На головну

Зразок рішення контрольної роботи № 4.

  1. Excel для вирішення прикладних завдань
  2. I. Роботи Г. П. Щедровицького
  3. I. Мета роботи
  4. I. Мета роботи
  5. I. Мета роботи
  6. I. Мета роботи
  7. II. Загальна характеристика методологічної роботи

Завдання 1. Знайти спільне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку  і приватне рішення, що задовольнить початковому умові y(0) = 0.

Рішення. Загальне рішення будемо шукати методом Бернуллі:  , де ,  - Дві нові невідомі функції, тоді  . Підставляючи в вихідне рівняння, отримуємо  або  . підберемо функцію v так, щоб вираз в дужках дорівнювало нулю, тоді отримаємо  Знайдемо приватне рішення рівняння (I) при С1 = 0, яке є ДУ із перемінними. Для цього в цьому рівнянні розділимо змінні x и y:  або  . Проинтегрировав обидві частини, отримаємо  або  (при С1= 0) або  - Приватне рішення рівняння (I). Підставляючи отриману функцію v в рівняння (II), отримуємо теж ДУ із перемінними:  , Для якого знайдемо його загальне рішення. Поділяємо змінні:  або  . Інтегруємо обидві частини:  або  - Спільне рішення рівняння  . Таким чином  - Спільне рішення вихідного рівняння.

Для знаходження приватного рішення вихідного рівняння, що задовольняє початковій умові y(0) = 0 підставимо в знайдене спільне рішення x = 0 і y = 0 і знайдемо постійну С:  або  , Т. Е. С = -1. Таким чином,  - Приватне рішення вихідного рівняння при y(0) = 0.

відповідь:  - загальне рішення;  - Приватне рішення.

Завдання 2. Знайти спільне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду і приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам y(x0) = y0 и

1) , y(0) = -1, ;

2) , y(0) = 1, ;

3) , y(0) = 2, .

Рішення. Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду будемо шукати у вигляді  , де  - Спільне рішення відповідного лінійного однорідного ДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами, а  - Деяке приватне рішення вихідного рівняння.

1) Знайдемо загальний розв'язок  відповідного лінійного однорідного ДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами  . характеристичне рівняння  має два рівних кореня  , значить .

Знайдемо приватне рішення  вихідного рівняння. У ньому права частина  є формула виду  , причому n = 1 і a = 0 - не корінь характеристичного рівняння. Тому приватне рішення  , де А и В - Невизначені коефіцієнти. тоді и  . Підставивши , ,  в вихідне рівняння, отримаємо -2А + Ax + B = x - 4 або Ax + (-2А + B) = x - 4. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x, Отримуємо систему рівнянь  Звідси A = 1, B = -2. Тому приватне рішення вихідного рівняння має вигляд  . отже,  - Спільне рішення вихідного рівняння.

Для знаходження приватного рішення вихідного рівняння, що задовольняє початковим умовам y(0) = -1,  знайдемо  . Підставами початкові умови в знайдене спільне рішення і його похідну, отримаємо систему  або  Звідси С1 = С2 = 1. Таким чином, шукане приватне рішення має вигляд: .

2) Знайдемо загальний розв'язок  відповідного однорідного рівняння  . Складемо характеристичне рівняння  , дискриминант  , Має два комплексних кореня ,  . отже, .

Знайдемо приватне рішення  вихідного рівняння. Його права частина  є формула виду  , причому n = m = 0, a = 0, b = 3. Так як числа  - Чи не коріння характеристичного рівняння (r = 0), то приватне рішення має вигляд:  , де А и В - Невизначені коефіцієнти,  . знайдемо и  . Підставивши , ,  в вихідне рівняння, отримаємо  або  . Прирівнюючи коефіцієнти при синусі і косинусів в обох частинах, отримуємо систему рівнянь  Звідси A = 1, B = -3. Тому приватне рішення вихідного рівняння має вигляд  . отже,  - Спільне рішення вихідного рівняння.

Для знаходження приватного рішення вихідного рівняння, що задовольняє початковим умовам y(0) = 1,  обчислимо  . Підставляючи початкові умови в знайдене спільне рішення і його похідну, отримаємо систему  або  отже, С1 = 0, С2 = 3. Таким чином,  - Шукане приватне рішення.

3) Знайдемо загальний розв'язок  відповідного однорідного рівняння  . характеристичне рівняння  має два різних кореня и  , значить .

Знайдемо приватне рішення  вихідного рівняння. У ньому права частина  є формула виду  , причому n = 0, а a = 1 - корінь характеристичного рівняння кратності 1 (r = 1). Тому приватне рішення  , де А - Невизначений коефіцієнт. тоді и  . підставами , ,  в вихідне рівняння і отримаємо  . Скоротивши обі частини рівності на  і привівши подібні, отримаємо  . Тому приватне рішення вихідного рівняння має вигляд  . отже,  - Спільне рішення вихідного рівняння.

Для знаходження приватного рішення вихідного рівняння, що задовольняє початковим умовам y(0) = 2,  спочатку знайдемо  . Підставами початкові умови в знайдене спільне рішення і його похідну, отримаємо систему  або  Звідси С1 = С2 = 1. Отже, приватне рішення вихідного рівняння має вигляд .

відповідь: 1)  ; 2)  ; 3) .

Завдання 3. Написати три перших члена степеневого ряду  , Знайти його область абсолютної збіжності.

Рішення. Запишемо три перших члена ряду. при n = 1 отримуємо перший член ряду:  , при n = 2 - другий член:  і при n = 3 - третій член ряду: .

Для даного ряду маємо а = -2, ,  . Знайдемо радіус збіжності  . Тоді інтервал абсолютної збіжності ряду за формулою (a - R; a + R) Є (-4; 0).

Тепер з'ясуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. при x = -4 Отримуємо числовий Знакозмінні ряд  , Який сходиться згідно ознакою Лейбніца, т. К. Виконуються обидві умови ознаки: 1)  і 2) члени ряду зменшуються за абсолютною величиною  при x = 0 маємо числовий знакоположітельний ряд  . Це гармонійний ряд, який розходиться. Таким чином, область абсолютної збіжності вихідного ряду має вигляд [-4; 0).

відповідь: , ,  ; [-4; 0).

Завдання 4. Обчислити визначений інтеграл  з точністю до 0,001, розклавши підінтегральної функції в степеневий ряд.

Рішення. Для розкладання підінтегральної функції в степеневий ряд скористаємося формулою  таблиці основних розкладів. Замінивши в ній x на x2, Отримаємо:

для будь-якого  . Так як відрізок інтегрування [0; 0,5] цілком міститься всередині області збіжності ряду, то на підставі властивості про почленного інтеграції статечних рядів отримаємо

Отримали числовий Знакозмінні ряд, що задовольняє умовам ознаки Лейбніца: 1) члени Знакозмінні ряду зменшуються за абсолютною величиною:  і 2) межа його загального члена при  дорівнює нулю:  . Так як |a2| = 0,000372 <0,001, то наближене значення суми S отриманого ряду дорівнюватиме: S » S1 = a1, Так як по слідству з ознаки Лейбніца похибка обчислення r2 = |S - S1| <|a2| <0,001.

Таким чином, .

відповідь: »0,042.

5.1. Контрольна робота № 5. «Теорія ймовірностей».

1. Вирішити завдання.

1. Імовірність виготовлення не бракованого пластмасового відра на верстаті дорівнює 0,93. Зроблено три відра. Знайти ймовірність того, що: а) всі відра НЕ браковані; б) два відра НЕ браковані; в) тільки одне відро НЕ браковане; г) хоча б одне відро НЕ браковане; д) всі відра браковані.

2. На початку місяця в аудиторію повісили два нових світильника. Імовірність того, що світильник не вийде з ладу протягом місяця, дорівнює 0,84. Знайти ймовірність того, що до кінця місяця вийдуть з ладу: а) обидва світильника; б) тільки один світильник; в) хоча б один світильник; г) жодного світильника.

3. Імовірність того, що кожен з трьох касирів зайнятий обслуговуванням покупців, дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що в даний момент зайняті обслуговуванням покупців: а) всі касири; б) два касира; в) тільки один касир; г) хоча б один касир.

4. Імовірність випуску стандартної упаковки становить 0,95. Знайти ймовірність того, що з трьох зроблених упаковок стандартними виявляться: а) всі три; б) тільки дві; в) лише одна; г) хоча б одна; д) жодної упаковки.

5. Прилад складається з двох вузлів, які під час роботи незалежно один від одного можуть виходити з ладу. Імовірність безвідмовної роботи кожного вузла протягом гарантійного терміну дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що протягом гарантійного терміну прилад: а) буде працювати справно; б) вийде з ладу.

6. У фотолюбителя в коробці знаходиться п'ять однакових касет з фотоплівкою, з яких три плівки вже відзняті, а дві - чисті. Будучи не в змозі встановити, які з них зняті, він вирішує відібрати навмання дві плівки, а решта проявити. Яка ймовірність того, що у відібраних касетах виявляться чистими: а) обидві плівки; б) хоча б одна плівка?

7. З автовокзалу вирушили два автобуси-експреси. Імовірність своєчасного прибуття кожного автобуса в аеропорт дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що: а) обидва автобуса прибудуть вчасно; б) обидва автобуса запізняться; в) тільки один автобус прибуде вчасно; г) хоча б один автобус прибуде вчасно.

8. Два стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Імовірність поразки мішені кожним із стрільців дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що: а) обидва стрілка вразять мішень; б) тільки один стрілець уразить мішень; в) хоча б один стрілець уразить мішень; г) обидва стрілка промахнуться.

9. У офісі працюють три вентилятора. Для кожного вентилятора ймовірність перегріву до обідньої перерви становить 0,8. Знайти ймовірність того, що до обідньої перерви перегріються: а) два вентилятора; б) хоча б один вентилятор.

10. З трьох знарядь справили залп по цілі. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що: а) тільки один снаряд вразить ціль; б) тільки два снаряди потраплять в ціль; в) все три снаряди потраплять в ціль; г) хоча б один снаряд потрапить в ціль.

2. Вирішити задачу.

1. В магазин надійшов однойменний товар, виготовлений двома підприємствами. З першого підприємства надійшло 150 одиниць, з них 30 одиниць 1-го сорту, з другого підприємства надійшло 200 одиниць, з них 50 - 1-го сорту. Із загальної маси товару навмання витягується одна одиниця. Вона виявилася 1-го сорту. Яка ймовірність того, що вона виготовлена ??на першому підприємстві?

2. Пасажир може придбати квиток в одній з двох кас. Імовірність звернення в першу касу 0,4, а в другу - 0,6. Імовірність того, що до моменту приходу пасажира потрібні йому квитки будуть розпродані, дорівнює 0,35 для першої каси і 0,7 - для другої. Пасажир відвідав одну з кас і придбав квиток. Яка ймовірність того, що він придбав квиток в другій касі?

3. У магазин надійшла взуття від двох постачальників. Кількість взуття, що надійшла від першого постачальника, в два рази більше, ніж від другого. Відомо, що в середньому 20% взуття від першого постачальника і 35% взуття від другого постачальника мають різні дефекти обробки верху. Із загальної маси навмання відбирають одну упаковку з взуттям. Вона не має дефектів. Яка ймовірність того, що її виготовив перший постачальник?

4. У двох однакових коробках знаходиться однакова кількість олівців «Конструктор». Відомо, що 1/3 олівців в першій коробці і 1/4 олівців у другій коробці мають твердість ТМ. Навмання вибирається одна коробка і з неї навмання витягується один олівець. Він виявився твердості ТМ. Яка ймовірність того, що він витягнутий з першої коробки?

5. Два товарознавця виробляють приймання партії виробів за якістю. Імовірність того, що черговий виріб потрапить до першого товарознавцю, дорівнює 0,4, а до другого - 0,6. Перший товарознавець виявляє дефект з імовірністю 0,95, другий - з ймовірністю 0,8. Одне з дефектних виробів було визнано придатним до експлуатації. Яка ймовірність того, що виріб перевіряв другий товарознавець?

6. В магазин від двох постачальників надійшла жіноче взуття в однакових упаковках. Від першого постачальника надійшло 480 пар, з них 360 пар чорного кольору. Від другого постачальника надійшло 320 пар, в тому числі 120 пар чорного кольору. У вибраній навмання упаковці виявилася взуття чорного кольору. Яка ймовірність того, що вона надійшла від другого постачальника?

7. Два фахівця ОТК заводу перевіряють якість виробів, що випускаються, причому кожен виріб може з однаковою ймовірністю бути перевірено як першим, так і другим фахівцем. Імовірність пропуску дефекту першим фахівцем становить 0,1, а другим - 0,05. Одне з дефектних виробів було визнано якісним. Яка ймовірність того, що це дуже перевіряв перший фахівець?

8. У двох великих однакових коробках знаходяться комп'ютерні дискети. Відомо, що чверть дискет в першій коробці і третину в другій є чистими. Студент навмання бере коробку і виймає з неї дискету, яка виявилася із записом програм. Яка ймовірність того, що він вийняв дискету з другої коробки?

9. Покупець може придбати потрібний йому товар в двох магазинах. Імовірність звернення в ці магазини: 0,3 - в перший і 0,7 - у другій. Імовірність того, що до моменту приходу покупця товар вже розпроданий дорівнює 0,2 для 1-го і 0,6 для 2-го магазинів. Покупець відвідав один з магазинів і придбав товар. Яка ймовірність того, що він купив товар в першому магазині?

10. У торгову фірму надійшли телевізори від трьох постачальників у відношенні 1: 4: 5. Практика показала, що телевізори, що надходять від 1-го, 2-го і 3-го постачальників, не зажадають ремонту протягом гарантійного терміну відповідно в 98%, 88% і 92% випадків. Проданий телевізор зажадав ремонту протягом гарантійного терміну. Яка ймовірність того, що телевізор надійшов від третього постачальника?

3. Дана дискретна випадкова величина Х. 1) Скласти закон розподілу цієї випадкової величини Х; 2) побудувати багатокутник розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення Х.

1. Імовірність, що куплений лотерейний квиток виявиться виграшним, дорівнює 0,3. Випадкова величина Х - Число виграних квитків з двох куплених.

2. Ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 2/3. Випадкова величина Х - Число влучень у мішень при двох пострілах.

3. Виробляються два одинадцятиметрових удари з ймовірністю попадання в ворота при одному ударі 0,7. Випадкова величина Х - Число влучень у ворота.

4. Імовірність того, що автомат при опусканні однієї монети спрацьовує правильно, дорівнює 0,98. Випадкова величина Х - Число правильних спрацьовувань автомата, якщо в наявності всього дві монети.

5. Медсестра закріплена за двома хворими. Імовірність того, що кожен хворий потребує уваги медсестри протягом години, дорівнює 0,4. Випадкова величина Х - Число викликів медсестри протягом години.

6. Пристрій складається з двох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Випадкова величина Х - Число відмовили елементів.

7. Монета підкидається два рази. Випадкова величина Х - Число випали гербів.

8. Імовірність народжуваності хлопчика дорівнює 0,51. Випадкова величина Х - Число хлопчиків в родині, яка має 2 дітей.

9. Гральний кубик кинуто два рази. Випадкова величина Х - Число появ шістки.

10. Поява колонії мікроорганізмів даного виду в певних умовах оцінюється ймовірністю 0,7. Випадкова величина Х - Число колоній мікроорганізмів в двох навмання взятих пробах.

4. Безперервна випадкова величина X задана функцією розподілу F(x). Знайти: 1) щільність розподілу f(х); 2) математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X; 3) побудувати графіки функцій F(x) і f(х).

1.  2.

3.  4.

5.  6.

7.  8.

9.  10.

5. Задана щільність розподілу неперервної випадкової величини Х. Знайти невідомий параметр С.

1.  2.

3.  4.

5.  6.

7.  8.

9.  10.




Екстремум функції двох змінних | Зразок рішення контрольної роботи № 2. | Основні теоретичні відомості. | Визначений інтеграл | Додатки певного інтеграла в геометрії | Зразок рішення контрольної роботи № 3. | Диференційне рівняння | числові ряди | Позитивні числові ряди | Знакозмінні і Знакозмінні ряди |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати