На головну

Поле комплексних чисел.

  1. N-мірне векторний простір дійсних чисел. завдання
  2. N-мірне векторний простір дійсних чисел. Комп'ютерна частина
  3. N-мірне векторний простір дійсних чисел. математична частина
  4. Аналіз лінійних ланцюгів гармонійного струму з використанням комплексного перетворення (методом комплексних амплітуд)
  5. Значення комплексних сполук в медицині.
  6. Класифікація та номенклатура комплексних сполук.
  7. Кодування чисел. системи числення

Протягом вивчення предмета математики неодноразово відбувається збагачення поняття числа. На першому етапі учень, який вивчає математику, стикається з натуральними числами  . З введенням негативних чисел, з'являється можливість розгляду системи цілих чисел  , Що складається з натуральних чисел, протилежних натуральним і нуля. Наступна, більш широка система раціональних чисел  , Що складається з усіх цілих чисел і всіх дрібних, як позитивних, так і негативних. Подальше розширення поняття числа відбувається тоді, коли в розгляд вводяться ірраціональні числа. Система, що складається з усіх раціональних і всіх ірраціональних чисел, називається системою дійсних (або речових) чисел  . Комплексні числа вводяться в зв'язку з наступною задачею: потрібно розширити систему дійсних чисел до такої системи, в якій кожне квадратне рівняння (зокрема рівняння  ) Мало б коренем.

Як матеріал для побудови нової системи чисел візьмемо точки площині  , Кожна з яких однозначно визначається упорядкованим парою дійсних чисел. Введемо операції додавання і множення для таких елементів наступним чином:

Покажемо, що безліч  з введеними операціями додавання і множення утворює поле. Очевидно, додавання і множення є комутативними операціями, а складання, крім того, асоціативно. Нейтральним елементом по додаванню є пара  , По множенню -  . для пари  протилежна пара  . Як вправа читачеві пропонується довести асоціативність множення і дистрибутивність множення щодо складання. Залишилося показати, що для кожного ненульового елемента існує зворотний. Для цього вирішимо рівняння  щодо и  . Воно зводиться до вирішення системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Дана система сумісна для  і має єдине рішення  , Т. Е. .

Отже, система  є полем і називається системою комплексних чисел.

Покажемо тепер, що система комплексних чисел є розширенням системи дійсних чисел. Для цієї мети розглянемо точки, що лежать на осі абсцис, т. Е. Точки виду  . Для них справедливо

т. е. вони складаються і перемножуються так само, як відповідні дійсні числа. Це дозволяє нам надалі не розрізняти точку  і дійсне число .

Повернемося до рівняння  . У безлічі комплексних чисел його рішенням буде, наприклад, точка  . дійсно,  . Домовимося позначати цю точку буквою  , так що  . Будемо називати комплексне число уявною одиницею. маємо,  . Таким чином,  . Отже, будь-яке комплексне число можна представити у вигляді  , де  називається дійсною частиною комплексного числа, а уявної частиною. Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, будемо називати комплексної площиною. Вісь абсцис цій площині називається дійсною віссю, А вісь ординат - уявною віссю.

положення точки  на площині однозначно задається парою дійсних чисел и  . Однак, її положення також цілком визначається за допомогою полярних координат, т. Е. Відстанню  від точки до початку координат і кутом  між позитивним напрямом осі абсцис і напрямком з початку координат на цю точку. число  називається абсолютною величиною або модулем комплексного числа, а число аргументом. Очевидно, що абсолютна величина невід'ємна, а аргумент визначений з точністю до доданків, кратних .

Між декартовими і полярними координатами існує наступна зв'язок, справедлива при будь-якому розташуванні точок на площині:

Для довільного комплексного числа  маємо:

Ця запис числа  називається його тригонометричної формою. абсолютна величина  знаходиться за формулою  . аргумент  може бути знайдений з системи рівнянь:

Приклад 7. Знайти тригонометричну форму числа .

Рішення. тут ,  . тоді .

Вирішуючи систему, отримуємо  . Таким чином

Нехай комплексні числа и  задані в тригонометричної формі: ,  . Перемножимо ці числа:

Таким чином, модуль твори комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент твори дорівнює сумі аргументів співмножників. Аналогічне правило має місце і для приватного. якщо  , То:

Отже, модуль приватного двох комплексних чисел дорівнює модулю діленого, діленому на модуль дільника, а аргумент приватного виходить вирахуванням аргументу подільника з аргументу діленого.

Наслідком з формули множення комплексних чисел є формула Муавра:

Нехай, тепер, потрібно витягти корінь  ступеня з числа  . Припустимо, що це зробити можна і що в результаті виходить число  , Т. Е.

тоді  - Однозначно певний позитивне значення кореня  го ступеня з невід'ємного дійсного числа  . А аргументи и  можуть відрізнятися на доданок, кратне  , Т. Е.  , де  ціле число. Звідки  . Таким чином, остаточно маємо:

.

даючи  різні значення, ми не завжди будемо отримувати різні значення шуканого кореня. Дійсно, при

отримаємо  значень кореня, які все будуть різними, так як збільшення  на одиницю тягне за собою збільшення аргументу на  . для довільного  маємо  , отже

,

т. е. значення аргументу при цьому  відрізняється від значення аргументу при  на число, кратне  . Отже, значення кореня при довільному  таке ж, як при значенні  , що дорівнює  , де .

Таким чином, витяг кореня  го ступеня з комплексного числа  завжди можливо і дає  різних значень. Всі значення кореня  го ступеня розташовані на окружності радіуса  з центром в нулі і ділять цю окружність на  рівних частин.

Приклад 8. обчислити .

Рішення.

Приклад 9. обчислити .

Рішення. Знайдемо тригонометричну форму числа :

.

тоді .

при  маємо: .

при : .

Приклад 10. обчислити .

Рішення. У тригонометричної формі .

.

: ;

: ;

: .




ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Арифметичне лінійний простір. | Ранг матриць. | Системи лінійних рівнянь. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ II. | Матриці лінійних операторів. | Приклад 1. | Ранг і дефект лінійного оператора. | Характеристичні корені і власні значення. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ III. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати