в) y=(tg2x)lnх.

Прологарифмуємо функцію:

lny=lnx×lntg2x.

Знайдемо похідну від лівої і правої частини останньої рівності по х.

(lny)′=(lnx)′×lntg2x+lnx(lntg2x)′ .

Звідки

.

Далі

y′=y ).

Остаточно маємо:

y′=(tg2x)lnx ).

г) .

У даному випадку залежність між аргументом х та функцією у задана рівнянням, яке не розв'язане відносно функції у. Щоб знайти похідну , необхідно продиференціювати по х обидві частини заданого рівняння, вважаючи при цьому змінну у функцією від х, і потім отримане рівняння розв'язати відносно шуканої похідної .

Маємо: .

З отриманої рівності, що зв'язує х, у та , знаходимо похідну :

,

,

Звідки

.

д)

Залежність між змінними х та у задано параметричними рівняннями. Щоб знайти шукану похідну , знаходимо попередні диференціали і і потім знаходимо відношення цих диференціалів

,

,

. ◄

2. За допомогою диференціала обчислити наближене значення .

► Розглянемо функцію . Покладемо , і застосуємо формулу

.

У нашому випадку .

Отже, маємо

. ◄

3.Дослідити функцію y = x4 - 8x2 + 16 методами диференційного числення та побудувати її графік.

►Дослідження функції та побудову графіка можна здійснити за наступною схемою:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність або непарність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) дослідити функцію на неперервність, знайти точки роз-риву;

5) знайти асимптоти графіка функції;

6) знайти інтервали монотонності та точки екстремуму;

7) знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину;

8) побудувати графік функції, користуючись результатами дослідження.

1. Дана функція є многочленом, тому вона визначена (існує) та неперервна на всій дійсній вісі.

2. Дана функція є парною, тому що

у(-x) = ( -x)4 - 8(-x)2 + 16 = x4 - 8x + 16 = у(x).

Отже, графік цієї функції є симетричним відносно осі ординат.

3. Точки перетину графіка функції з віссю ОY визначаємо підстановкою у функцію значення х = 0, що дає (0;16); точки перети-ну графіка з віссю ОX знаходимо, прийнявши у=0, з рівняння x4-8x2+16=0, корені якого x1,2 =-2 та x3,4 =2 є абсцисами точок (-2;0) та (2, 0). Але в цих точках графік не перетинає, а лише торкається осі ОX, тому що кожне з чисел -2 і 2 є подвійним коренем даної функції, в чому легко переконатись, записавши її у вигляді: y = (x+2)2 (x-2)2.

4. Фукція є непервною.

5. Графік функції вертикальних та похилих асимптот не має.

6. Знайдемо інтервали монотонності функції та точки екстремуму. Перша похідна:

y′ = 4x3-16 x = 4x(x2-4) = 4x(x-2)(x+2)

дорівнює нулю при x1 = -2; x2 = 0; x3 = 2.

Розіб'ємо всю числову вісь на чотири інтервали:

.

Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та характер поведінки функції.

x -2 -2,0) (0,2) (2, )
y′ - + - +
y спадає min зростає max спадає min зростає

Отже, при x = -2 та x = 2 функція має мінімум, а при x = 0 - максимум, причому

у(-2) = у(2) = 0; у(0) = 16.

5. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна

y′′=(4x3-16x)′=12x2-16=12 .

Вона має два корені, які поділяють числову вісь на проміжки:

Складемо таблицю, визначивши знак другої похідної на кожному з цих проміжків, знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину.

x
y′′ + - +
y угнута перегин опукла перегин угнута

Отже, при та при маємо точки перегину, причому

у( ; у .

На основі отриманих даних будуємо графік функції y (рис. 4).

Рис. 4 ◄

4.Дослідити функцію методами диференційного числення та побудувати її графік.

►1. Задана функція існує при всіх значеннях аргументу, крім х=0. Область визначення складається з двох інтервалів (-¥ , 0) та (0 , ¥).

2. Функція не є парною або непарною.

3. З віссю ОУ графік функції не перетинається. Точки перетину графіка функції з віссю ОХ:

; х = 1.

Відзначимо, що y ³ 0 для всіх значень x.

4. Функція має нескінченний розрив при х = 0, причому

; .

При всіх інших значеннях аргументу дана функція неперервна.

5. Оскільки х=0 - точка розриву ( ), то х=0 - рівняння вертикальної асимптоти. Для визначення рівняння похилої асимптоти y = kx + b скористуємося відомими формулами

i .

Маємо

=0; =1.

Отже, пряма y=1 є горизонтальною асимптотою графіка функції.

6. Знайдемо інтервали монотонності та точки екстремуму функції.

Перша похідна

y′= .

Неважко бачити, що перша похідна дорівнює нулю при х=1 і обертається в нескінченність при х=0. Але при х=0 функція невизначена, отже ця точка не підлягає дослідженню. Розіб'ємо всю числову вісь на три інтервали: . Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та точки екстремуму.

x (-¥ , 0) (0,1)
y′ + не існує - +
y зростає не існує спадає min зростає

Отже, при x = 1 функція має мінімум, ymin= 0.

7. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна

y′′= .

З одержаного виразу видно, що друга похідна дорівнює нулю при x= і обертається в нескінченність при x=0. Оскільки при x=0 функція не існує, то ця точка не підлягає дослідженню. Розіб'ємо область існування функції на інтервали: ; (0, ); ( , ).

Склавши таблицю, визначимо знак другої похідної на кожному з цих інтервалів та точки перегину.

x (-¥ , 0) (0, ) ( , )
y′′ + не існує + -
y угнута не існує угнута перегин опукла

 

Отже, при x= маємо точку перегину:

y( )=(1- )2= .

Таким чином, P( , ) - точка перегину.

8. На основі отриманих даних будуємо графік функції (Рис. 5).

(Рис. 5) ◄

5. Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.

► 1) Область визначення функції , тому що квадратний тричлен, що знаходиться під знаком логарифма завжди приймає додатні значення, тобто:

.

2) Функція не є парною або непарною, тому що

.

3) Точки перетину графіка функції з осями координат: ; .

4) Функція є неперервною.

5) Вертикальних асимптот графік функції не має. Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді , де

.

Відмітимо, що при знаходженні границі двічі було застосовано правило Лопіталя.

.

Отже, графік функції асимптот не має.

6) Визначимо інтервали монотонності та точки екстремуму. Знаходимо першу похідну

.

Для знаходження критичних точок першого роду розв'яжемо рівняння , тобто , , звідки - критична точка першого роду.

Критична точка поділяє область визначення функції на два інтервали і . Очевидно, що

при функція спадає;

при функція зростає;

при функція має екстремум (мінімум); .

7) Визначимо інтервали опуклості, угнутості, точки перетину.

.

Для знаходження критичних точок другого роду розв'яжемо рівняння , тобто , , звідки , - критичні точки другого роду, які поділяють область визначення функції на інтервалі, що вказані у наведеній нижче таблиці.

х (2; 4) (4; ¥)
Знак - + -
Поведінка графіка функції опуклий перегин угнутий перегин опуклий

Отже, графік функції має дві точки перегину , .

На основі дослідження поступово будуємо графік функції , який наведено на рисунку


 



  8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   Наступна

Розв'язання типового варіанта. | Якщо матриця А є невиродженою, то | Завдання 3. | Розв'язання типового варіанта. | Аналітична геометрія | Розв'язання типового варіанта | Дано координати точок: А (-1; 4; 2); В(0; 3; 3); С(4; -5; 3) і М(1; -3; 5). | Завдання 9. | Розв'язання типового варіанта. | Знайти границю |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати