Головна |
1. Задано трикутник з координатами вершин А(-2; 4); В(6; -2); С(8; 7). Необхідно знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ і АС та їх кутові коефіцієнти; 3) рівняння медіан, що проведені з вершин А і В, координати центру ваги трикутника; 4) величину кута А в радіанах з точністю до двох знаків; 5) рівняння висоти СТ, проведеної з вершини С на сторону АВ; 6) координати точки М, розташованої симетрично точці В відносно до прямої СТ; 7) Побудувати трикутник АВС медіани, висоту в системі координат . Зробити малюнок.
►1) Відстань між точками A(x1,y1) і B(x2,y2) площини визначається за формулою:
(11.1)
Застосовуючи (11.1), знаходимо довжину сторони АВ:
.
2) Рівняння прямої, що проходить через точки A(x1, y1) i B(x2, y2), має вигляд
. (11.2)
Щоб скласти рівняння сторони АВ, підставляємо в (11.2) координати точок А і В:
4y - 16 = -3x - 6;
3x + 4y - 10= 0 (AB).
Для знаходження кутового коефіцієнта прямої АВ (КАВ), розв'я-жемо отримане рівняння відносно у:
4y = -3x + 10; y = .
Отже,
KAB= .
Підставляючи в (11.2) координати точок А і С, здобуваємо рівняння прямої АС:
10y - 40 = 3x + 6; 3x - 10y + 46 = 0 (AC),
звідки кутовий коефіцієнт KAC = .
2. Нехай точка D - середина відрізку ВС, а точка Е - середина
відрізку АС.
Для визначення координат точок D і Е застосовуємо формули:
; y = ;
xD= ; yD= , D ,
xE= ; yE= , E .
Підставляючи координати точок А і D в (11.2), маємо рівняння медіани АD:
6y - 24 = x - 2; x + 6y - 22 = 0 (AD).
Аналогічно знаходимо рівняння медіани ВЕ:
5x + 2y - 26 = 0 (BE).
Центр ваги трикутника знаходиться в точці N перетину його медіан. Щоб знайти координати цієї точки, необхідно розв'язати систему рівнянь прямих АD і ВЕ.
Унаслідок розв'язку системи
маємо х = 4, у = 3.
Отже, N (4; 3) - точка перетину медіан.
Крім того, відомо, що точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2:1 (починаючи з вершини), тобто
.
Тому координати точки N можна знайти також, застосовуючи формули ділення відрізку в даному відношенні:
x= . (11.3)
Підставляючи в (11.3) координати точок В і Е та вважаючи l=2, маємо:
3) Гострий кут між прямими, кутові коефіцієнти яких, відпо-відно, дорівнюють К1 та К2, можна знайти за формулою
. (11.4)
Шуканий кут А утворюється прямими АВ і АС, кутові коефі-цієнти яких знайдено раніше. Отже, застосовуючи формулу (11.4), маємо:
tgA= =
ÐA = arctg 1,3548»53,480.
Скориставшись таблицями переведення градусної міри в радіанну, знаходимо
ÐA » 0,935 рад.
4) Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку, має вигляд
y - y1=K(x- x1). (11.5)
Для знаходження кутового коефіцієнта висоти СТ скористаємось умовою перпендикулярності прямих СТ і АВ: = -1. Оскільки , то
Підставляючи в (11.5) координати точки С, а також значення знайденого кутового коефіцієнта висоти СТ, маємо:
; 3y - 21 = 4x - 32; 4x -3 y - 11 = 0 (CT).
5) Пряма АВ перпендикулярна до прямої СТ, а шукана точка М, симетрична точці В (2; -2) відносно до прямої СТ, належить прямій АВ. Крім того, точка Т є серединою відрізку МВ. Визначимо координати точки Т. Для цього розв'яжемо систему рівнянь, яку утворюють рівняння прямих АВ і СТ.
6) Враховуючи, що точка Т (2,96; 0,28) - середина відрізку МВ, а також користуючись формулами (11.3), знайдемо координати точки М:
2,96 = ХM = -0,28;
0,28 = YM = 2,56.
7) Трикутник АВС, медіани АD і ВЕ, точку N їх перетину, висоту СТ, що побудовані в системі координат , подано на рис. 1.
Рис. 1
2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, що симетрична відносно до осей координат і проходить через точки А (8; 2 ) і В (-6; ). Знайти півосі, фокуси, ексцентриситети та рівняння асимптоти цієї гіперболи, а також усі точки перетину гіперболи з колом, центр якого знаходиться на початку координат, а радіус R = 6.
►Канонічне рівняння шуканої гіперболи має вигляд
. (11.6)
За умови задачі точки А і В знаходяться на гіперболі, отже координати цих точок задовольняють рівнянню (11.6). Підставляючи в рівняння (11.6) замість поточних координат Х та У координати даних точок, одержуємо систему двох рівнянь відносно до параметрів a і b.
або
Віднімаючи від першого рівняння друге, маємо 28b2 - 7a2 = 0, звідси a2 = 4b2. Після підставляння у перше рівняння маємо: 64b2 - 48b2 = 4b2b2, b2 = 4, тоді a2 = 16.
Шукане рівняння гіперболи має вигляд:
(11.7)
Півосі гіперболи а=4; b=2. Визначаємо фокуси гіперболи F1(-C; 0) i F2(C; 0). Користуючись рівністю c2 = a2 + b2, маємо:
c2 =16+4=20, c = .
Отже, F1(2 ,0) та F2(-2 ,0) - фокуси гіперболи.
Ексцентриситет гіперболи визначаємо за формулою .
Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд
i .
Отже, i шукані рівняння асимптот. Рівняння кола, центр якого знаходиться на початку координат, має вигляд
x2 + y2 = R2.
Враховуючи, що R = 6, маємо
x2 + y2 = 36. (11.8)
Щоб знайти координати точок перетину гіперболи з колом, необхід-но розв'язати сумісно систему рівнянь (11.7) і (11.8).
Отже, маємо: 5y2 = 20; y = ±2; x = ± .
Точки перетину гіперболи з колом: M1( ;2); M2(- ;2); M3(- ;2); M4 ( ;-2).
Побудуємо в системі координат ХоУ гіперболу і коло (рис. 2)
Рис. 2 ◄
3.Написати рівняння кривої, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від точки F(4; 3) і прямої у=1. Отримане рівняння привести до простішого виду і побудувати криву.
►Нехай M(x, y) - довільна точка шуканої кривої. Опустимо з неї перпендикуляр до прямої y=1 (Рис.3). Очевидно, абсциса точки В дорівнює абсцисі точки М, а ордината точки В дорівнює 1, тобто B(x, 1). З умови задачі MF = MB. Таким чином, для кожної точки M(x, y) шуканої кривої справедлива рівність
або
(x - 4)2 + y2 - 6y + 9 = y2 - 2y + 1; (x-4)2=4y-8.
Остаточно,
(11.9)
Геометричним образом отриманого рівняння є парабола з вершиною в точці O1(4, 2). Рівняння параболи зведемо до простішого виду. Для цього нехай х- 4 = Х; у - 2 = У. Тоді рівняння (11.9) перетворюється до виду
Y= . (11.10)
Перенесемо початок координат у точку О1(4, 2), побудуємо нову систему координат ХО1У, вісі якої, відповідно, паралельні осям Ох і Оу.
Рівняння (11.10) є рівнянням параболи з вершиною в точці О1 і віссю симетрії О1У (Рис. 3).
Рис.3 ◄
ВИЩА МАТЕМАТИКА | Харків 2009 | В задачах варіантів 1-25 обчислити визначник четвертого порядку | Розв'язання типового варіанта. | Якщо матриця А є невиродженою, то | Завдання 3. | Розв'язання типового варіанта. | Завдання 9. | Розв'язання типового варіанта. | Знайти границю |