Головна

Теореми про твір визначників і зворотного матриці. Правило Крамера.

  1. IX. Переведіть пропозиції на російську мову, звертаючи увагу на правило узгодження часів в англійській мові.
  2. Активність сприйняття і значення зворотного зв'язку
  3. Актуальне і вічне в творі.
  4. Алгоритм обчислення зворотної матриці.
  5. Аналізує схрещування. ПРАВИЛО ЧИСТОТИ ГАМЕТ
  6. Бояр вирушило під Смоленськ на початку 1610 року і запросило
  7. По-третє, сімейні правовідносини, як правило, носять що триває характер. Більшість сімейних відносин не обмежений будь-якими часовими рамками.

ТЕОРЕМА (про твір визначників). Визначник добутку двох квадратних матриць и  одного і того ж порядку дорівнює добутку їх визначників, тобто

ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо допоміжний визначник порядку

Використовуючи теорему Лапласа, обчислимо  , Розкладаючи його по першим  рядках. Так як в них лише один мінор  може бути не дорівнює  , А його алгебраїчне доповнення є  , то  . Використовуючи властивість 9 визначників, доб'ємося, що всі елементи  звернулися в  . Для цього  стовпець  помножимо на  і додамо до  колонки  , І так для кожних и  . отримаємо

обчислимо  , Розкладаючи його за останніми  стовпчиках. отримаємо  , де .

тоді и  . Але неважко перевірити, що  . ?

нехай и  матриці порядку  . матриця  називається зворотного для матриці  , якщо  . матриця  називається невироджених, якщо .

ЛЕММА (до теореми про зворотну матриці).

(а) якщо  має зворотну матрицю  , то  - Невироджена;

(б) якщо зворотна матриця для  існує, то вона єдина.

ДОВЕДЕННЯ.

(А) Маємо  . По теоремі про твір визначників отримуємо  . значить .

(Б) Нехай  також зворотна матриця для  . Використовуючи асоціативність множення матриць, маємо  . ?

Виявляється твердження (а) можна звернути.

ТЕОРЕМА (про зворотну матриці). якщо матриця  - Невироджена матриця, то вона має зворотну матрицю  , де

(4)

Іншими словами,  елемент  дорівнює алгебраическому доповнення  елемента  , Поділеній на .

ДОВЕДЕННЯ. знайдемо  елемент твору матриці  на зазначену матрицю  (4). він дорівнює

.

Але за наслідками 1 і 2 з теореми Лапласа сума в дужках дорівнює  , якщо  , І дорівнює 0, якщо  . отже  . Аналогічно, використовуючи зауваження після слідства 2, доводиться, що  . ?




ВСТУП. | Основні математичні поняття. | Матриці та операції над ними. | Приклад 2. | Приклад 3. | Визначники. Теорема Лапласа. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Арифметичне лінійний простір. | Ранг матриць. | Системи лінійних рівнянь. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати