Головна |
нехай безліч всіх залишків від ділення цілих чисел на натуральне число , Т. Е. . сумою (твором) Двох елементів будемо вважати залишок від ділення цієї суми (твори) на число . Розглянемо отриману структуру .
ТЕОРЕМА 6. якщо складене, то не є полем.
ДОВЕДЕННЯ. нехай складене, т. е. , де и . Тоді по модулю отримуємо , але и . Так як в поле такого бути не може (теорема 5), то при складеному залишки з операціями по модулю не утворюють поля. ?
Покажемо тепер, що в разі простого , є полем. Спочатку зазначимо таке. нехай и - Два цілих числа, - Залишки від ділення їх на , Т. Е. и . тоді и , Звідки отримуємо, що числа и , А також числа и дають при діленні на однакові залишки. Іншими словами, ми отримаємо однаковий результат, якщо спочатку візьмемо залишки від ділення и на і потім складемо (або помножимо) їх по модулю , Або, якщо ми спочатку складемо (або помножимо) и , Як звичайні натуральні числа, а потім візьмемо залишок від ділення отриманого числа на . Таким чином, при обчисленні деякого виразу з операціями по модулю можна не брати залишок від ділення на після кожної операції, а зробити обчислення спочатку як зі звичайними натуральними числами і звичайними операціями і тільки в кінці взяти залишок від ділення отриманого числа на . Це дозволяє стверджувати, що операції додавання і множення асоціативні і комутативні, а також справедлива дистрибутивность множення щодо складання.
Нейтральним елементом по додаванню є , А одиничним елементом по множенню - . Залишається показати, що при простому у кожного залишку , Відмінного від , Є зворотний, т. Е. Що знайдеться залишок такий, що по модулю . Отже, нехай . Розглянемо числа
(Множення звичайне).
Різниця будь-яких двох з цих чисел не ділиться на , так як просте, а и . Таким чином, всі ці чисел дають різні і, отже, всілякі залишки при діленні на . Значить, одне з цих чисел дає при діленні на залишок , Т. Е. по модулю для деякого залишку .
Таким чином, при простому все властивості поля виконуються.
Як приклад наведемо таблиці додавання і множення елементів поля лишків за модулем 5.
За цих таблиць також можна отримати різницю і приватне будь-яких двох елементів.
Арифметичне лінійний простір. | Ранг матриць. | Системи лінійних рівнянь. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ II. | Матриці лінійних операторів. | Приклад 1. | Ранг і дефект лінійного оператора. | Характеристичні корені і власні значення. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ III. | Групи, кільця, поля. |