На головну

Групи, кільця, поля.

  1. II. Розділіть фрази на ритмічні групи, скажіть їх, дотримуючись щодо рівний час їх проголошення.
  2. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 1 сторінка
  3. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 2 сторінка
  4. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 3 сторінка
  5. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 4 сторінка
  6. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 1 сторінка
  7. Queen »на тлі Персеполя. Автор цього фотомонтажу несподівано потрапив в ціль - "Queen" сміливо можна назвати зороастрійської групою 2 сторінка

Будемо говорити, що в безлічі  визначений закон композиції, Якщо задано відображення  упорядкованих пар елементів з  в безліч  (Бінарна операція на безлічі  ). При цьому елемент  з  , Зіставлений з допомогою відображення  у відповідність елементам  з  , називається композицією цих елементів.

композиція  елементів и  позначається символом :

.

Для композиції елементів  безлічі  використовуються і інші форми запису. Найбільш вживаними є аддитивная форма запису и мультипликативная форма запису  (або  ). У разі адитивної записі композиції відповідний закон називають складанням, А при мультипликативной формі - множенням.

безліч  елементів  , В якому визначено закон композиції, званий складанням і ставить у відповідність кожній парі елементів  безлічі  певний елемент  цієї множини, називається адитивної групою (позначається  ), Якщо цей закон задовольняє наступним вимогам:

1.  (Асоціативність).

2. Існує елемент  безлічі  такий, що для будь-якого елемента  цієї множини  (існування нейтрального (нульового) Елемента).

3. Для будь-якого елементу  безлічі  існує протилежний елемент  такий, що .

У разі мультиплікативної форми записи отримаємо визначення мультипликативной групи (позначається  ), Нейтральний елемент якої називається одиничним, А протилежний - зворотним .

Якщо закон композиції, діючий в групі  , Задовольняє наступній вимозі:

4.  (Коммутативность),

то група  називається комутативній або абельовой.

Відзначимо деякі властивості груп (будемо використовувати аддитивную форму записі композиції).

ТЕОРЕМА 1. якщо  , то .

Доведення. нехай  - Протилежний елемент для елемента :  . тоді , т. е. . отже,  . Теорема доведена.

ТЕОРЕМА 2. Для будь-якого елементу  групи справедливо співвідношення .

ДОВЕДЕННЯ. За теоремою 1  і крім того, . Тому  , Т. Е.  . ?

ТЕОРЕМА 3. якщо и  , то .

ДОВЕДЕННЯ. Так як , то - протилежний елемент для  , І тому, відповідно до теореми 1, . маємо далі  . ?

З доведених теорем випливають такі важливі слідства.

СЛІДСТВО 1. Протилежним елементом для елемента  служить елемент  . Або, інакше, елемент  є як правим, так і лівим протилежним елементом для елемента (т. е. и ).

СЛІДСТВО 2. У будь-якій групі рівняння и  однозначно можна розв'язати. Рішеннями цих рівнянь служать відповідно елементи и .

СЛІДСТВО 3. У групі є єдиний нейтральний елемент (нуль групи) (якщо и  , то ).

Приклад 1. безліч  цілих чисел утворює абелеву групу щодо складання. Дійсно, складання цілих чисел асоціативно і коммутативно, нейтральним елементом є ціле число  , А зворотним для  служить ціле число .

Приклад 2. Безліч позитивних дійсних чисел  утворює абелеву групу щодо множення. Очевидно, множення асоціативно і коммутативно. нейтральний елемент  , А зворотним елементом для числа  служить дійсне число .

Приклад 3.Взаємно однозначне відображення  безлічі  на себе називається підстановкою з  елементів, При цьому будь-який елемент  безлічі  переходить в елемент  , Зворотна підстановка  переводить в . підстановка  для будь-якого  безлічі  називається тотожною підстановкою. У безлічі підстановок  природним чином визначається закон композиції: якщо и  підстановки, то послідовне проведення  цих підстановок є деякою підстановку. Легко бачити, що композиція асоціативна. якщо безліч  містить тотожну підстановку, зворотний підстановку для кожної своєї підстановки  і разом з будь-якими двома підстановками и  їх композицію  , То, очевидно,  являє собою групу.

безліч  елементів  , В якому визначені закони композиції, звані складанням і множенням, називається кільцем (позначається  ), Якщо ці закони задовольняють наступним вимогам:

1.  - Комутативна група.

2.  (Асоціативність).

3. и  (Дистрибутивність множення щодо складання).

Якщо множення коммутативно, то кільце називається комутативним; якщо в кільці є поодинокий елемент, то воно називається кільцем з одиницею. елементи  називаються дільниками нуля - нейтрального елемента відносно  , якщо и  , але .

Приклад 4. Безліч цілих чисел  щодо додавання і множення є комутативним кільцем з одиницею. Роль одиничного елемента грає ціле число .

Приклад 5. Безліч квадратних матриць  порядку щодо додавання і множення утворює кільце з одиницею. Комутативність складання, асоціативність додавання і множення, дистрибутивність множення щодо складання для матриць були відзначені в §1.1. Нейтральним елементом по додаванню є нульова квадратна матриця порядку  , Нейтральним елементом по множенню - одинична матриця порядку .

Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, тобто для будь-якого  існує  , Такий, що  , називається полем.

ТЕОРЕМА 4. Для будь-якого елементу поля :  , де  нейтральний елемент по складанню.

ДОВЕДЕННЯ.  . Таким чином,  є нейтральним елементом по додаванню, т. е. .

ТЕОРЕМА 5. В поле немає ненульових подільників нуля.

ДОВЕДЕННЯ. якщо и  , То існує зворотний елемент  , Зворотний до  . тоді  . але  . Звідси  . ?

Приклад 6. Безліч раціональних чисел  з операціями додавання і множення утворює поле. Дійсно, для будь-якого ненульового раціонального  , Існує так само раціональний зворотний елемент .




Приклад 7. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Арифметичне лінійний простір. | Ранг матриць. | Системи лінійних рівнянь. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ II. | Матриці лінійних операторів. | Приклад 1. | Ранг і дефект лінійного оператора. | Характеристичні корені і власні значення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати