Головна

Одновимірного гармонічного осцилятора

  1. Аналіз лінійних ланцюгів гармонійного струму з використанням комплексного перетворення (методом комплексних амплітуд)
  2. Аналіз ланцюгів гармонійного струму методом векторних трикутників
  3. Вид одиночного осцилятора і основне динамічне рівняння
  4. Метод гармонійного балансу
  5. Модель гармонійного осцилятора
  6. Потужність в ланцюзі гармонійного струму

Звільнившись від множника перед другою похідною, отримаємо рівняння

 , (1)

де

,  . (2)

Крапка  є особливою точкою рівняння. Тому рішення цього рівняння шукають у вигляді

 . (3)

Перший множник такого рішення усуває з рівняння член  . А для функції  виходить рівняння

 . (4)

Негативний показник експоненти забезпечує кінцівку хвильової функції на нескінченності.

Ввівши безрозмірну змінну

 , (6)

рівняння (4) перетворимо до виду

 . (7)

Рішенням цього рівняння буде  . У цьому випадку параметр  , А хвильова функція

.

Це рішення не має вузлів, тому воно описує основний стан гармонійного осцилятора. Йому відповідає нульова енергія

.

Рішенням рівняння (7) буде також .

Дійсно підстановка цього рішення в (7) дає

.

Прирівнюючи нулю коефіцієнти при різних ступенях  , отримаємо

, .

Таким чином,

, .

Тому

, .

Хвильова функція першого збудженого стану має один вузол і його енергія більше нульової енергії на .

У стаціонарному стані з енергією  функція

повинна мати  вузлів. Це означає, що функція  повинна бути поліномом  -го ступеня з некратними корінням. Ці поліноми називаються полиномами Ерміта-Чебишева

.

Вони є рішенням рівняння (7)

.

Це рівняння має виконуватися за будь-яких  , Тобто коефіцієнти при однакових ступенях повинні звертатися в нуль. Для визначення власних значень рівняння досить прирівняти нулю коефіцієнт при старшій ступеня

.

Звідси знаходимо  або

 . (8)

При цьому поліноми Ерміта-Чебишева повинні задовольняти рівнянню

 . (9)

З умови (8) випливає, що власні значення рівняння Шредінгера для гармонічного осцилятора приймають дискретний ряд значень.

Енергетичні рівні гармонійного осцилятора розташовані на однаковій відстані один від одного

.

Найменша енергія, яку має гармонійний осцилятор - енергія нульових коливань

.

Наявність енергії нульових коливань знаходиться в повній відповідності з принципом невизначеностей Гейзенберга: мікрочастинка ніколи не може зупинитися і мати одночасно точне значення координати  і імпульсу .

Таким чином, теорія Шредінгера підтвердила правильність припущення Планка про еквідистантним значень енергії осциляторів поля і про величину кванта енергії. Крім того, квантова теорія передбачає існування нульових коливань осцилятора, що відповідає принципу невизначеностей.

Рішення рівняння (9) можна записати у вигляді

.

множник  тут введений для того, щоб зробити позитивним коефіцієнт при старшій ступеня позитивним. нормувальний множник  визначається з умови нормування хвильових функцій і виражається формулою

.

Нормований поліном Ерміта-Чебишева описується формулою

.

Випишемо кілька перших поліномів Ерміта-Чебишева

,

,

,

.

Нормовані хвильові функції Ерміта різних станів

ортогональні.

 




Додавання і множення операторів | Оператори фізичних величин | Тимчасове рівняння Шредінгера | Стаціонарні стану. Властивості хвильових функцій | Потенційний бар'єр. Рішення стаціонарного рівняння | Коефіцієнти відбиття і пропускання ступеневої бар'єру | тунельний ефект | Мікрочастинка в одновимірної прямокутної потенційної ямі | Тривимірна потенційна яма. Яма кінцевої глибини | Система двох взаємодіючих частинок |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати