На головну

Розв'язання типового варіанта.

  1. Задачі для самостійного розв'язання
  2. Задачі для самостійного розв'язання
  3. Задачі для самостійного розв'язання
  4. Задачі для самостійного розв'язання
  5. Задачі для самостійного розв'язання
  6. Задачі для самостійного розв'язання
  7. Задачі для самостійного розв'язання

1. Нехай А(- 4; - І; 2); В(І; 0; 2); С(- І; 4; 6); D(- 2; - 3; 8) - точки координати вершин піраміди АВСD. Необхідно: І) записати розкладання векторів , , , за базисом , , і знайти довжини цих векторів; 2) знайти кут між векторами і ; 3) знайти проекцію вектора на вектор ; 4) знайти площу грані АВС; 5) Знайти об'єм піраміди АВСD.

►1) Відомо, що довільний вектор може бути розкладений за базисом , , таким чином:

де ах, ау, аz - проекції вектора на координатні осі; , , - одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осей OX, OY, OZ.

Нехай маємо точки M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2) , тоді проекції вектора = на координатні вісі дорівнють:

ax = x2 - x1; ay = y2 - y1; az = z2 - z1

і вектор має вигляд

= ( .

Отже, маємо

=

=

= .

Довжину вектора знаходимо за формулою

ç ç=

Маємо

ç ç= = ,

ç ç= =6,

ç ç= = .

2) Косинус кута між векторами

= і

визначимо за формулою

cos = ,

де - скалярний добуток векторів і .

Отже,

cos = .

Таким чином, шуканий кут дорівнює

.

3) Проекція вектора на вектор визначається за формулою:

=

4) Площа грані АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Відомо, що модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Векторний добуток векторів і визначається за формулою:

= .

Позначимо векторний добуток × через вектор . Тоді площа грані АВС дорівнює половині модуля вектора , тобто

SABC= .

= × = або

Отже,

SABC= (кв. од.).

5) Об'єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах , дорівнює модулю їх мішаного добутку:

= .

Отже, мішаний добуток векторів , , :

.

Шуканий об'єм V піраміди АВСD дорівнює одній шостій об'єму паралелепіпеда, тобто:

V= (куб. од.).◄



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

ВИЩА МАТЕМАТИКА | Харків 2009 | В задачах варіантів 1-25 обчислити визначник четвертого порядку | Розв'язання типового варіанта. | Якщо матриця А є невиродженою, то | Розв'язання типового варіанта | Дано координати точок: А (-1; 4; 2); в (0; 3; 3); с (4; -5; 3) і м (1; -3; 5). | Завдання 9. | Розв'язання типового варіанта. | Знайти границю |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати